復曲面奇點不變量

孟凡寧，袁文俊

（廣州大學數學與信息科學學院，廣東 廣州 510006）

復曲面奇點不變量

孟凡寧，袁文俊*

（廣州大學數學與信息科學學院，廣東 廣州 510006）

近幾年，作者研究了正規復曲面奇點的不變量及這些不變量之間的關系，并得出了相應的一些結果.文章主要綜述關于Brieskorn型完全交叉曲面奇點的最優解的結構，以及基本鏈、極大理想鏈和最小鏈這3個不變量之間的關系.

正規復曲面奇點；Brieskorn完全交叉；循環商奇點；基本鏈；極大理想鏈；最小鏈

1966年，ARTIN［1］定義了有理奇點，并且運用奇點的對偶解圖（等價于奇點的拓撲），給出了重數和嵌入維數這2個解析不變量的表達式，并進一步證明了基本鏈Z（為拓撲不變量）和極大理想鏈M（為解析不變量）是一致的.1970年，WAGREICH［2］給出了弱橢圓奇點的定義，并對弱橢圓二重點進行了分類.1977年，LAUFER［3］介紹了最小橢圓奇點，即滿足一個最小條件的弱橢圓奇點，證明了Z＝M，以及這些奇點是幾何虧格（解析不變量）為1的Gorenstein奇點，并根據對偶解圖對最小橢圓二重點和三重點進行了分類［4-5］.1980年，YAU［6］定義了包含最小橢圓奇點的最大橢圓奇點，其幾何虧格可以是任意大，并且證明了最大橢圓奇點是Gorenstein奇點.同時，YAU還給出了關于弱橢圓奇點的一個新概念，即橢圓序列.1999年，NéMETHI［7-8］研究了Gorenstein弱橢圓奇點X（即廣義的最小橢圓奇點），并且證明了如果X的連接Σ（即連通定向三維緊流形）是有理同調球，那么Z＝M.TOMARU［9-11］研究了超曲面奇點｛zn＝f（x，y）｝，f（x，y）∈ C C｛x，y｝，并且證明了如果n|ord（f），那么Z＝M.2012年，KONNO等［12］研究了Brieskorn型超曲面奇點，在其最優解空間上運用循環覆蓋法詳細描述了基本鏈Z和極大理想鏈M，并且給出了Z＝M成立的充要條件.由于Brieskorn完全交叉曲面奇點是廣義的Brieskorn型超曲面奇點，所以探討Brieskorn型完全交叉曲面奇點的不變量也是非常有意義的.2014年，MENG等［13］推廣了KONNO的結果，即在最優解空間上，詳細描述了Z和M，并且給出了Z＝M成立的充要條件.從以上結論可見，基本鏈Z是一個重要的拓撲不變量，也就是由奇點的拓撲決定的，而極大理想鏈M是一個解析不變量，即由奇點的解析結構決定的，但它不一定是拓撲的.那么這些解析不變量在什么條件下是拓撲的，或者是否存在一些特殊奇點類，其某些解析不變量是拓撲的呢？探討這些解析不變量的拓撲性，在復曲面奇點論中是非常有研究意義的.

同樣，對于某些特殊奇點類，探討其某些由奇點的拓撲決定的重要鏈之間的關系，對于尋求解析不變量與奇點的拓撲之間的關系也是非常重要的.1985年，STEVENS［14］研究了Kulikov奇點，并且證明了在最小解空間上，最小鏈A（為拓撲不變量）與基本鏈Z是一致的.1995，TOMARU［9］研究了Brieskorn型超曲面奇點，2≤a1≤a2≤a3，并且給出了A＝Z成立的充分條件.隨后，Meng研究了廣義的Brieskorn型超曲面奇點，即Brieskorn型完全交叉曲面奇點，給出了A與Z一致的充分條件.近幾年來，筆者在復曲面奇點的解上研究了拓撲不變量與解析不變量之間的關系，本文將綜述所得出的結果.

