基于擬合優度的頻譜感知技術研究

盧光躍，徐偲，葉迎暉，彌寅

（西安郵電大學無線網絡安全技術國家工程實驗室，陜西 西安 710121）

研究與開發

基于擬合優度的頻譜感知技術研究

盧光躍，徐偲，葉迎暉，彌寅

（西安郵電大學無線網絡安全技術國家工程實驗室，陜西 西安 710121）

認知無線電技術實現了頻譜資源的動態分配，提高了頻譜資源的利用率。而準確高效的頻譜感知是認知無線電的核心環節，因此研究快速高性能的頻譜感知算法已經成為一個亟待解決的問題。近年來，擬合優度檢驗在頻譜感知領域得到了廣泛應用，實現了小采樣點下的有效頻譜感知技術。因此，基于擬合優度的頻譜感知技術具有重要的研究意義。綜述了GOF在頻譜感知中的發展歷程，介紹其基本原理、常見的擬合準則及擬合對象；然后在高斯信道下，對該類算法進行仿真對比；最后對GOF類算法的進一步研究進行了展望。

認知無線電；頻譜感知；擬合優度檢驗；擬合準則；擬合對象

1 引言

頻譜資源是一種非常重要的通信資源，有關政府部門已經對這種資源進行授權。美國FCC研究報告表明［1，2］，固定的頻譜分配方式已導致所有可用頻段利用效率低下，而且無線業務的不斷增長導致可用頻譜資源更加緊缺。

面對頻譜危機，認知無線電［3，4］（cognitive radio，CR）應運而生，其核心思想是通過頻譜感知（spectrum sensing，SS）技術發現“頻譜空洞”，進而合理利用空閑頻譜。可見，SS是 CR的前提和基礎，次用戶（secondary user，SU）必須實時監測頻譜變化，并能夠可靠地檢測出“頻譜空洞”，從而避免對主用戶（primary user，PU）通信造成干擾。

目前，常見的SS算法有匹配濾波器檢測、能量檢測（energy detection，ED）算法、基于特征結構的感知算法和基于擬合優度（goodness of fit，GOF）檢測的感知算法等。其中，匹配濾波器檢測算法［5］在加性高斯白噪聲環境下性能最優，但其對同步要求較高，且必須預知PU發射機信號的先驗信息 （如信號調制方式），限制了算法的應用范圍；ED算法［6］不需要知道PU發射機信號的任何先驗信息，易于實現，但易受噪聲不確定度影響且不能精確估計噪聲方差，導致ED算法存在門限設置困難以及頑健性低等缺點［7］；基于特征結構類算法［8-11］利用接收信號協方差矩陣特征值的性質進行感知，該算法檢測性能優于ED算法且不受噪聲不確定度的影響，但存在判決門限不夠精確以及計算復雜度高等缺點。

眾所周知，在認知無線電頻譜感知中，檢測性能、時效性、運算復雜度、是否需要先驗信息以及是否受噪聲不確定度的影響是衡量一個算法的關鍵因素。GOF類算法需要的數據量小、運算量低、性能優于ED算法并且能克服噪聲不確定度的影響。因此，基于GOF的頻譜感知算法具有重要的研究意義。

GOF類算法［12-14］的核心思想是基于接收信號的經驗分布函數（empirical distribution function，EDF）構造統計量，將頻譜感知轉化為一種擬合優度檢驗問題。假設H0代表PU不存在，接收信號服從分布F0，H1代表PU信號存在，接收信號偏離F0。通過接收信號計算經驗分布函數Fn，當H0成立時，Fn和F0應相當 “接近”，當H1成立時，Fn偏離F0。通常用兩者間的距離來描述 “接近”的精確概念，Glivenko-Cantelli定理［15］定義了多種兩個分布間的距離的精確概念，當然以不同的方式定義距離會得到不同的統計量。從上面的分析可知，GOF類算法是基于接收信號的整個概率分布，而不是基于某個特征參數，因此其檢測性能應該優于能量檢測，并且不需要任何授權用戶信號的先驗知識。

