基于隨機跳違約強度的可轉換債券的定價

潘 堅, 肖慶憲

(1.上海理工大學 管理學院, 上海 200093;2.贛南師范學院 數學與計算機科學學院, 江西 贛州 341000)

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基于隨機跳違約強度的可轉換債券的定價

潘 堅1,2*, 肖慶憲1

(1.上海理工大學 管理學院, 上海 200093;2.贛南師范學院 數學與計算機科學學院, 江西 贛州 341000)

在約化模型框架下,研究具有隨機跳違約強度的可轉換債券定價問題.應用風險中性定價原理建立隨機跳躍幅度服從雙指數跳擴散過程,股票價格服從時變擴散模型,隨機利率服從Hull-White模型且兩兩相關的定價模型.利用鞅方法得到了此定價模型的解析解,拓展了相關文獻的結論.

跳違約強度; Hull-White利率模型; 約化模型; 鞅方法; 可轉換債券定價

作為重要的金融工具之一,可轉換債券是一種具有期權特性的公司債券,它賦予投資者可選擇將債券持有至到期日,獲得本金和利息,也可以在約定的時間將債券轉換成公司股票的權利.鑒于此,可轉換債券在金融市場受到投資者的追捧.但是,和所有投資工具一樣,可轉換債券也會使投資者遭到損失.如果發行公司倒閉,那么債券的持有人就會損失投資于債券的資金,可轉換債券尤其可能發生這種情況,這是因為可轉換債券的地位通常低于公司的其它債券.此外,可轉換債券的期限較長,利率的影響變得較為突出,因此,除了違約支付的風險外,可轉換債券還存在利率風險.基于違約風險和利率風險的可轉換債券的定價,是近幾年國內外學者關注的熱點.

目前,具有違約風險和利率風險的可轉債定價模型有兩類:一類是基于期權定價理論的結構化模型[1],另一類是基于強度理論的約化模型[1].基于結構化模型研究可轉換債券的定價始于Ingersoll[2],他把Black-Scholes的期權定價思想引入到可轉換債券定價中,考慮了以公司價值為基礎變量的單因素結構化模型; Brennan和Schwartz[3]對Ingersoll的單因素結構化模型進行了擴展,把利率的不確定性引入模型當中,建立了以利率和公司價值為基礎變量的雙因素模型.目前,以公司價值為基礎變量研究可轉換債券定價都是以這兩個模型為基礎.與結構化模型不一樣的是,在約化模型中,違約被看成是一個完全不可預測的事件,違約過程用Poisson過程來描述,即第一次發生跳時公司違約.近年來,有不少學者基于約化模型研究可轉換債券的定價.Takahashi等[4]在違約強度是股價反比例函數情形下研究了可轉換債券的定價;Ayache等[5]在常數違約強度下,把可轉換債券的價值作為一個整體研究對象,研究了帶違約風險的可轉換債券定價模型,此定價模型是一個耦合的偏微分方程組,沒有解析解,用有限差分法考慮了數值解;Bielecki等[6]運用鞅測度方法研究了常數違約強度下博弈期權的定價和套期保值,并將其應用到可轉換債券的定價和對沖中;Bielecki等[7]在文獻[6]的基礎上進一步研究了由標的資產股票、可轉換債券和有關信用違約互換組成的基本金融市場框架下可轉換債券的定價,在此框架下將可轉換債券的價格轉化為相應變分不等式的粘性解并給出了近似計算的收斂性證明.國內,Huang Jianbo,liu Jian和Rao Yulei[8]利用二叉樹方法考慮了常數違約強度下具有利率風險和信用風險的可轉換債券的定價;王偉和趙奇杰[9]考慮了常利率情形下帶有違約風險的可轉換債券的定價,假定市場中可轉換債券的隨機違約強度服從Vasicek模型,利用鞅方法得到了該模型的解析定價公式.