在部分1中，介紹一些關于正規復曲面奇點的一些基本定義和性質，正規復曲面奇點的最小解，最優解及其對偶解圖，以及關于循環商奇點的一些基本結果.在部分2中，介紹了Brieskorn型完全交叉曲面奇點的對偶解圖及零因子（xi）E的表達式.基本鏈和典范鏈這2個重要的拓撲不變量的表達式在部分3中給出，同時還給出了基本虧格的計算公式.對于極大理想鏈，在部分4中給出詳細的描述，另外，還介紹了Brieskorn型完全交叉曲面奇點與Kodaira奇點的關系.在部分5中，介紹了正規復曲面奇點的最小鏈及其與基本鏈的關系.

1 預備知識

的線性組合，稱為E上的一個鏈.如果所有的di≥0，那么D稱為E上的一個有效鏈，記作D≥0.對E上所有的有效鏈D，稱

為D的算術虧格，其中KX～為X～上的典范因子.對于E的任何一個不可約分量EiE，有

其中g（Ei）表示Ei的虧格，δ（Ei）表示Ei上結點和尖點的個數.如果B，C是E上的任意鏈，那么

1.1 正規復曲面奇點的解及其對偶解圖

眾所周知，奇點的拓撲與奇點的對偶解圖是相互決定的［7，15］，如果把奇點的拓撲用奇點的對偶解圖來描述，就可以更簡捷直觀地去分析復曲面奇點的一些不變量.

注1 如果（X，o）的最小解π存在，那么π是惟一的.

（1）E的每一個不可約分量Ei都是光滑的；

（2）E的所有不可約分量如果相交則垂直相交；

（3）對于任意3個不同的i，J，k，Ei∩EJ∩Ek＝

注2 對任意一個復曲面奇點（X，o），

（1）（X，o）的優解總是存在的且不惟一，但是存在惟一一個最優解［16］；

（2）在任意解上的點有限次連續拉開后，可以得到最優解［17］；

（3）（X，o）的最小解是惟一存在的，但不一定是優解.

如果Ei∩EJ≠，那么ΓE中對應于Ei∩EJ的邊表示為

1.2 循環商奇點

設n和μ為正整數且滿足μ＜n和gcd（n，μ）＝1，εn為n次單位原根，稱商奇點

為Cn，μ型循環商奇點.這里記C1，0型奇點為一個非奇點.對于整數ci≥2，i＝1，…，r，記

眾所周知［19］，如果是Cn，μ型奇點的最小解的例外因子，n/μ＝［c1，…，cr］，那么EiP P1，并且E的賦權對偶解圖為1（見圖1）.對任意x∈ R R，記「x」＝min｛n∈ Z Z|x≤n｝.

圖1 ∪ri＝1Ei的賦權對偶解圖Fig.1 The weighted dual graph of

引理1［12］設ei＝［ci，…，cr］，λ0為正整數.對于1≤i≤r，令λi＝「λi-1/ei」，且取互素正整數ni和μi滿足ni/μi＝ei.記λr+1：＝λrcr-λr-1.

（1）對于1≤i≤r，如果λi-1＝λici-λi+1，那么λ1＝（μ1λ0+λr+1）/n1.

（2）對于1≤i≤r，如果λ0≡0（mod n），那么λi＝μiλi-1/ni；如果μ1λ0+1≡0（mod n1），那么λi＝（μiλi-1+1）/ni.

（3）對于1≤i≤r，如果λ0≡0（mod n1）或者μ1λ0+1≡0（mod n1），那么λi-1＝λici-λi+1.進一步地，λr+1＝0當λ0≡0（mod n1）；λr+1＝1當μ1λ0+1≡0（mod n1）.

（4）如果λ0≡0（mod n1），那么λr＝λ0/n1.如果μ1λ0+1≡0（mod n1），那么λr＝「λ0/n1」.

2 （V，o）的對偶解圖及零因子（xi）E

本文主要考慮Brieskorn型完全交叉孤立曲面奇點（V，o）（ C Cm，o），其中

根據SERRE′s正規判定標準，（V，o）是一個正規曲面奇點.

