基于Biharmonic樣條插值的GPS高程擬合

陳向陽

(南通職業大學建筑工程學院，江蘇 南通 226007)

俞世煒

(中國礦業大學(北京) 地球科學與測繪工程學院，北京 100083)

趙國梁

(西安科技大學測繪科學與技術學院，陜西 西安 710000)

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基于Biharmonic樣條插值的GPS高程擬合

陳向陽

(南通職業大學建筑工程學院，江蘇 南通 226007)

俞世煒

(中國礦業大學(北京) 地球科學與測繪工程學院，北京 100083)

趙國梁

(西安科技大學測繪科學與技術學院，陜西 西安 710000)

介紹了GPS高程擬合原理和傳統GPS高程擬合模型，提出了基于Biharmonic樣條插值原理的GPS高程擬合模型。以實測GPS水準網為算例，使用Biharmonic樣條插值擬合模型、多項式曲面擬合模型和加權平均插值擬合進行擬合分析，分別從內外精度上驗證Biharmonic模型在GPS高程擬合方面的可靠性和可行性，并將其分析結果與常用的擬合模型進行比較，得出Biharmonic模型在GPS高程擬合中的可靠性。

GPS高程擬合；多項式曲面擬合；加權平均插值擬合；Biharmonic樣條插值；擬合模型

水準測量是大地測量以及工程測量范圍內不可缺少的一項任務，我國目前使用水準儀器測得的高程都是正常高系統，與GPS觀測技術獲得的大地高系統不一致，所以大地高轉換為正常高系統是一個非常重要的任務[1]。目前，大地高轉換為正常高有很多方法，其中理論性、邏輯性最好的方法是在地球重力場模型中利用觀測到的高精度GPS數據、重力觀測數據和DTM數據精化區域似大地水準面。但在小范圍內，不具備重力資料情況下，GPS高程擬合模型仍然是一般單位進行GPS高程轉換首選方案。

下面,筆者在傳統GPS高程擬合思想基礎上，應用新的擬合模型來解決GPS高程與正常高的轉換,并提出基于Biharmonic樣條插值擬合模型。

1 高程數據擬合原理

圖1 不同高程系統之間的關系

在不同高程系統中，其水準基準面不同，導致在不同高程系統下的高程數據不能直接引用，所以需進行高程數據的轉換。不同高程系統之間轉換關系[2]如圖1所示。

圖1中的高程關系可用式(1)表達：

Hr=H-ξ

(1)

式中，H表示大地；Hr表示正常高；ξ表示高程異常，代表似大地水準面到橢球面距離。

通過式(1)可以得出，如果已知高程異常值ξ，就可實現GPS高程轉化為正常高。

目前,確定高程異常有多種方法,但生產實際中廣泛采用 GPS高程擬合法求解高程異常。其基本思想是在生產實踐中通過對 GPS控制點進行水準聯測，對聯測數據和觀測數據進行相關性分析求取出高程異常值，根據這些聯測點來解算整個測區的似大地水準面，從而將GPS點的大地高轉換為正常高[3]。

2 基于Biharmonic樣條曲面插值原理

高程擬合根據原理不同主要分為2大類，即函數模型逼近和統計模型逼近。目前，常用函數模型有多項式擬合法、曲面內插逼近法、多面函數法等；關于函數逼近模型有很多文獻做過論述[3～5]。統計模型常用方法有加權平均法、Kriging(克里格)逼近法以及擬合推估法(配置法)。筆者在后面數據處理部分會用常用傳統擬合模型和基于Biharmonic樣條插值GPS高程擬合作比較。

常見曲面插值技術主要有雙三次樣條插值和B樣條插值等，這些插值技術多有一定局限性，對數據要求較高，控制點要均勻分布于網格，模型分析計算量較大。而筆者提出的基于Biharmonic樣條曲面插值的方法，不僅整體平滑度好，而且局部性能也有較大的提升。還有一個原因就是基于Biharmonic樣條插值方法對控制點數量和分布要求不是很高[6]。用于GPS高程插值擬合時，可以方便地通過已知高程異常值來平滑插值出整個區域內高程異常值。

Biharmonic樣條插值函數可以對散亂分布的2維數據進行曲面插值。插值所產生的曲面是以各點對應數據為中心的Green函數線性組合。該方法即可利用各點數值產生插值曲面，也可以斜率產生插值曲面。只要插值曲面滿足Biharmonic方程，所插值產生的曲面就具有最小曲率的特點。對于Biharmonic方程在不同維空間中的解即不同維的Green函數。

設m維度空間中有散亂分布的N個控制點pi(i=1～N)，對Biharmonic樣條的m維度插值問題可簡化為對方程組(2)的求解：

(2)

滿足式(2)的通解為：

(3)

系數aj滿足線性方程組(4)：

(4)

式中， φm(P)為m維Green函數。m維Green函數表達式如表1所示。

3 基于Biharmonic樣條插值原理的GPS高程擬合與算法實現

表1 m維度的Green函數

根據Bilharmonic樣條插值原理的GPS高程插值擬合算法可以對散亂分布數據點進行插值擬合，這些數據點為控制點或稱之為樣本點(已知點)，而網格上的其他點稱為待插值點或者非控制點。這樣曲面插值原理理解為，在控制點已知的前提條件下，插值產生大量其他點處的值，用插值方法對曲面進行擬合處理[7]?；贐ilharmonic曲面插值算法描述如下：