在上述模型中,為了簡化計算,違約強度假定為常數或連續的擴散隨機過程.實際上,發行公司在可轉換債券續存期間可能會受到國家宏觀經濟調控等外部政策的影響,使公司利潤大幅降低,財務風險加大,導致公司出現危機或破產.在約化模型中,這些不可預見的事件可能會導致違約強度發生劇烈的變化,蘇小囡和王文勝[10]在隨機跳違約強度下研究了歐式期權的定價,隨機跳的幅度假定服從正態分布.本文的主要工作和創新點是:基于約化模型研究具有隨機跳違約強度的可轉換債券定價問題,假設違約強度服從更符合實際的雙指數跳擴散過程[11],并假定市場中無風險利率服從一個與標的股票相關的Hull-White模型.利用鞅方法得到可轉換債券的解析定價公式,推廣了相關文獻的結果.最后,借助Matlab軟件討論了跳違約強度對可轉換債券價值的影響.結果表明:雙指數跳擴散過程下可轉換債券的價值走勢是下凸的,這表明跳違約強度會影響可轉換債券的價值,可轉換債券在債券存續期間存在一個臨界點,在臨界點處公司可能發生違約.

1 模型的建立

下面給出建立模型所需的一些基本假設.

1.1 基本假設

1) 考慮一個隨機的金融市場,不確定性由完備的概率空間(Ω,F,Q,(Ft)0≤t≤T)來表示,Q為風險中性鞅測度,{Ft}t≥0為公司信息流,滿足自然假設,即右連續、單調遞增.

2) 股票的價格St服從如下時變擴散模型:

dSt=St[(rt-qt)dt+σ1(t)dW1(t)],

(1)

其中,qt為紅利率,σ1(t)為股票的波動率,W1(t)為標準的布朗運動.

3) 隨機利率rt采用可以根據初始期限結構進行校準的Hull-White模型:

drt=a2[b2(t)-rt]dt+σ2dW2(t),

(2)

其中,a2為利率回歸長期均值的速度,b2(t)為利率的長期均值,σ2為利率的波動率,W2(t)為標準的布朗運動.

4) 定義違約強度λt是具有跳違約強度的隨機微分方程[10-11]:

dλt=a3[b3(t)-λt]dt+σ3dW3(t)+

(ey-1)dNt,

(3)

其中,a3為違約強度回歸長期均值的速度,b3(t)為違約強度的長期均值,σ3為違約強度的波動率,W3(t)為標準的布朗運動,Nt是跳強度為η的泊松過程且跳躍幅度為y.本論文假定y服從雙指數分布,即y的密度函數為:

f(y)=pη1e-η1y1{y≥0}+(1-p)η2eη2y1{y<0},

η1>1,η2>0,

其中,p表示強度向上跳的概率,1-p表示強度向下跳的概率,1{·}是一個示性函數.

5) cov[dWi(t),dWj(t)]=ρij(dt), |ρij|<1,i,j=1,2,3,且i≠j,常數ρij表示兩個隨機源的相關系數.此外,Nt,y與W1(t),W2(t),W3(t)相互獨立.

6) 在實際的可轉換債券市場中,可轉換債券的種類繁多.根據林海和鄭振龍的研究結果[12],可轉換債券在國內債券市場上一般不會被提前執行.因此,假定可轉換債券的轉換只發生在到期日T,即在T時刻債券持有者有權利選擇是持有股票還是持有債券.如果在到期日,用債券轉換股票后的價值超過債券的價值,那么債券持有者可選擇轉換.相反,如果在到期日,用債券轉換股票后的價值不超過債券的價值,債券持有者則不選擇轉換.令φ(T)表示可轉換債券在到期日的收益,則有

(4)

其中,Pb=MeiT表示以票面利率i計算的單純的債券價值(債券利息按連續復利計算),M表示可轉換債券的面值,C表示約定的轉換價格.

7) 市場不存在套利機會、無交易費和稅收,但債券存在違約風險,即當可轉換債券的發行方發生違約時,在T時刻可轉換債券的持有者僅收到先前承諾支付的一部分,即hφ(T),0≤h≤1,其中,h是回收率且為常數;如果可轉換債券的發行方不發生違約,則債券的持有者在T時刻接受先前承諾的支付φ(T).