對于2≤k≤m和1≤i≤k，定義正整數dik，nik和eik如下：

（定義dik中的＾表示省略項.）另外，定義整數μim滿足如下條件：

對于1≤i≤m，定義整數g^和g^i如下：

KONNO等［12］運用循環覆蓋法給出了Brieskorn超曲面奇點的優解結構.筆者根據KONNO介紹的循環覆蓋法，首先給出平面曲線奇點的最優嵌入解的結構，這些解的結構的奇點中只包含循環商奇點，然后再根據引理1和TOMARU的結果［13，20］，以遞推的形式逐步給出部分曲面的正規化的結構，這樣就得出這些部分曲面的部分解的奇點中只包含循環商奇點，最后運用循環商奇點的性質給出了（V，o）的優解的結構以及零因子（xi）E的詳細描述［13］.令

定理1［13］設g和-c0分別為E0的虧格和自交數，那么例外因子E的賦權對偶解圖如圖2，其中不變量g和c0為

圖2 （V，o）的例外因子E的賦權對偶解圖Fig.2 The weighted dual graph of the exceptional divisor E over（V，o）

進一步地，

這樣，根據零因子Z（i）就可以得出極大理想鏈Zm，而且可見，不變量g，c0以及零因子Z（i）都可以用a1，…，am來表達.對于零因子Z（i），可以得出如下性質：

引理2［13］對于1≤w≤m，有

例2 設a1＝…＝am-3＝2，am-2＝3，am-1＝4，am＝5，m≥4.那么

根據定理1，有c0＝2m-3，g＝（m-6）·2m-5+1，從而E的賦權對偶解圖見圖3.

圖3 對于a1＝…＝am-3＝2，am-2＝3，am-1＝4，am＝5的E的賦權對偶解圖Fig.3 The weighted dual graph of E with a1＝…＝am-3＝2，am-2＝3，am-1＝4，am＝5

更進一步，明顯地，Z（m）＜Z（m-1）＜Z（m-2）＜Z（m-3）＝…＝Z（1），并且

3 基本鏈和典范鏈

設（X，o）是一個正規復曲面奇點，π：（X～，E）→（X，o）是（X，o）的一個解，其中E＝π-1（o）為X～上的例外因子.

定義4 設Z＞0是例外因子E上的一個鏈，如果

引理3［9］設D為E上的一個任意鏈且滿足0≤D≤ZE，那么pa（D）≤pf（X，o）.

1972年，LAUFER［21］給出了一種計算基本鏈ZE的計算方法，具體如下：

設E上的鏈D滿足0≤D＜ZE，其中ZE是E上的基本鏈.那么對于J＝ε+1，…，l，可以構造如下序列：

使得ZJ-1EiJ＞0，其中Ei1是任意的，并且ε＝0如果D＞0；ε＝1如果D＝0，稱此序列為D到ZE的計算序列.當D＝0，此序列即為LAUFER［21］給出的關于ZE的計算序列.

令Z1＝E0，Z2＝Z1+E1，Z3＝Z2+E2，Z4＝Z3+E3， Z5＝Z4+E0，Z6＝Z5+E0，Z7＝Z6+E1，Z8＝Z7+ E0，Z9＝Z8+E2，Z10＝Z9+E0，Z11＝Z10+E1，Z12＝Z11+E0＝ZE.那么｛Zi｝就是在X～上關于基本鏈ZE的一個計算序列.實際上，有Z1E1＞0，Z2E2＞0，Z3E3＞0，Z4E0＞0，Z5E0＞0，Z6E1＞0，Z7E0＞0，Z8E2＞0，Z9E0＞0，Z10E1＞0，Z11E0＞0，并且ZEE0＝0，ZEE1＝0，ZEE2＝0，ZEE3＝-1＜0.這樣可以得出基本鏈ZE＝6E0+3E1+2E2+E3.

設（V，o）如部分2中給出的定義，π：（V～，E）→（V，o）是（V，o）的優解，ZE為E上的基本鏈.因為（V，o）為Gorenstein奇點［22］，所以存在一個鏈ZK使得-ZK為V～上的典范因子，即EiZK＝-EiKV～，稱ZK為V～上的典范鏈.設a1≤…≤am，由于di＝diknik＝aieik，有e1m≥…≥emm.

定理2［13］設εw，ν＝［cw，ν，…，cw，sw］當sw＞0，基本鏈

那么θw，0，ξ：＝θ0：＝min（emm，α1…αm），θw，ν，ξ＝「θw，ν-1，ξ/εw，ν」（1≤ν≤sw）.

