動力學普遍定理教學體會

趙巍

【摘 要】根據動力學普遍定理的特點及存在問題，闡述了在普遍定理教學的一些體會。

【關鍵詞】動力學普遍定理；動量定理；動量矩定理；動能定理

Experiences on the Teaching of General Theorems of Dynamics

ZHAO Wei

（Division of Basic Courses Tangshan University， Tangshan Hebei 063000， China）

【Abstract】According to the characteristics and problems of general theorems of dynamics， several experiences on the teaching of general theorems of dynamics are introduced.

【Key words】General theorems of dynamics； Theorem of momentum； Theorem of angular momentum； Theorem of kinetic energy

0 引言

在理論力學中，動力學篇是一項非常重要的內容，其研究物體機械運動與作用力之間的關系。動力學普遍定理是解決由多個剛體組成的質點系統的動力學問題最常用、最基本的方法。普遍定理包括動量定理、動量矩定理和動能定理，從不同的側面揭示了質點系統的運動與其受力之間的關系。這些定理可分為兩類：動量定理和動量矩定理屬于一類，動能定理屬于另一類。前者是矢量形式，后者是標量形式；兩者都用于研究機械運動，而后者還可用于研究機械運動與其他運動形式有能量轉化的問題[1]。

這些定理既有矢量形式又有標量形式，有些只需要考慮質點系所受的外力；有些還需要考慮質點系內力的影響，有些需要針對質心進行研究；而有些需要針對固定點來研究。此外，組成質點系統的各個剛體運動又包括平面運動、定軸轉動和平移等多種不同的形式。因此，針對動力學普遍定理，不論是教師在教學過程中還是學生在學習過程中，常常會感到內容龐雜；缺乏清晰的脈絡，最終導致學生遇到動力學問題時會感到無所適從；不知道應該從哪個定理入手解決問題。與此同時，非力學專業的理論力學總學時在不斷縮減，有些院校甚至不足60學時，對于作為其中重要教學內容的動力學普遍定理，教師如何在有限的學時內將普遍定理條理清晰地呈現在學生面前；達到學生能夠扎實地掌握理論知識并正確應用各個定理求解動力學問題呢？本文結合作者的實踐教學經驗，闡述了對動力學普遍定理教學的一些體會。

1 合理安排學時

為了在有限的學時內完成教學任務，一律省略定理繁瑣推導過程的講解，著重介紹定理的應用。具體學時安排如下：

動量定理（質心運動定理）2學時，其中質心運動定理只不過是動量定理的另一種形式，即將質點系看成質量及其所受的外力均集中在質心的質點。

動量矩定理4學時。其中質點和質點系的動量矩；動量矩定理；剛體繞定軸的轉動微分方程占2學時，剛體對軸的轉動慣量；剛體的平面運動微分方程占2學時。這里可以省略質點系相對于質心的動量矩定理講解，將結論直接應用于剛體的平面運動微分方程中。

動能定理6學時。其中力的功；質點和質點系的動能；動能定理占2學時，功率、功率方程、機械效率；勢力場、勢能、機械能守恒定律占2學時；普遍定理的綜合應用占2學時。

習題討論課2學時。通過梳理動力學普遍定理的知識脈絡，選取典型例題進行分析、講解，達到學生熟練地掌握普遍定理應用的效果。

定理（定律）守恒2學時。包括動量守恒定律及質心運動守恒定律；動量矩守恒定律；機械能守恒定律，著重介紹定理成立的條件及其應用。

2 對比分類、歸納總結

運用對比式教學，不僅可以起到溫故知新的作用，而且可以加深學生對知識的理解、記憶和掌握。經過歸納總結，厘清了知識脈絡，學生能夠很好地把握學習內容的線索，同時，有利于活躍學生思維；培養學生分析問題、解決問題的能力。

首先，明確動力學的兩類問題。第一類問題：已知運動求受力，求解過程一般需要求導。第二類問題：已知受力求運動，求解過程一般需要積分。

其次，對此、歸納各個定理適用范圍。動量定理（質心運動定理）通常用于求解受力——支座處的約束力。動量矩定理既可以求解約束力——繩子張力、摩擦力等，也可以求解運動量——加速度（角加速度）或者速度（角速度）。講解時特別需要強調指出：動量矩定理適用于對固定點或固定軸；并且是由定軸轉動剛體和平移運動剛體組成的系統，剛體定軸轉動微分方程僅適用于一個作定軸轉動的剛體，而平面運動微分方程只適用于平面運動的剛體。采用動能定理（或者功率方程）求速度（角速度）或者加速度（角加速度）時很方便，通常取多個剛體組成的整個質點系統為研究對象；且對系統中各個剛體的運動沒有限制。動能定理通常不能用于求解約束力，因為理想約束均不做功。此外，動量定理和動量矩定理雖然是矢量形式，但解題時采用其投影形式。

最后，歸納解題步驟。解題步驟就是分析思路的完整體現，應按照如下步驟進行。選取研究對象，進行受力分析；分析出全部力（主動力、約束力），進行運動分析不僅要明確各個剛體的運動；還要標出運動的幾何量（速度、加速度等），根據分析的情況；選擇合適的定理（定律）求解問題。

3 上好習題討論課

采用啟發式、問題式等多種教學方式，充分發揮習題討論課復習鞏固所學知識的作用。其中選擇具有代表性、典型性的例題非常關鍵，應選擇以下兩種類型。

一種類型是：同一題目可以用不同定理求解。例如，教師選擇一個求解質點系統的運動量（速度、加速度）的問題。教師首先采用動能定理，嚴格按照上述歸納的解題步驟求解。然后拋出問題，引導學生積極思考是否還可以采用不同定理求解。有的學生通過前面的運動分析發現剛體系統運動為定軸轉動和平移，提出可以采用動量矩定理。有的學生通過受力分析發現僅有有勢力（保守力）做功，可以采用機械能守恒定律。通過啟發性問題的提出，鼓勵學生積極思考，達到了拋磚引玉的效果。

另一種類型是：一道題目需要不同定理綜合應用求解。例如，教師選擇一個既需要求解質點系統的運動量（速度、加速度）；又需要求解質點系統受力的問題，并且系統中包括作平面運動、定軸轉動和平移運動的剛體。顯然只有動能定理對系統各個剛體的運動沒有限制，可以取整個系統為研究對象求出運動量。當需要求解約束力時，問題留給學生：選取哪個研究對象采用哪個定理了？支座處的約束力怎樣求？答案百花齊放：選取平面運動的剛體采用平面運動微分方程，選取一個作定軸轉動的剛體采用定軸轉動微分方程，選取定軸轉動和平移剛體組成的系統采用動量矩定理，求支座處的約束力采用質心運動定理。采用問題式教學起到承前啟后的作用，能夠充分調動學生學習的積極性、主動性，提高課堂教學質量和效率。

4 結語

根據動力學普遍定理的特點及存在的問題，結合實踐教學經驗，從教學內容的安排、教學方法與教學手段等方面進行了探索和研究，取得良好的教學效果。

【參考文獻】

[1]哈爾濱工業大學理論力學教研室.理論力學（Ⅰ）第七版[M].北京：高等教育出版社，2009：311-312.

[責任編輯：朱麗娜]