1.2 建立模型

為建立隨機利率模型下具有跳違約風險的可轉換債券的定價模型,引入帶濾流的概率空間(Ω,G,(Gt)0≤t≤T,Q),總的域流是Gt=Ft∨Ht,其中,Ft=σ(Su,0≤u≤t)∨σ(ru,0≤u≤t)∨σ(λu,0≤u≤t)反映市場上除了公司違約信息之外的信息,而Ht=σ(I{τ≤u},0≤u≤t)反映公司的違約信息.由Jarrow和Yu有關條件概率的知識[13],可以得到:

(5)

其中,GT=FT∨Ht.因此在模型假設下,由風險中性定價理論,具有跳違約風險的可轉換債券在t時刻的值V(S,r,λ,t)可表示為:

V(S,r,λ,t)=

(6)

下面利用條件數學期望的平滑性[14-15]以及Bielecki和Rutkowski的結論[1]消去(6)中的違約時間τ,于是有

I1+I2.

(7)

其中,

因此求解V(S,r,λ,t),只需計算I1和I2即可.

2 模型的求解

下面利用鞅方法的測度變換計算I1和I2.

其中,

m(t,T,a2)=1-e-a2(T-t),

證明由于利率是隨機的,引入遠期鞅測度QT,即定義關于QT的Radon-Nikodym導數:

由Ito公式和方程(2),有

(8)

(9)

從而由(8)和(9),可以得到

根據Girsanov定理,

根據Bayes法則,I1在鞅測度QT下為:

I11+I12.

(10)

(11)

(12)

此外由標準正態分布的性質，在概率測度QT下,logST滿足正態分布,其均值和方差分別為:

E[logST]=logSt-logB(t,T)-

因此,由(11)可以得到

I11=hPbB(t,T)N(d1),

(13)

其中,

為了計算

引進新的Radon-Nikodym導數:

根據Girsanov定理,可以得到

(14)

(15)

E[logST]=logSt-logB(t,T)+

(16)

(17)

由Ito公式,(3)和(8),可以得到

(18)

(19)

由(18)和(19)可以得到

根據Girsanov定理,可以得到

(20)

(1-h)1{τ>t}φ(t,T)(I21+I22).

(21)

(22)

記γ(t,T)=EQλ(ST),對(22)取數學期望,可以得到

(23)

此外,由標準正態分布的性質:在概率測度Qλ下,logST滿足正態分布,其均值和方差分別為:

E[logST]=logSt-logB(t,T)-

因此,由方程(22)可以得到

(24)

其中,

根據Girsanov定理,可以得到

(25)

(26)

由標準正態分布的性質:在概率測度QS下,logST滿足正態分布,其均值和方差分別為:

E[logST]=logSt-logB(t,T)+

于是根據Bayes法則和(26),I22在鞅測度QS下為:

(27)

由引理1和引理2,可以得到如下定理1,

定理1Hull-White利率模型下具有隨機跳違約風險的可轉換債券在t時刻的值為:

(28) 其中,h是回收率,其它變量和參數見引理1和引理2.

由定理1,可以得到常利率下具有違約風險的可轉換債券在t時刻的值,只需在定理中令a2=0,b2=0,σ2=0,ρ12=ρ23=0,于是有

推論1常利率下具有跳違約風險的可轉換債券在t時刻的值為:

其中,

d5=

δ2(t)=

其它有關參數見引理1和引理2.

在推論1中如果令η=0,可以得到常利率下不具有跳違約風險的可轉換債券在t時刻的值,即

推論2常利率下不具有跳違約風險的可轉換債券在t時刻的值為:

推論2中的參數見推論1.

注11)定理和推論1涉及到違約強度的參數估計問題,可從市場上的債券報價和股票價格中推得; 2)推論2與文獻[9]中的結果完全一致; 3)定理、推論1和推論2表明:具有違約風險的可轉換債券的價值可以獨立地分解成兩部分——無違約部分加違約部分.

3 數值算例

為了評價模型的性能,下面將利用數值化的方法來凸顯跳違約強度(雙指數跳擴散過程)和隨機利率對可轉換債券價值的影響.基本參數如下表1.