例4 設a1＝a2＝2，a3＝…＝am-1＝3，am＝4，m≥4.那么

由定理1，c0＝4·3m-5，g＝（4m-15）·3m-5+1，從而E的賦權對偶解圖見圖4.

圖4 對于a1＝a2＝2，a3＝…＝am-1＝3，am＝4的E的賦權對偶解圖Fig.4 The weighted dual graph of E with a1＝a2＝2，a3＝…＝am-1＝3，am＝4

進一步地，由定理1，可以得出

根據定理2，得到θ0＝min（emm，α1…αm）＝2，并且E上的基本鏈

明顯地，α1…αm＝2＜emm＝3，并且ZE＜Z（m）.

相反地，在例2的情況下，有a1＝…＝am-3≤am-2≤am-1≤am，emm＝12，α1…αm＝30，θ0＝min（emm，α1…αm）＝12.那么根據定理2，可以得出E上的基本鏈

明顯地，α1…αm＞emm和ZE＝Z（m）.

引理4［13］ZE＝Z（m）當且僅當emm≤α1…αm.

定理3［13］設Z0＝ZE，其中ZE滿足定理2中的條件θ0＝α1…αm.那么

例5 在例2的情形下，有

對于正規復曲面奇點（X，o），其基本鏈的算術虧格，即

也是一個重要的拓撲不變量，稱之為基本虧格，記為pf（X，o）.對于加權齊次曲面奇點，TOMARU［9］給出了其基本虧格pf的計算公式；隨后，TOMARU［23］運用TOMARI的結果得出了超曲面奇點｛f（x，y）＝zn｝的基本虧格pf的計算公式［9］.在此基礎上，本文給出了Brieskorn型完全交叉曲面奇點（V，o）（部分2中的定義）的基本虧格pf的計算公式，具體結果如下：

定理4［13］如果emm≥α1…αm，那么

4 極大理想鏈與Kodaira奇點

在復曲面奇點類中，存在一些由奇點的解析結構決定的不變量，稱之為解析不變量，這些不變量在一般情況下是不能完全由其對偶解圖決定的，例如幾何虧格，嵌入維數等.下面將探討極大理想鏈（解析不變量）的拓撲性，其定義如下：

其中（h）E是E上的鏈，H不包含E的任何一個不可約分量.

注3 根據基本鏈和極大理想鏈的定義，ZE≤Zm總是成立的.

設（V，o）如部分2中的定義，π：（～V，E）→（V，o）是（V，o）的優解，a1≤…≤am，m為局部環OV，o的極大理想，Zm為～V上的極大理想鏈.那么根據Zm的定義，有

定理5［13］Z（m）≤…≤Z（1）.因此，Zm＝Z（m）.進一步地，極大理想鏈Zm在（V，o）的最優解空間和～V上與基本鏈ZE一致的充要條件是emm≤α1…αm.

例7 （α1…αm＜emm） 設a1＝a2＝2，a3＝…＝am＝3，m≥3.那么

同時，β1＝…＝βm＝0，故E不可約，ZE＝E，Zm＝2E.根據定理1，有c0＝3m-4，g＝（2m-7）· 3m-4+1.

例8 （α1…αm≥emm） 設a1＝…＝am-2＝2，am-1＝3，am＝7，m≥4.那么

這樣，E的賦權對偶解圖見圖5，其中分量Em，sm，ξ對應于自交數為-7的頂點.從定理1，有c0＝2m-4，g＝（m-6）·2m-5+1.因為α1…αm＝21＞6＝emm，根據定理5，有Zm＝ZE.

圖5 對于a1＝…＝am-2＝2，am-1＝3，am＝7的E的賦權對偶解圖Fig.5 The weighted dual graph of E with a1＝…＝am-2＝2，am-1＝3，am＝7

對于正規復曲面奇點，KARRAS［4］給出了關于曲線束的Kodaira奇點的定義，證明了這些奇點的幾個基本性質，并將其結論運用到復曲面奇點的形變理論中去.事實上，如果正規復曲面奇點（X，o）是Kodaira奇點，那么在最小解上，其基本鏈ZE與極大理想鏈Zm是一致的.

定義6 設S為一非奇復曲面，Δ C C是關于原點的一個開圓盤，稱全純滿射Φ：S→Δ為虧格g的曲線束，如果Φ為連通真映射，纖維St：＝Φ-1（t）（t≠0）為虧格g的光滑曲線.

