只要有夢，天空終究會是藍色的——談一節“不等式二輪復習課”

江蘇省濱海中學 (224500)

李 蕾

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只要有夢，天空終究會是藍色的
——談一節“不等式二輪復習課”

江蘇省濱海中學 (224500)

李 蕾

最近，筆者在一節二輪復習課上與學生一起分析解決了一道高考題的壓軸題，受益匪淺，整理成文與各位讀者分享.

一、題目再現

此題為2014遼寧卷第16題，填空題的壓軸題，屬于難題.命題意圖：主要考察不等式的綜合應用，函數與方程的思想，并考察學生的綜合數學思維能力.

二、錯解展示

該學生做完之后，筆者先是一愣，原因有二：一是學生給出的方法比較簡潔且自然，完全出乎我的意外；二是得到的結果和參考答案不一樣.筆者知道，學生的解法估計是有問題的，可問題出在哪里呢？

三、錯因分析

筆者先和學生一起來分析題目，分析學生的解決過程.

筆者提問：要解決這個問題我們可以分幾步來完成呢？

筆者：很好：那黑板上的過程哪些是第一步，哪些是第二步呢？學生很快給出答案.

“那你覺得他的每一步過程是不是都對呢？”筆者追問.

(筆者提示：對于給定常數c>0，告訴你a,b的關系(a,b都是變量)，要求|2a+b|的最大值，其最大值能含有a嗎？

學生恍然大悟，發現那位同學的過程中|2a+b|的最大值3a2+c不是定值，可能存在問題，從而答案也就有可能不對了.要解決問題首先就要去解決第一步：對于任何給定的常數c>0，已知4a2-2ab+4b2=c，如何求|2a+b|的最大值(筆者提示：請大家回憶，以前處理二元函數的最值問題都有哪些方法呢？)筆者又給學生幾分鐘思考時間.

四、展翅飛翔

沒一會一位學生就站起來說：老師，我們可以設2a+b=t，將b=t-2a代入到原方程中，利用關于a的一元二次方程有解，其判別式大于等于零來解決.

筆者給予充分肯定：很好!這種方法是我們處理二元函數的最值，特別是看不出目標函數和已知條件的關系時，經常使用的方法，下面請大家嘗試一下.

沒過幾分鐘，大家就整理完善出如下方法：

筆者進一步提問：處理二元函數的最值，我們還有別的方法嗎？學生說消元和基本不等式.但此題消元的確比較難以分離開兩個變量，那么基本不等式能解嗎？第一位同學其實就是使用基本不等式處理的，可惜的是最值跟a有關(不是定值)，那我們能不能改進呢？學生們又開始積極地思考.

沒過多久，一位學生說老師不知這樣的對不對，筆者讓其展示其過程，如下：

以下解法同前.

全班學生剛開始是驚嘆，隨后便開始鼓掌.筆者對這兩種使用基本不等式的方法給予充分肯定，并總結：前幾位同學都抓住了2a+b這一整體結構，這也是我們平時強調的：結構決定解法.也是使用基本不等式最關鍵的地方.

當筆者讓學生們仔細體會以上幾種解法時，一位女生膽顫心驚地說：老師，我們覺得處理二元函數的最值問題，有時還可以從規劃問題入手抓住幾何意義去解決.我的解法不知道對不對？筆者眼前一亮，那你將你的解法和大家分享一下，該同學將解法投影展示如下：

以下同前，又是一片掌聲.

五、教者點評

課堂的最后，教者進行了總結點評：

首先處理問題時，必須分析轉化問題，尋找問題的本質.(此題即求2a+b二元函數的最值)

其次，處理問題時，不能慌張.我們應該回顧以前處理此類問題時常用的方法，如此題求二元函數的最值，常見方法有：消元轉化為一元函數、基本不等式、規劃問題，轉化為方程有解等方法.此題課堂上除了消元沒有找出合適的方法以外，其它的方法都可以使用.

最后筆者總結：不管白貓、黑貓，抓到老鼠就是好貓.

六、結束語

筆者認為所謂的高效課堂應該是能夠讓學生的思維充分暴露、展示學生自我的課堂.每一個老師都應該致力于如何讓學生的思維能夠展翅飛翔.筆者覺得可以從以下幾點入手，供大家參考指正.

(1)利用好學生的方法過程，哪怕是錯誤的方法也有值得肯定的地方，要有這樣的信念：也許下一步就是正確的.

(2)偶爾可以嘗試不備課就去上一節課，將自己的思維充分展示給學生，也將學生的思維暴露給大家，從而培養學生的綜合數學素養.

(3)教者應該利用好的題目去引導學生自己去體會探究、分析、解決問題的過程，教師有時甚至可以做一個旁觀者，只需為他們鼓掌喝彩就夠了.

總之，數學思維的培養非一朝一夕，但只要有夢，天空終究會是藍色的.