Wang等人最早將GOF算法用于頻譜感知領域［14］，通過（Anderson&Darling，AD）檢測準則度量接收信號的經驗分布和特定正態分布之間的距離來判決授權用戶是否使用頻譜 。隨 后 ，（Cramer-Von Mises，CM）［16］、（Kolmogorov-Smirnov，KS）［17］、（Order-Statistic，OS）［18］擬合準則也被用于度量這一距離。與傳統的ED算法相比，此類算法檢測性能更優，但是同樣需要噪聲方差的先驗知識，屬于半盲檢測算法。在實際的頻譜感知中，需要實時估計噪聲方差，并且當估計值偏離實際值時，算法的性能受到了嚴重影響。

為了克服這一弱點，Lu等人［19-26］提出了幾種不需要噪聲方差信息的盲檢測算法。Modified-GoF算法［24］對接收信號進行歸一化處理，消除了噪聲方差對GOF算法性能的影響。GOF-F算法［19］先對接收信號進行分段，求出每段數據均值方差之比，得到新的數據，理論上這些數據服從F分布，再使用AD準則擬合這些數據。類似地，參考文獻［20，21］中改變了數據處理方法，得到服從學生t分布的數據，再進行擬合。這幾種方法都是通過度量概率密度函數之間的距離來判斷主用戶是否存在，由于特征函數同樣可以完整地描述接收信號的信息，因此參考文獻［26］通過度量接收信號經驗特征函數和特定特征函數之間的距離實現盲頻譜感知。

前面介紹的GOF類頻譜感知算法要求接收信號是靜態緩慢變化的，這限制了接收信號必須是基帶采樣得到的，對于射頻或者中頻信號，前面的GOF類算法不再適用［27］。對此，Lu等人提出了適用于射頻或者中頻采樣得到的動態信號的GOF類算法，該類算法計算了接收信號每個采樣點能量，理論上能量值服從X2分布，再使用AD準則進行擬合［28，29］。參考文獻［30］和參考文獻［31］中 將單邊 AD 準則、似然比（like lihood rate，LLR）準則用于這一模型，提升了性能。隨后，針對實際通信中存在的非高斯噪聲，高斯混合噪聲模型［32］以及米德爾頓噪音場景下［33］GOF類算法進行了進一步研究。

最近的研究中，GOF類算法在各種不同的頻譜感知環境中得到了應用，參考文獻［35］將GOF方法應用到多輸入多輸出（multiple input multiple output，MIMO）模型中，對接收數據的特征函數進行擬合，理論分析和仿真結果表明，在MIMO系統中，基于特征函數的頻譜盲檢測方法比基于能量檢測的頻譜檢測方法和基于特征值的頻譜盲檢測方法具有更好的性能。參考文獻［36］提出了一種噪聲方差未知時，基于擬合優度的多天線協作頻譜檢測方法。通過計算多個天線采樣樣本均值和方差比的分布函數與經驗分布函數之間的AD距離，并與備選的門限值比較，實現頻譜檢測。理論分析和仿真結果表明，基于AD檢驗的協作檢測比基于隨機矩陣的協作檢測具有更好的性能，特別是在低信噪比和小樣本條件下。參考文獻［37］中先計算正交頻分復用系統循環前綴和被復制數據間的相關系數，再利用GOF度量其經驗分布與理論分布之間的距離，實現頻譜檢測。

現有的GOF類算法分類如圖1所示，重點介紹了單節點的GOF類算法。

2 GOF類頻譜感知算法一般步驟

通常，SS可以表述為一個二元假設檢驗問題，即存在兩種假設：H0表示PU不存在，頻譜空閑，SU可接入該頻譜；H1表示PU存在，頻譜被占用，SU不可接入該頻譜。因此，SS的數學模型［13］可描述為：

其中，xi是第 i時刻（i=1，2，…，L）的接收信號，wi是均值為0、方差為σ2的加性高斯白噪聲，變量ρ滿足SNR為信噪比，u是PU發送的信號。接收端xi可以是基帶、中頻或者射頻進行采樣得到的。在基帶采樣得到的信號是緩慢變化的，這里稱之為靜態信號，不失一般性，假設u=｛1，-1｝［14］，在中頻或者射頻采樣得到的信號隨時間動態變化，假設u是載波信號或者零均值的高斯信號［27］。