定義7［4］正規復曲面奇點（W，p）稱為Kodaira奇點，如果存在曲線束Φ：S→Δ使得在奇異纖維So：＝Φ-1（o）的非多重分量上的有限多個非奇點P1，…，Pr上拉開有限次后，Ψ：S′→S，存在全純映射：M→W使得是（W，p）的解，且例外因子為F，其中M為S′上Supp（So）的嚴格變換F的開域.

1981年，KARRAS在最優解空間上給出了一個判定正規復曲面奇點為Kodaira奇點的判定準則如下.

命題1［4］設：（M，F）→（W，p）為正規復曲面奇點（W，p）的最優解，ZF為F上的基本鏈.那么（W，p）是Kodaira奇點當且僅當在ZF上，對于任何一個滿足ZFFJ＜0的分量FJ的系數為1，并且存在元素h∈OW，p使得零因子divM（h）是正規正交的，且例外部分（h）F＝ZF.

例9 設W＝｛x2+y3+z8＝0｝，：（M，F）→（W，o）為（W，o）的最優解，其中F為例外因子.從定理1可以得出F的賦權對偶解圖如下：

根據定理2，可以得出基本鏈ZF＝3F0+F1+ F2+F3.明顯地，ZFF0＝0，ZFF1＝0，ZFF2＝0，ZFF3＝-1＜0，且ZF上F3的系數為1.同時，根據定理1，存在元素z∈OW，o使得零因子divM（z）是正規正交的，其例外部分（z）F＝3F0+F1+ F2+F3.這樣，（z）F＝ZF.根據命題1，可以得出（W，o）是一個Kodaira奇點.

定理6［13］設（V，o）如部分2中的定義，那么（V，o）為Kodaira奇點當且僅當dm-1≤am.

例10 在例7的情況下，有dm-1＝6＞am＝3.這樣根據定理6，奇點（V，o）不是一個Kodaira奇點.相反，在例8的情況下，有dm-1＝6＜am＝7.同樣根據定理6可以得出奇點（V，o）是一個Kodaira奇點.

5 最小鏈

定義8 設A是E上的一個鏈且滿足0＜A≤ZE.假設pf（X，o）≥1.那么稱A為最小鏈，如果pa（A）＝pf（X，o），且對E上任意滿足0≤D＜A的鏈D有pa（D）＜pf（X，o）.

引理5［3］對所有滿足pf（X，o）≥1的正規復曲面奇點（X，o），其最小鏈是惟一存在的.

1977年，LAUFER證明了如果（X，o）是橢圓奇點，即pf（X，o）＝1，那么A為最小橢圓鏈［3］. 1985年，STEVENS［14］研究了Kodaira奇點的一個子類，即Kulikov奇點，并且證明了如果（X，o）是最小Kulikov奇點，且π是最小解，那么ZE＝A.

定理7［9］設π：（V～，E）→（V，o）是（V，o）的最優解或最小解，A是E上的最小鏈.假設pf（V，o）≥2，那么-KV～≥ZE+A.

定理8①MENG F N，YUAN W J，WANG Z G.The minimal cycles over Brieskorn complete intersection surface singularities［J］.Taiwan J Math，2015，accepted.設π′：（Vˉ，E）→（V，o）是（V，o）的最小解.如果lcm（a1，…，am-1）≤am≤2·lcm（a1，…，am-1）且pf（V，o）≥2，那么在E上有ZE＝A.

運用LAUFER計算序列，得出基本鏈ZE＝3E1+ 2E2+2E3+E4+2E5+E6，基本虧格pf（W，o）＝2.最小鏈A＝2E1+E2+2E3+E4+2E5+E6，且-KV～＝8E1+4E2+6E3+3E4+6E5+3E6.明顯地，ZE≠A和-KV～＞ZE+A.

［1］ ARTIN M.On isolated rational singularities of surfaces［J］.Amer J Math，1966，88（1）：129-136.

［2］ WAGREICH P.Elliptic singularities of surfaces［J］.Amer J Math，1970，92（2）：419-454.

［3］ LAUFER H.On minimally elliptic singularities［J］.Amer J Math，1977，99（6）：1257-1295.

