某類與In算子有關的解析函數的不等式

郭 棟，李宗濤

(1.滁州職業技術學院 基礎部，安徽 滁州 239000； 2.廣州民航職業技術學院 數學教學部，廣州 510403)

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郭 棟1，李宗濤2

(1.滁州職業技術學院 基礎部，安徽 滁州 239000； 2.廣州民航職業技術學院 數學教學部，廣州 510403)

令H表示在U={z:|z|<1}內形如

f(z)=z+a2z2+a3z3+…

(1)

的解析函數f(z)的全體所成的函數類．

對于復數(或實數)a，b，c(c≠0，-1，-2，…)，定義超幾何級數為

其中

此級數在U內絕對收斂解析．

定理A 設f(z)∈S，f(z)由(1)式給出，0≤μ<1，則

且對每個μ等號都成立．

文獻[2]中定義函數類P(α)={f(z)∈H，Re f′(z)>α，0≤α<1;z∈U}，文獻[3]中定義了函數類:

(2)

則記函數f(z)∈H(a，n;A，B)．

當參數α，B，A取特殊值時，可得一些特殊的解析函數類.例如:

H(0，0;1，-1)=H(1，1;1，-1)=

Re f′(z)>0，z∈U;

H(1，n;1，-1)=Re(Inf(z))′>0，z∈U；

H(1，0;1，-1)=Re[f′(z)+zf″(z)]>0，z∈U

z∈U．

近年來，許多作者[4-6]研究了與NOOR算子相關的各種解析函數類和亞純函數類．

1 引理

為了導出主要結果，需要如下引理．

引理1[10]設ω(z)=d1z+d2z2+…在z∈U時解析，且|ω(z)|≤|z|，則

|d1|≤1，|d2|≤1-|d1|2．

引理2[11]設p(z)=1+p1z+p2z2+…在U={z:|z|<1}內解析且滿足Re p(z)>0，則

2 主要結果及證明

定理1 假設f(z)∈H，由式(1)給出，f(z)∈H(α，n;A，B)，α≠1，u為復數，則

證明 因為f(z)∈H(α，n;A，B)，所以存在ω(z)=1+d1z+d2z2+…，使得

(3)

將Inf(z)的冪級數展開式代入(3)式，并比較恒等式兩邊的z和z2兩項的系數，可得

由引理1可得:

H(x)=C+CDx2，

E=2B(1+α)2(n+2)+3u(A-B)(1+2α)(n+1).則

相應地極值函數為：

|a2|≤(n+1)，

和

且對所有的u等號都成立．

且對所有的u等號都成立．

推論3 假設Re f′(z)>0，z∈U，由式(1)給出，u為復數，則有|a2|≤1，和

且對所有的u等號都成立．

且對所有的u等號都成立．

且對所有的u等號都能成立．

證明 定理的假設條件等價于存在一個p(z)∈P滿足下列式子

(4)

將Inf(z)，p(z)的冪級數展開式代入(4)式，并比較恒等式兩邊的z和z2兩項的系數，可得

由式(4)及引理2可得:

所以相應的極值函數為:

且對所有的u等號都能成立．

且對所有的u等號都能成立．

且對所有的u等號都能成立．

[2] Owa S，Aouf M K，Nasr M A.Note on subclass of close-to-convex functions of order α[J]. Internat. J Math Sci，1990，13(1):189-192．

[4] 魏 麗，劉名生. 涉及Noor多重積分算子的解析函數的中間定理[J].華南師范大學學報(自然科學版)，2010，2(1):9-13．

[5] 施冬芳，魯大前，王 敏. 由NOOR積分算子定義的解析函數的性質[J].揚州大學學報(自然科學版)，2008，1(11):1-4．

[6] 劉文娟，彭 娟，楊 清. 與NOOR積分算子有關的多葉解析函數子類的性質[J].揚州大學學報(自然科學版)，2012，3(15):8-11．

[10] 夏道行，張開明. 從屬函數的一些不等式[J]. 數學學報，1958，8(3):408-412．

GUO Dong1，LI Zongtao2

(1.Foundations Department，Chuzhou Vocational and Technical College，Chuzhou，Anhui 239000;2.Department of Mathematics Teaching，Guangzhou Civil Aviation college，Guangzhou 510403)

2016-05-08.

安徽省高校自然科學基金資助項目(KJ2015A372)；廣東省博士啟動項目(2016A030310106).

1000-1190(2016)05-0645-04

O174.51

A

*通訊聯系人. E-mail: gd791217@163.com.