由一道高考題探究出圓錐曲線的定值問(wèn)題

山東省聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (252000)

孫海玲* 于興江

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由一道高考題探究出圓錐曲線的定值問(wèn)題

山東省聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (252000)

孫海玲*于興江

圓錐曲線是高中幾何中的一大難點(diǎn)，而圓錐曲線的證明題更是不少學(xué)生“心中的痛”.學(xué)生要突破圓錐曲線的難關(guān)，必須扎扎實(shí)實(shí)學(xué)好圓錐曲線的基本性質(zhì)和知識(shí).本文以2016年四川卷理科第20題為例，考察的是有條件限制下橢圓的定值問(wèn)題，是一道具有潛在價(jià)值的好題.筆者以此為基礎(chǔ)，探究出圓錐曲線上一類定值問(wèn)題.

(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);

(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B，且與直線l交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù)λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

圖1

探究推廣 波利亞說(shuō)：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)是加強(qiáng)訓(xùn)練.”在這過(guò)程中，教師要對(duì)選擇的每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題做全面的解題研究，使每道高考題都能體現(xiàn)它思維訓(xùn)練價(jià)值，使學(xué)生能舉一反三、融會(huì)貫通.對(duì)該題，我們可以進(jìn)行一些探究.

(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);

(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B，且與直線l交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù)λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

圖2

探究2 已知拋物線C：y2=2px，直線l：y=kx+b與拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.

(1)求拋物線C的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);

(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l′平行于OT，與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A,B，且與直線l交于點(diǎn)Q.證明：存在常數(shù)λ，使得|QT|2=λ|QA|·|QB|，并求λ的值.

圖3

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).將直線y=2kx+b′代入y2=4bkx中，可得4k2x2+4k(b′-b)x+b′2=0.

(1)求雙曲線E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；

(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l′平行于OT，與雙曲線E交于不同的兩點(diǎn)A,B，且與直線l交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù)λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

圖4

結(jié)束語(yǔ)

圓錐曲線問(wèn)題是每年的必考題，但它考查的基本數(shù)學(xué)思想是不變的.學(xué)生通過(guò)對(duì)圓錐曲線上一類問(wèn)題的探究，會(huì)有很大收獲，可以提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，也可發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí).教材是一切知識(shí)的源泉，也是重要的思想方法的載體，只有深入研究各種題型并歸類，才能達(dá)到以不變應(yīng)萬(wàn)變的復(fù)習(xí)效果.

[1]夏迎雪，于興江.一道數(shù)學(xué)高考題的多解和推廣[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2016，5.

[2]姜曉潔，于興江.對(duì)2015年北京高考數(shù)學(xué)理科19題的推廣探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2016,4.

*作者為在讀碩士研究生.