淺談高等數(shù)學(xué)中兩類二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

鄧小宇

【摘 要】二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)中非常重要的教學(xué)內(nèi)容。由于多元復(fù)合函數(shù)和參數(shù)方程的特殊性，多元復(fù)合函數(shù)和參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)學(xué)生掌握起來比較困難。因此，本文簡(jiǎn)單的談?wù)勥@兩類二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。

【關(guān)鍵詞】多元復(fù)合函數(shù)；參數(shù)方程；二階導(dǎo)數(shù)

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。二階導(dǎo)數(shù)是在一階導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上再求一次導(dǎo)，各種類型下函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算學(xué)生基本上都沒問題，但是不同類型下的二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算思路各不相同，學(xué)生掌握起來比較困難。因此，本文簡(jiǎn)單談?wù)劧嘣獜?fù)合函數(shù)和參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。

1 多元復(fù)合函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

多元復(fù)合函數(shù)的類型多種多樣，這里僅以一種類型加以說明。

設(shè)z=f（u，v），u=φ（x，y），v=ψ（x，y），如果函數(shù)u=φ（x，y），v=ψ（x，y）都在點(diǎn)（x，y）具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f（u，v）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)（u，v）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求，或的二階偏導(dǎo)數(shù)。多元復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算是在一階偏導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上再求一次偏導(dǎo)數(shù)。必須注意的是，在第二次求導(dǎo)數(shù)的過程中，具有與變量z相同的函數(shù)結(jié)構(gòu)，、得看成是以u(píng)、v為中間變量，x、y為自變量的復(fù)合函數(shù)。

例1、設(shè)w=f（x+y+z，xyz），f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。

2 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

設(shè)參數(shù)方程的一般形式為x=φ（t）y=ψ（t）α≤t≤β，其確定的一元函數(shù)為y=f（x）。由復(fù)合函數(shù)以及反函數(shù)的求導(dǎo)法則，有

如果x=φ（t）、y=ψ（t）還是二階可導(dǎo)的，那么從（1）式又可得到函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。此時(shí)，（1）式兩端同時(shí)對(duì)變量x求導(dǎo)。右端變量t看成是變量x的函數(shù)，t的表達(dá)式看成是以t為中間變量，x為自變量的復(fù)合函數(shù)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則以及反函數(shù)的求導(dǎo)法則，即可得到參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)。

例2、求參數(shù)方程x=costy=sint確定的函數(shù)y=f（x）的二階導(dǎo)數(shù)。

由以上例題可知，只要弄清楚變量之間的關(guān)系，求解多元復(fù)合函數(shù)以及參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)就不再是一件困難的事情了。

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分[M].高等教育出版社，2014.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社，2011.

[責(zé)任編輯：李書培]