圖1 GOF類頻譜感知算法分類

在H0時，Y是獨立同分布的序列，并且服從分布F0（y）。在 H1時，Y服從分布 F1（y）。假設數據y1≤y2≤…≤yL，樣本經驗分布函數定義如下：

GOF是一種判斷采樣數據是否來自某一特定分布的數學方法。在H0假設下，由大數定律表明：當觀測點數L→+∞，FL（y）依 概 率 1 收 斂 到 F0（y）［12］。因 此 通 過 F0（y）和FL（y）之間的距離來判斷H0假設是否成立。如果距離小于門限，判斷H0成立，否則判斷H1成立。

因此，GOF類頻譜感知算法可描述如下：

步驟1 給定虛警概率α，選擇擬合準則，根據擬合準則求判決門限t0；

步驟3 根據式（2）求Y的經驗分布函數；

步驟4 依據不同的擬合準則求檢驗統計量；

步驟5 將檢驗統計量與門限對比，進行判決。

GOF類算法的關鍵點在于擬合準則的選擇以及擬合對象的設計。接下來介紹幾種常用的GOF擬合對象。

3 GOF擬合對象

針對在射頻、中頻或者基帶采樣得到接收信號的特點，需要采用不同GOF算法進行處理。下面分靜態信號和動態信號兩個場景來分析GOF類算法的擬合對象。

3.1 靜態信號

對于基帶采樣得到的靜態信號，從概率密度函數角度出發得到的擬合對象可以直接是服從正態分布的原始采樣數據，或經處理后服從學生t分布以及F分布的擬合對象；也可以從特征函數角度設計擬合對象。不同的擬合對象得到的效果存在差異，在下文中會進一步說明。

3.1.1 擬合對象服從正態分布

那么在H0時，X是獨立同分布的序列，并且服從分布，其中在 H1時，假設服從分布 F1（x）。

對觀測數據直接擬合，擬合對象服從正態分布，運算復雜度低。但是當噪聲方差未知時算法可靠性降低，因此可以對原始數據先進行處理，再進行擬合。

3.1.2 擬合對象服從學生t分布

當噪聲方差已知時，目前有很多有效的檢測算法，比如能量檢測算法、AD檢測算法［14］。然而當噪聲方差未知時，這些算法性能會隨方差估計的偏差增大而快速下降。基于學生t分布的GOF盲頻譜感知算法［20］可以克服噪聲不確定度的影響。

［19］可知，當授權用戶不存在時，服從自由度為m-1的t分布，其累積分布函數函數記為 G0，m（y），即：

其中，Γ是伽瑪函數。

3.1.3 擬合對象服從F分布

基于F分布的GOF盲頻譜感知算法［21］也可以有效克服噪聲不確定度的影響。與第3.1.2節對原始數據的處理方式相同：先將L個觀測數據按先后順序分成N個不同的部分，再根據式（6）求每段數據的樣本均值和方差，最后將樣本的均值平方與方差作比，得到新的序列：

3.1.4 擬合對象是原始數據的特征函數

為了克服噪聲不確定度，參考文獻［26］中提出利用H0和H1時接收信號特征函數的差異進行頻譜感知。在式（1）的頻譜感知模型中，H0時xi是服從均值為0、方差為σ2的正態分布，其特征函數為 ∮0（υ）。H1時由于 PU 的存在，xi不服從均值為 0、方差為 σ2的正態分布，其特征函數偏離 ∮0（υ）。因此可以通過衡量接收數據的經驗特征函數與H0時特征函數∮0（υ）之間的距離來判斷主用戶是否成立。參考文獻［26］中將檢驗統計量設置為：

3.2 動態信號

在式（1）的頻譜感知模型中，在中頻或者射頻端采樣時，由于u不斷變化，針對靜態信號GOF類算法的性能會急劇下降，甚至差于ED算法的性能。

在動態信號模型下，可以使用基于卡方分布的GOF類頻譜感知算法。該算法的模型如下：

其中，xi是第 i（i=1，2，…，L）時刻的接收信號，si是PU發送的信號第i（i=1，2，…，L）時刻在接收端的采樣值，并且是一個時變的復信號，wi是均值為0、方差為σ2的加性高斯白噪聲。

