一道解析幾何最值問題的探究

筅湖北省孝感高級中學　徐運麗

一道解析幾何最值問題的探究

筅湖北省孝感高級中學徐運麗

解析幾何最值問題是高考常考題型之一，問題求解的基本策略是利用平面幾何的幾何性質及坐標法將幾何問題代數化，進而構造出目標函數，再利用函數最值問題的求解方法解決問題.下面引例說明此類問題的解答.

一、問題展示

題目在平面直角坐標系xOy中，以點A（2，0），曲線y=上的動點B，第一象限內的點C，構成等腰直角△ABC，且∠A=90°，則線段OC長的最大值是______.

本題是以圓為背景的平面解析幾何最值問題，根據題意，構造出幾何圖形，將題目條件與所求直觀地展示出來，為后續問題的求解奠定了基礎.本題解答中利用三角形全等關系來建立未知點與已知點的聯系，進而化未知為已知.

二、分析解答

1.借助圖形尋找思維切入點

圖1　

欲求線段OC長的最大值，應先確定點C的坐標，而點C由定點A與動點B確定，故可從A、B入手，尋找點C的軌跡.

2.挖掘平面幾何性質尋找解題思維

圖2　

如圖2，分別過點B、C作x軸的垂線BD、CE.由角BAC=90°，得∠BAD+∠CAE=90°.而在Rt△CAE中∠ECA+∠CAE=90°，所以∠ECA=∠BAD.

又在Rt△BAD與Rt△ACE中，AB=AC，所以Rt△BAD≌Rt△ACE，所以BD=AE，AD=CE.

設點B的坐標為（m，n），且m2+n2=1，則點C的坐標為（2+n，2-m），所以|OC|=又因為n=所以|OC|=

至此構造出目標函數，將問題轉化為函數最值問題來處理.

3.多角度探究目標函數最值

建立平面直角坐標系xOt，如圖3考慮平行直線系t=x+b與半圓t=有公共點，則-1≤b≤，即-1≤y≤，所以y的最大值為

解法3：設m=cosθ（0≤θ≤π），則1-m2=sin2θ，故

當x>0，即0

當x<0，即-x>0時，由不等式（*）得1-x2>x2，解得-

三、變式演練

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標；

（Ⅲ）設Q（x，y）是圓P上的動點，當t變化時，求y的最大值.

本題是圓與橢圓的綜合問題，解題中需要充分結合圓與橢圓的幾何性質，將幾何問題代數化，進而構造目標函數來求最值.

（Ⅱ）由題意知，P（0，t）（-1

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圓P的方程x2+（y-t）2=3（1-t2）.因為點Q（x，y）在圓P上，所以y=t±

總之，高考命題常考常新，只要我們充分把握相關問題的處理策略，即可以不變應萬變.另外在相關最值問題的求解中，除了上述幾種方法外，還有分離常數法、二次函數配方法等，解題中要仔細斟酌、靈活應用.Z

圖3