千樹萬樹梨花開——記一雙根號函數(shù)求最值的多角度思考

江蘇省興化市第一中學(xué) (225700)

舒結(jié)高*

?

千樹萬樹梨花開
——記一雙根號函數(shù)求最值的多角度思考

江蘇省興化市第一中學(xué) (225700)

舒結(jié)高*

該題型在一些雜志和試卷中也有偶見，筆者認(rèn)為作為填空題的壓軸題，用來考查學(xué)生的綜合運用能力，對學(xué)生而言，肯定會有很多想法.但考后統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，該題得分率較低.學(xué)生普遍認(rèn)為真正入手解決這個問題卻非易事.“入口難、思路打不開”是絕大部分學(xué)生遇到的困境.

1.導(dǎo)數(shù)法來探路

求導(dǎo)是解決復(fù)雜函數(shù)的常用之法，考慮對原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo).

點評:利用導(dǎo)數(shù)求最值思路清晰，也是學(xué)生容易想到的方法.但是有時只能“望梅止渴”，畢竟一些函數(shù)求導(dǎo)數(shù)還是比較復(fù)雜的，就像本題的雙根號問題，很多學(xué)生只是想用導(dǎo)數(shù)，卻沒有膽量去嘗試算算，進(jìn)而沒求出結(jié)果.

2.三角換元試試看

3.向量法來幫忙

圖1

4.雙換元是通法

利用構(gòu)造法，產(chǎn)生了兩個向量，如果我們直接采用雙換元，那會不會變成我們常見的問題呢？

圖2

這就變成了易處理的直線與圓的位置關(guān)系，再根據(jù)線性規(guī)劃，就可以直接求出最值.

點評:歸納剛才的解法，這樣的雙根號問題，一般包含兩種類型：

*作者現(xiàn)為青海師大2014級數(shù)學(xué)教育碩士.