前文提出了多種對原始采樣數據的處理方法，得到服從不同分布的新的數據作為擬合對象。針對靜態信號，可以采用服從正態分布、學生t分布、F分布的擬合對象。當擬合對象服從正態分布時，算法復雜度較低，但是需要噪聲方差信息，受噪聲不確定度的影響。當擬合對象服從學生t分布、F分布以及擬合特征函數時，可以克服噪聲不確定度的影響，并且性能較擬合對象服從正態分布時得到提升，但是增加了算法的復雜度。針對動態信號，介紹了新的模型，得到了服從卡方分布的數據。

對原始采樣數據進行處理得到要擬合的數據，需要再選取合適的準則進行擬合，從而完成頻譜感知。

4 GOF擬合準則

第2節中提到的GOF類算法是通過H0時Y的分布函數 F0（y）和 Y 的經驗分布函數 FL（y）之間的距離，來判斷H0假設是否成立。距離的取法多種多樣，以不同的方式定義距離會得到不同的統計量。

GOF類算法的統計量基本上分為兩類：上界型（極值型）和積分型。統一的形式如下：

上界型統計量：

積分型統計量：

其中，q（t）為權函數。其一般形式為 q（t）=t2υ-1（1-t）2u-1。

取不同的參數λ和不同的權函數q（t），可以得到各種統計量。

|λ|越大，FL（y）與 F0（y）之間的細微差別會放得越大。從這個角度來說，選擇|λ|較大的統計量更易區分這兩個分布函數。但從另一個角度來看，當|λ|過大時，FL（y）與 F0（y）之間的細微差別被放大，使得研究檢驗統計量的樣本分布變得比較困難。這從兩方面可以得到體現：一是它的有限樣本分布與極限分布偏差太大，做檢驗時由極限分布確定的臨界值基本無用；二是數據的統計量值太大，也不利于計算機的計算或模擬，特別是靠近分布的兩個端點（F0（y）接近于0或1的點）處的細微差別，在|λ|較大時被放得過大，很有可能造成數據的溢出而導致檢驗無法進行。另外，計算時間也是一個問題，計算時間過長會使所構造的檢驗基本無用。這就要求在這些問題中做出均衡選擇。

選取最優的λ時，一般遵循如下兩個準則：所構造的檢驗統計量在零假設成立時，能夠較快地收斂到其對應的極限分布；統計量的值不會出現過分膨脹現象，從而導致計算過程無法進行或計算機本身引起的誤差過大。

常用的GOF擬合準則有KS、CM和AD 3種。

4.1 KS檢驗

當 λ=1、q（t）=［t（1-t）］-1時，2RL，λ（q）就是 KS 統計量的平方。在KS檢驗［17］中，F0（y）和 FL（y）之間的距離定義如下：

其中：

其中，zi=F0（yi）。當 F0（y）和 FL（y）之間的距離 DL大于門限值時，認為 FL（y）已經偏離 F0（y），判斷 H0成立。因此，通過P（DL＞t0|H0）=α 可以求出門限 t0，α 代表虛警概率。檢測概率可以表示如下：

由參考文獻［14］可知：當 L=14，α=0.05 時，t0=0.349；α=0.01 時，t0=0.148。當 L=28，α=0.05 時，t0=0.25；α=0.01 時，t0=0.3。當 L＞35，α=0.05 時，t0=1.36；α=0.01時 ，t0=，檢測概率Pd收斂到1。在KS檢驗中，F0（y）和 FL（y）之間的距離用的是這兩個函數之 間的 最大距離，這樣運算量較小。但是由于沒有使用分布函數所有位置的值來度量距離，因此與后兩種使用分布函數所有信息的檢驗方法相比，性能較差。

4.2 CM檢驗

當 λ=1、q（t）=［t（1-t）］-1時，2TL，λ（q）就是CM的統計量。在 CM［16］檢驗中，F0（y）和 FL（y）之間的距離定義如下：

由參考文獻［14］可知WL2可以被簡化為下面的形式：

其中，zi=F0（yi）。由參考文獻［14］可 知 ：α=0.05 時，t0=0.462；α=0.01 時，t0=0.743。

檢測概率可以表示如下：

L→+∞時，檢測概率PCM以的速度收斂到1。其中，λ是大于零的任何數，。在CM檢驗中使用了分布函數所有位置的值來度量距離，與KS檢驗相比，雖然增加了運算量，但是檢測性能得到了提升。對其加權函數進行改進，產生了AD檢驗，可以得到更優的性能。