控制點之間距離的復矩陣D為：

D=X+iY

(5)

式中,X、Y分別為已知點坐標列向量。

根據式(6)重新計算D：

D=D-DT

(6)

并將D矩陣對角線元素賦值為1。

插值權重向量W為：

W=G-1×ZT(Z為高程向量)

(7)

式(7)中G可按下式計算獲得：

G=D2×(log(D)-1)

(8)

并將G矩陣對角線元素賦值為0。

再根據m維Green函數求得GREEN矩陣：

GREEN=DE2×(log(DE)-1)

(9)

最后根據式(10)插值出非控制點高程異常值：

ξ=GREEN×W

(10)

4 數據分析

GPS高程擬合精度主要由擬合點密度、點位分布情況以及擬合模型選取決定[8]。筆者所使用數據是某地72個點E級GPS靜態觀測數據，并聯測了四等水準測量，與真實的水準高程數據進行對比分析。

為了體現Biharmonic樣條模型的高精度性、高可靠性和普適性，試驗采用多組數據進行對比分析，既可證明Biharmonic樣條模型本身具有較高的擬合效果，也可體現不同控制點數量情況下Biharmonic樣條模型依然具有很好的實用效果。筆者以以下2組試驗為例進行分析。

4.1 多控制點擬合分析

試驗1中3種模型均選用相同的26個控制點進行擬合計算，其余46個點作為檢核點；試驗點位分布如圖2所示。

圖2 點位分布

圖3～圖5分別是利用多項式曲面擬合、加權平均插值擬合和Bilharmonic樣條插值擬合這3種不同擬合模型得到的結果，圖6是Bilharmonic樣條插值擬合產生的殘差圖。

圖3 多項式曲面擬合結果

圖4 加權平均插值擬合結果

表2為部分檢核點殘差統計，表3為表2的統計分析。從表3可以得出，Bilharmonic樣條插值擬合能夠很好逼近真實值；多項式曲面擬合是基于最小二乘原理的曲面擬合，對于給定的擬合函數會產生一定的擬合曲面，所以擬合出的曲面不能很好的逼近真實值；加權平均插值擬合在控制點處的擬合點與真實值有較小偏差，總體擬合結果可行性和可靠性較好。Bilharmonic樣條插值擬合不僅可以實現在控制點處的擬合點與真實值保持一致，而且總體擬合結果能夠達到很好精度。

圖5 Bilharmonic樣條插值擬合結果

圖6 Bilharmonic樣條插值擬合殘差

點號殘差/m多項式曲面擬合加權平均插值擬合Bilharmonic樣條插值擬合BYI015-0011-00030007BYI016-0040-0001-0032BYI017-0025-0011-0009BYI018-000700040003BYI020000000050002BYI0400012-00030001BYI041-000300010008BYI04300190009-0001BYI045-000700080001BYI046-00010006-0006BYI049-00050007-0001BYI051-000100010010BYI052-0003-0005-0014BYI0530000-0006-0003BYI0550001-0005-0002BYI056-0005-0006-0003

表3 3種擬合模型的殘差統計

圖7是各擬合模型在檢核點處的殘差分布情況，從圖7中可以看出多項式曲面擬合(六參數)在檢核點處出現了殘差的最大與最小，總體上也很不穩定；而加權平均插值擬合(線性)較多項式曲面擬合(六參數)而言穩定性有所提高，但是在某些檢核點處依然殘差較大；Bilharmonic樣條插值擬合在各個檢核點處具有更高的穩定性，沒有出現殘差的突變，較其他2種擬合方法更加有效。

圖7 各擬合模型在檢核點處的殘差

4.2 低密度控制點擬合分析

為了避免引入變量，更好的說明Bilharmonic樣條模型的優越性，試驗2總體依然使用該地區的72個E級點進行分析。3種模型均選用相同的13個控制點進行擬合計算，其余的59個點的真實高程作為檢核。

3種模型在選用相同的13個控制點進行擬合計算之后，將59個檢核點與實測值進行對比，殘差統計如表4所示。從表4可以得出，Bilharmonic樣條插值擬合較另外2種模型具有較高的擬合精度。

表4 3種擬合模型的殘差統計

5 結語

GPS水準模型在很大程度上決定擬合精度高低，采用不同模型，對于GPS水準擬合情況產生不同影響，模型選取對GPS水準擬合來說是關鍵問題[8，9]。筆者通過對比3種模型在GPS高程擬合中的精度，從結果可看出Bilharmonic插值擬合模型具有較好的適應性和較高的精確度，在GPS高程擬合中用于工程實踐具有較高的可行性與可靠性。

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[編輯] 張濤

2016-05-27

國家自然科學基金項目(40572155)；江蘇高校品牌專業建設工程資助項目(PPZY2015B183)；江蘇省現代教育技術研究2015年度立項課題(2015-R-44740);2016年江蘇省大學生實踐創新訓練計劃項目。

陳向陽(1975-)，男，碩士，講師，現主要從事測繪工程及數據處理方面的研究工作；E-mail：ntvccxy@126.com。

P228.4

A

1673-1409(2016)25-0001-07

[引著格式]陳向陽，俞世煒，趙國梁.基于Biharmonic樣條插值的GPS高程擬合[J].長江大學學報(自科版)，2016,13(25)：1～7.