我們該教給學(xué)生什么？——一道試題的分析與思考

江蘇省常熟市中學(xué) (215500) 吳旭紅江蘇省常熟外國語學(xué)校 (215500)

丁 劍

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我們該教給學(xué)生什么？
——一道試題的分析與思考

江蘇省常熟市中學(xué) (215500) 吳旭紅江蘇省常熟外國語學(xué)校 (215500)

丁 劍

一、問題的提出

圖1

(1)設(shè)直線AP,PB的斜率分別為k1,k2，求證：k1k2為定值；

(2)求線段MN長的最小值；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)？請證明你的結(jié)論．(常熟市2016高三學(xué)生寒假自主學(xué)習(xí)情況調(diào)查第16題)

二、解法分析

閱卷時(shí)，除了上述設(shè)斜率法，(2)(3)問學(xué)生出現(xiàn)另一常規(guī)思路(設(shè)點(diǎn)法)，之后的處理方式多樣．

法一：(絕對值性質(zhì)，基本不等式)

法二：(分式性質(zhì)，P(x0,y0)在橢圓C上)

由此，通過聯(lián)想，筆者提出了以下幾種思路：

思路1 (參數(shù)設(shè)法)設(shè)P(2cosθ,sinθ),θ∈

θ-π(-π,-5π6)-5π6(-5π6,-3π2)(-3π2,-π6)-π6(-π6,π2)(π2,π)g'(θ)+0——0++g(θ)↗極大值↘↘極小值↗↗

思路4 (平方后分離換元，基本不等式)

三、幾點(diǎn)思考

2.閱卷情況概述：本題并不是難題，全市均分9.55分，難度系數(shù)0.596875．本班的得分是12.66，校均分11.92．

本題的最優(yōu)解法是本文開頭的斜率設(shè)法．由于第一問已設(shè)直線斜率，后兩題皆用斜率處理．用斜率處理第二問時(shí)，學(xué)生大部分漏解，或者在寫出MN表達(dá)式時(shí)就沒用絕對值，或者默認(rèn)為k1為負(fù)．少數(shù)寫不妨設(shè)．用點(diǎn)處理的大都無法進(jìn)行下去，當(dāng)然各種思路都有出現(xiàn)，其中三角設(shè)法后的圓與直線的切線方法比較簡捷，但是我所批改的400多份卷子中，僅一人用此法，用絕對值的性質(zhì)加橢圓條件的，即方法一更是千中選一．使用橢圓上一點(diǎn)與定點(diǎn)斜率的方法的學(xué)生基本上直接用的是相切，即△=0，而不是有交點(diǎn)后得最值．第三問設(shè)點(diǎn)做，點(diǎn)在橢圓上沒有代入的多，未經(jīng)化簡，結(jié)果是猜測而得的，不規(guī)范．

3．我們該教給學(xué)生什么?———思維教學(xué)，讓思維引領(lǐng)數(shù)學(xué)之路：本題若沒有第一問的鋪墊，到底是設(shè)點(diǎn)還是設(shè)斜率，學(xué)生的選擇筆者認(rèn)為會以點(diǎn)居多，第二問會出現(xiàn)解不出的狀況，從而也會導(dǎo)致正確率降低，思維難度增加，也直接影響了第三問，設(shè)點(diǎn)做的同學(xué)還有選擇圓心半徑的圓方程寫法，化錯(cuò)或者未化完的同學(xué)居多．從學(xué)生的答題情況來說，遠(yuǎn)遠(yuǎn)比教師預(yù)計(jì)的復(fù)雜得多，求解值域(最值)的各種思路都有涉及，當(dāng)然也出現(xiàn)了各種錯(cuò)誤，讓人眼花繚亂．這體現(xiàn)了本題對學(xué)生能力的考查．我們并不需要千篇一律的答案，我們希望學(xué)生能夠選擇較為容易處理，不易算錯(cuò)的解法并且沒有漏洞，書寫規(guī)范．

現(xiàn)如今，追求極簡主義，數(shù)學(xué)的發(fā)展也體現(xiàn)著這一點(diǎn)，追求簡單，越簡單越好．?dāng)?shù)學(xué)是思維的體操，學(xué)生在解決問題時(shí)，特別是在考場上需要積極調(diào)動思維，選擇最優(yōu)解法，這需要學(xué)生不斷地積累，不斷地思考，不斷地應(yīng)用，才能夠選擇正確思路，解題順利、迅速且正確．這需要嚴(yán)密的邏輯能力，所以筆者認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有利于人的思維的嚴(yán)密性，選擇性，條理化，精簡化．我們該教給學(xué)生思維的能力，通過不斷的反思和歸納，學(xué)會選擇．我們該教會學(xué)生嚴(yán)密的思維，凡事有根有據(jù)，據(jù)理力爭，從充分入手，反觀必要，以小推大，以點(diǎn)及面，分類仔細(xì)，具有邏輯性．我們該引導(dǎo)他們學(xué)會選擇最優(yōu)解法，具有統(tǒng)籌能力．

4．學(xué)生之見:生1：追求極簡應(yīng)建立在踏實(shí)做題的基礎(chǔ)上，“簡單”即為“巧”，熟能生巧，只有一般方法熟練掌握，才能在這基礎(chǔ)上進(jìn)一步思考．思維能力的提升應(yīng)是層層深入的，所以學(xué)生不應(yīng)該好高騖遠(yuǎn)，一味追求簡單而不屑踏踏實(shí)實(shí)地做一道題目，尤其是在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，基礎(chǔ)方法是要不斷練習(xí)，熟練掌握的．在這基礎(chǔ)上，老師再鼓勵學(xué)生多思考，互相交流，平時(shí)就多調(diào)動學(xué)生的思維活躍性，并在一種競爭意識中激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的愛好，興趣是最好的老師．老師在講解方法時(shí)，最好是由繁入簡，在最后的簡單方法上強(qiáng)調(diào)思路，給學(xué)生一種醍醐灌頂?shù)男Ч约訌?qiáng)印象．

生2：作為一名學(xué)生，真正想在解題時(shí)在短時(shí)間內(nèi)找出最優(yōu)方案并不是一件易事，即使有題海的積累，也很難在眾多題目中尋找“最優(yōu)方案”的一般規(guī)律，因而大多數(shù)學(xué)生會在解題時(shí)傾向一般化但可操作性強(qiáng)的方案．所以，從學(xué)生的角度而言，我認(rèn)為老師或許更應(yīng)該著重于引導(dǎo)學(xué)生尋找“最優(yōu)方案”，探究其存在的普遍規(guī)律．