4.3 AD檢驗

當 λ=1、q（t）=1 時，2TL，λ（q）就是AD統計量。在AD檢驗［14］中，F0（y）和 FL（y）之間的距離定義如下：

由參考文獻［14］可知，AL2可以被簡化為下面的形式：

其中，zi=F0（yi）。通過 P（AL2＞t0|H0）=α 可以求出門限 t0。由參考文獻［14］可知：當 L≥5，α=0.05 時 ，t0=2.492；α=0.01時，t0=3.857。

檢測概率可以表示如下：

L→+∞時，檢測概率PAD以的速度收斂到1。其中，λ是大于零的任何數。

4.4 右尾AD檢驗

根據參考文獻［38］可知，AD準則側重雙尾檢驗，而對于右尾分布更密集的數據，使用側重右尾檢驗的RAD（right-tail AD）準則可以獲得更理想的性能。當 λ=1、q（t）=t-1時，2TL，λ（q）就 是 RAD 的統 計量。在RAD檢驗［38］中，F0（y）和FL（y）之間的距離定義如下：

RL2可以被簡化為下面的形式：

其中，zi=F0（yi）。通過 P（RL2＞t0|H0）=α 可以確定判決門限t0和虛警概率α的關系。

4.5 單邊AD檢驗

AD 檢驗擬合分布對于 FL（y）＞F0（y）和 FL（y）＜F0（y）兩種情況都適用。但在式（12）擬合對象服從卡方分布的模型中，H1時的擬合對象恒大于 H0時，也就是 FL（y）＜F0（y）恒成立。這時采用單邊AD檢驗可以提升性能、降低計算復雜度。在單邊 AD 檢驗［30］中，F0（y）和 FL（y）之間的距離定義如下：

ΩL2可以被簡化為下面的形式：

其中，zi=F0（yi）。

GOF類算法常用的擬合準則有KS、CM、AD、RAD以及單邊AD。KS運算復雜度最低，性能最差。CM與AD復雜度相近，AD的性能略優于CM，RAD更側重右尾密集的數據，單邊AD在H1時的擬合對象恒大于H0時的情況下可以得到更好的性能。可以根據實際需求選擇對應的擬合準則。

5 仿真分析

對文中的幾種GOF算法以及ED算法進行10 000次Monte-Carlo模擬仿真實驗，并通過考察一定Pf條件下算法所能達到的檢測概率Pd來評價其性能。當存在噪聲不確定度 B［8］時，真實的噪聲方差在區間［σ2，ασ2］取值，其中，α=100.1B。如無特殊說明，仿真時L=28，Pf=0.05，σ2=1。因為ED算法需要知道噪聲方差，因此在仿真中假設噪聲方差σ2為1。

圖2是ED算法與GOF類算法的性能對比。從圖2可以看出，傳統的ED算法在低信噪比時性能較差。當SNR=-2 dB時，AD可以達到0.99的檢測概率，CM可以達到0.98的檢測概率，KS可以達到0.95的檢測概率，而ED算法的檢測概率只有0.63。要使檢測概率達到0.9，AD和CM要求信噪比達到-4 dB，KS要求信噪比達到-3 dB，而ED算法需要的信噪比達到0 dB。AD和CM的性能比ED好了約4 dB，KS比ED好了約3 dB。

ED算法與GOF類算法的判決門限和采樣點數的關系如圖3所示。由圖3可見，ED算法的門限值隨著采樣點數的增加而增加，GOF類算法的門限值隨著采樣點數的增加不發生變化，由此可見，GOF類算法的門限不受采樣點數的影響。