表1 基本參數

3.1 雙指數跳擴散對具有違約風險可轉換債券價值的影響

下面利用Matlab軟件編程分別計算了不同跳強度,不同跳躍幅度(包括向上和向下)和不同跳躍概率下的可轉換債券的價值,如表2～表4所示.

表2 不同跳強度η下的可轉換債券的價值

下的可轉換債券的價值

表4 不同跳躍概率p下的可轉換債券的價值

從表2～表4可以看出: 1)雙指數跳擴散過程下可轉換債券的期限結構都是先減后增,這表明在可轉換債券的續存期限內存在拐點,可轉換債券在對應的拐點上可能違約; 2)跳強度η=0表示違約過程是連續過程,即違約風險沒有跳風險,此時的定價公式(28)是Hull-White利率模型下不具有跳違約風險的可轉換債券的定價公式.隨著跳強度η的增大,基本參數下同期可轉換債券的價值變的更高,其金融意義是跳強度的增大意味著可轉換債券極有可能發生違約; 3)同期可轉換債券的價值隨著向上(或下)跳躍幅度(跳躍概率)的增大而增加(或減少),其金融意義也是顯然的,即向上跳躍幅度(跳躍概率)的增大,表明可轉換債券發行方發生違約的可能性在增加,是對投資者愿意承擔風險的一種補償,反之則相反.

3.2 利率和跳違約雙重風險對可轉換債券價值的影響

下面同時考慮隨機利率和跳風險對可轉換債券價值的影響,利用Matlab軟件,得到了3種情形下可轉換債券的期限結構關系圖.

圖1 3種情形下的可轉換債券的期限結構Fig.1 The term structure of convertible bond in three different cases

從圖1可以看到: 1)雙指數跳擴散過程下可轉換債券的價值走勢是下凸的,這意味著隨著時間的推移,可轉換債券存在拐點,在拐點處可能發生違約; 2)常利率情形下不具有跳違約風險的可轉換債券價值的期限結構隨時間的臨近到期而增大,這是因為隨著可轉換債券的到期,由于票面利率的原因,持有債券的投資者能得到更多的利息.此外,由于可轉換債券兼具了期權的性質,可轉換債券所隱含的期權的價值也在逐漸增加; 3)具有隨機跳違約風險和利率風險下可轉換債券的價值高于常數利率且不具有跳風險情形下可轉換債券的價值,主要是跳風險提升了可轉換債券的價值,也是對投資者承擔跳風險和利率風險的一種補償.

4 結束語

利率風險和違約風險是可轉換債券定價中不可忽視的風險,但在現有的可轉換債券定價模型中很少一起涉及,特別是涉及跳違約風險,大都是涉及轉換條款.在宏觀經濟中,利率應該是隨機的,利率的升高會導致公司融資成本的提高進而影響公司的經營,導致公司違約率的上升.本文在約化模型框架下考慮了具有隨機跳違約風險和利率風險的可轉換債券的定價,綜合利用風險中性定價原理和測度變換方法得到了可轉換債券的解析定價公式,推廣了相關文獻的結果.基于合理的可轉換債券定價,公司可轉換債券的發行,投資者投資組合的優化和風險規避才更為切實可行.因此,本文的研究結果對可轉換債券的定價具有重要的參考價值.

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Pricing of convertible bond with jump default intensity

PAN Jian1,2, XIAO Qingxian1

(1.Business School, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093;2.College of Mathematics and Computer Science, Gannan Normal University, Ganzhou, Jiangxi 341000)

In this paper, an issue of pricing convertible bonds pricing problem with double jump diffusion default intensity is studied under the reduced-form model. The jump sizes obey the double exponential jump diffusion process, and the price of a stock byob the time-varying diffusion model. The interest rate is governed by the Hull-White model as well as the pairwise correlation model. A pricing model is set up by applying risk-free equilibrium principle. Afterwards, the exact analytical solution of the pricing model is derived by using the martingale method, which extends the conclusion of related literature.

jump default intensity; Hull-White interest rate model; reduced-forms model; martingale method; pricing of convertible bond

2015-09-03.

國家自然科學基金項目(11471175).

1000-1190(2016)02-0159-09

O211.63;F830.9

A

*E-mail: pan79610@163.com.