例析數(shù)列中幾道常見的分類討論問題

浙江省紹興市魯迅中學(xué) (312000)

鐘杰倫

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例析數(shù)列中幾道常見的分類討論問題

浙江省紹興市魯迅中學(xué) (312000)

鐘杰倫

分類討論思想是高中數(shù)學(xué)的一種重要的思想，也是歷年高考的考查重點．在解決數(shù)列問題的過程中,涉及到分類討論的題目時常出現(xiàn).下面總結(jié)幾例予以說明.

例2 已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2且q≠0).

(1)設(shè)bn=an+1-an(n∈N*),證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列{an}的通項公式.

解析:(1)∵an+1=(1+q)an-qan-1,∴an+1-an=q(an-an-1),即bn=bn-1,∴數(shù)列{bn}是以q為公比,b1=a2-a1=1為首項的等比數(shù)列.

評析:此題的易錯點在于對公比q的討論,等比數(shù)列的前n項和問題往往會出現(xiàn)公比q為參數(shù)的情形,此時討論公比q是否可以等于1就是解決題目的關(guān)鍵.

(1)求a1、d和Tn；

(2)若對任意的n∈N*，不等式λTn

評析:數(shù)列問題中,經(jīng)常會出現(xiàn)(-1)n的形式,當數(shù)列通項公式中出現(xiàn)(-1)n的形式時,往往對n分奇、偶討論,問題就迎刃而解了.

例4 數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，且a1+a6=-6，a3·a4=8．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn．

得a3、a4是方程x2+6x+8=0的二個根x1=-2,x2=-4，又此等差數(shù)列為遞增數(shù)列，∴a3=-4,a4=-2，∴公差d=2,a1=-8，∴an=2n-10.

(2)由an≥0得2n-10≥0，解得n≥5，此數(shù)列前四項為負的，第五項為0，從第六項開始為正的．當1≤n≤5且n∈N*時，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=-Sn=-n2+9n.當n≥6且n∈N*時，Tn=|a1|+|a2|+…

+|a5|+|a6|+…+|an|=-(a1+a2+…+a5)+(a6+…+an)=Sn-2S5=n2-9n+40.

評析:此題的關(guān)鍵在于求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn時，需考慮去絕對值的條件時應(yīng)注意對相應(yīng)n范圍的討論．

(1)求Sn;

評析:這是一道典型的分組求和問題．當數(shù)列{an}的通項公式中帶有正弦、余弦等三角形式時，往往可先考慮三角式的周期，然后再按三角式的周期進行分組求和．當然，這類題往往也可運用并項求和方法求解．