圖4、圖5分別是ED算法、AD擬合正態分布算法、AD擬合學生t分布算法在B=0、B=2時的性能比較。由圖4可知，當B=0時，AD擬合學生t分布算法略優于AD擬合正態分布算法，而這兩種GOF類算法明顯優于ED檢測算法。由圖5可知，當B=2時，對比圖4、圖5可知，采用 AD擬合學生 t分布算法得到的 Pd、Pf和 B=0時得到的 Pd、Pf相等，而采用ED算法、AD擬合正態分布算法得到的Pd、Pf發生了變化。比如在SNR=-4 dB時，采用ED算法的Pd分別從0.38變為0.49，采用ED算法、AD擬合正態分布算法的 Pf分別從 0.05變為 0.18、0.05變為 0.09，顯然，此時 Pf未達到預設的要求 （即Pf=0.05）。由此可見，ED算法、AD擬合正態分布算法受噪聲不確定度影響，而AD擬合學生t分布算法可以克服噪聲不確定度的影響。

圖2 ED與GOF類算法性能比較

圖3 ED與GOF類門限和采樣點數的關系

圖6是AD擬合學生t分布、擬合特征函數這兩種盲頻譜感知算法性能比較。從圖6可見，噪聲不確定度分別為0、2時，AD擬合學生t分布算法、擬合特征函數算法得到的Pd、Pf幾乎不變，這說明了這兩種算法均不受噪聲不確定度的影響。而AD擬合學生t分布算法優于擬合特征函數算法，比如SNR=-4 dB時，AD擬合學生t分布算法的檢測概率為0.91，而擬合特征函數算法的檢測概率為0.83。

圖4 B=0時ED與GOF類算法擬合性能對比

圖5 B=2時ED與GOF類算法擬合性能對比

圖6 有無噪聲不確定度時GOF類算法性能對比

為進一步比較GOF類算法的性能，圖7給出了SNR=-4 dB，B=0時多種算法的ROC性能特征曲線。從圖7可見，GOF類算法的性能明顯優于ED算法，這進一步驗證GOF類算法具有更高的可靠性。

圖7 GOF類算法的ROC性能特征曲線

6 結束語

GOF類算法在低信噪比的情況可以實現快速有效的盲頻譜感知，選擇合適的擬合對象還可以克服噪聲不確定度的影響。因此，基于GOF的頻譜感知技術具有重要的研究價值。本文介紹了GOF類算法的基本原理、常用的擬合準則以及擬合對象，并對GOF類算法在頻譜感知領域的研究現狀進行了研究。從最后各種GOF類算法的仿真結果可見，相較于傳統的ED算法，GOF類算法有更優越的檢測性能，實現盲感知并且能夠克服噪聲不確定度的影響。從目前研究的成果來看，如何將GOF理論應用到協作頻譜感知中以及如何在中頻、射頻信號中使用GOF理論還有待進一步的研究。

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Research on spectrum sensing technologies based on goodness of fit

LU Guangyue，XU Cai，YE Yinghui，MI Yin
National Engineering Laboratory for Wireless Security，Xi’an University of Posts and Telecommunications，Xi’an 710121，China

Cognitive radio technology has achieved the dynamic allocation of spectrum resources，and improves the utilization rate of spectrum resources.Accurate and efficient spectrum sensing is the key step in cognitive radio.Developing a fast and high-performance spectrum sensing method has become an urgent problem to be solved.In recent years，goodness of fit（GOF）theory has been applied widely in the field of spectrum sensing and the effective spectrum sensing technology under small sample point has been implemented.Therefore，the research on spectrum sensing technology based on GOF has very significant value.The development process of GOF in areas of cognitive radio spectrum sensing was summarized，its basic principle common fitting criterion and fitting object were introduced.The simulation comparison of the algorithm was carried under the Gaussian channel and its prospects of further research was forecasted finally.

cognitive radio，spectrum sensing，goodness of fittest，fitting criterion，fitting object

TN92

A

10.11959／j.issn.1000-0801.2016136

2016-02-26；

2016-04-29

盧光躍（1971-），男，西安郵電大學無線網絡安全技術國家工程實驗室教授，主要從事現代移動通信中的信號處理工作。

徐偲（1994-），男，西安郵電大學無線網絡安全技術國家工程實驗室碩士生，主要從事現代移動通信中的信號處理工作。

葉迎暉（1991-），男，西安郵電大學無線網絡安全技術國家工程實驗室碩士生，主要從事現代移動通信中的信號處理工作。

彌寅（1986-），男，西安郵電大學無線網絡安全技術國家工程實驗室助理工程師，主要從事現代移動通信中的信號處理工作。