求解磁場問題圓的定理神奇

華興恒

在求解有關磁場問題時，如果能夠深入分析題意，靈活地運用有關圓的定理，則可以達到快速簡捷求解的目的.下面舉例說明，相信會對學生學好這部分知識有一定的幫助作用.

一、利用“垂徑定理”和“相交弦定理”解題

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧.

相交弦定理：圓內的兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的乘積相等.

例1如圖1所示，質量為m、電阻為r、半徑為R的金屬環，豎直落入磁感應強度為B、垂直于紙面向里的勻強磁場中，在離開磁場還有h=12R時，加速度為零.求此環下落的速度.

解析設在磁場中圓弧AB的有效切割長度為L，則根據垂徑定理有：AE=BE=L2；再根據相交弦定理有：L2·L2=R2·3R2，則L=3R，若下落速度為v時，加速度為

零，根據平衡條件有：mg=BIL=BL·BLvr，解得v=mgr3B2R2.

二、利用“弦切角定理”解題

弦切角定理：弦切角等于它所夾弧所對的圓周角.

推論：弦切角等于同弧所對的圓心角的一半.

例2質量為m、電量為

-q的粒子，以某一速度垂直于屏S經過小孔O又垂直磁感應強度為B的勻強磁場進入真空室，如圖2所示.如果粒子進入磁場后經過時間t到達位置P，若運動的軌跡半徑為R，求粒子經過的位移OP的大小.

解析設負粒子以速度v垂直射入勻強磁場作勻速圓周運動，如圖3.由弦切角定理的推論，得θ=α2.根據角速度關系有：αt=2πT；

再根據qBv=mv2R和v=2πRT，可解得θ=qBt2m.

再由弦切角定理，有θ=∠OAP，又根據直徑所對的圓周角是直角，有∠AOP=90°，解直角三角形可得：OP=2RsinqBt2m.

例3在以坐標原點O為圓心、半徑為r的圓形區域內，存在磁感應強度為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場，如圖4所示.一個不計重力的帶電粒子從磁場邊界與x軸的交點A處以速度v沿-x軸方向射入磁場，它恰好從磁場邊界與y軸的交點C處沿+ y方向飛出.

（1） 請判斷該粒子帶何種電荷，并求出其荷質比；

（2） 若磁場的方向與所在空間范圍不變，而磁感應強度的大小變為B′，該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場，但飛出磁場時的速度方向相對于入射方向改變了60°角，求磁感應強度B ′多大？此次粒子在磁場中運動所用的時間t是多少？

解析（1） 由粒子的飛行軌跡，利用左手定則可知該粒子帶負電荷.粒子由A點射入，由C點飛出，其速度方向改變了90°，則粒子軌跡半徑R=r.

又qvB=mv2R.

則粒子的荷質比為qm=vBr.

（2） 粒子從D點飛出磁場，速度方向改變了60°角，故AD弧所對圓心角為60°，粒子做圓周運動的半徑R′=rtan30°=3r.

又R′=mvqB′，所以B′=33B.

粒子在磁場中飛行的時間為t=16T=16×2πmqB′=3πr3v.

三、利用“圓的內接四邊形的性質定理”和“切線長定理”解題

圓內接四邊形的性質定理：圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角.

切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它的切線長相等，圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角.

例4如圖6所示，在以O為圓心、半徑為R的圓形空間內存在著垂直于紙面向里的勻強磁場，一個帶電粒子從A點以速度v正對著O點垂直射入磁場中，做勻速圓周運動.從點C射出時速度的方向改變了60°，則帶電粒子在磁場中運動了多長時間？

解析如圖7所示，做A、C兩點速度v的垂線交于O1點，O1為帶電粒子運動軌跡的圓心，延長AO交⊙O于B點.要確定速度的方向改變∠BOC = 60°，連接O1O交⊙O 于O2點，通過分析做圖可知，AO1CO為⊙O2的內接四邊形.根據圓內接四邊形的性質定理可知：∠AO1C=∠BOC=60°，故帶電粒子在磁場中運動的時間為t=T6，而T=2πRv.再根據切線長定理有AO1=CO1=r，∠AO1O=∠CO1O=30°，解直角三角形△OCO1可得r=3R，所以t=T6=3R3v.

四、用“相交圓定理”解題

相交圓定理：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.

例5如圖8所示，虛線MN是一垂直于紙面的平面與紙面的交線，在平面右側的半空中存在著一磁感應強度為B的勻強磁場，方向垂直于紙面向外.O是MN上一點，從O點可以向磁場區域發射電量為+q、質量為m、速率為v的粒子，粒子射入磁場時的速度可在紙面內各個方向.已知先后射入的兩個粒子恰好在磁場中給定的P點相遇，P到O的距離為L.不計重力及粒子間的相互作用.求這兩個粒子從O點射入磁場的時間間隔.

解析帶正電q、速率為v的粒子，從O點垂直進入磁場，在洛倫茲力的作用下，做勻速圓周運動.因帶電粒子射入磁場時的速度方向可在紙面內沿各個方向，已知先后射入的兩個粒子恰好在磁場中給定的P點相遇，這說明兩粒子的運動軌跡是以OP為公共弦的兩個相交圓，如圖9所示.連接O1O2交弦OP于E.根據相交弦定理，O1O2垂直平分OP，則OE=L2.

解直角三角形△OEO1，得Rcosθ2=L2，θ2=arccosL2R，據此知R=mvqB，Δt=2Rθv，即Δt=4mqBarccos（qLB2mv）.

（收稿日期：2015-12-19）