［4］ KARRAS U.On pencils of curves and deformations of minimally elliptic singularities［J］.Math Ann，1980，247（1）：43-65.

［5］ STEVENS J.Elliptic surface singularities and smoothings of curves［J］.Math Ann，1984，267（2）：239-249.

［6］ YAU S S T.On maximally elliptic singularities［J］.Trans Amer Math Soc，1980，257（2）：269-329.

［7］ NéMETHI A.“Weakly”elliptic Gorenstein singularities of surfaces［J］.Invent Math，1999，137（1）：145-167.

［8］ NéMETHI A.Invariants of normal surface singularities［J］.Real Complex Singul（Contemp Math，354），Amer Math Soc，Provid，RI，2004，161-208.

［9］ TOMARU T.On Gorenstein surface singularities with fundamental genus pf≥2 which satisfy some minimality conditions［J］.Pacif J Math，1995，170（1）：271-295.

［10］TOMARU T.On Kodaira singularities defined by zn＝f（x，y）［J］.Math Zeitschrift，2001，236（1）：133-149.

［11］TOMARU T.Complex surface singularities and degenerations of compact complex curves［J］.Demonst Math，2010，43（2）：339-359.

［12］KONNO K，NAGASHIMA D.Maximal ideal cycles over normal surface singularities of Brieskorn type［J］.Osaka J Math，2012，49（1）：225-245.

［13］MENG F N，OKUMA T.The maximal ideal cycles over complete intersection surface singularities of Brieskorn type［J］.Kyushu J Math，2014，68（1）：121-137.

［14］STEVENS J.Kulikov singularities［D］.Holland：Universiteit Leiden，1985.

［15］NEUMANN W D.A calculus for plumbing applied to the topology of complex surface singularities and degenerating complex curves［J］.Trans Amer Math Soc，1981，268（2）：299-344.

［16］LAUFER H B.Normal two-dimensional singularities［M］.Ann Math Studies，No.71，Princeton：Princeton University Press，1971.

［17］BARTH W P，Hulek K，PETERS C A M，et al.Compact complex surfaces［M］.2nd ed.Ergebnisse der Math und ihrer Gren，3，Folge，a series of Modern Surveys in Math，4，Berlin：Springer-Verlag，2004.

［18］NéMETHI A.Five lectures on normal surface singularities［J］.Bolyai Soc Math Stud，1999，8：269-351.

［19］HIRZEBRUCH F.Uber vierdimensionale Riemannsche Flachen mehrdeutiger analytischer Funktionen von zwei komplexen Veranderlichen［J］.Math Ann，1953，126：1-22.

［20］TOMARU T. C C*-equivariant degenerations of curves and normal surface singularities with C C*-action［J］.J Math Soc Japan，2013，65（3）：829-885.

［21］LAUFER H B.On rational singularities［J］.Amer J Math，1972，94：597-608.

［22］OKUMA T.Plurigenra of surface singularities［M］.Huntington：New York，Nova Science Publishers，2000.

［23］TOMARU T.A formula of the fundamental genus for hypersurface singularities of Brieskorn type［J］.Ann Rep Coll Med Care Tech Gunma Univ，1996，17：145-150.

The invariants of normal com plex surface singularities

MENG Fan-ning，YUAN W en-jun
（School of Mathematics and Information Sciences，Guangzhou University，Guangzhou 510006，China）

In recent years，we have been studying the invariants over normal complex surface singularities and their relations，and obtained some corresponding results.In this paper，we mainly give a survey on the structure of the minimal good resolution of Brieskorn complete intersection surface singularities，and the relations among the three invariants：fundamental cycle，maximal ideal cycle and minimal cycle.

normal complex surface singularity；Brieskorn complete intersection；cyclic quotient singularities；fundamental cycles；maximal ideal cycles；minimal cycles

O 187.2

A

1671-4229（2016）01-0018-09

【責任編輯：周 全】

2015-06-19；

2015-09-09

國家自然科學基金資助項目（10771220）；教育部留學回國人員科研啟動基金資助項目；廣東省自然科學基金資助項目（2015A030313346，S2012010010121）

孟凡寧（1982-），男，博士.E-mail：mfnfdbx＠163.com

*通信作者.E-mail：wjyuan1957＠126.com