求導數的方法的研究

【摘 要】本文對按定義求導的方法、利用導數的幾何意義求導的方法、利用函數的和差積商的求導法則、利用反函數的求導法則、利用復合函數的求導法則、隱函數的求導方法參數方程所確定的函數的求導方法、利用微分的求導方法、高階導數的求導方法這九個求導的基本方法進行了歸納總結，可以對我們求函數的導數起到一定的啟發作用。

【關鍵詞】導數;求導的方法

微分學是微積分的重要組成部分，它的基本概念之一是導數，因此研究求導數的方法就顯得尤為重要，下面我就從幾個方面來研究求導數的方法。

一、按定義求導的方法

導數的定義：

例如 ?求的導數，其中為常數

解 ：

二、利用導數的幾何意義求導的方法

導數的幾何意義：函數在一點的導數在幾何上表示曲線在這點處的切線的斜率。

例如：已知等邊雙曲線在點處的切線方程為則曲線在點處的導數為切線方程的斜率

三、利用函數的和差積商的求導法則

例如求的導數

解：

.

四、利用反函數的求導法則

例如求.的導數

解：

.

五、利用復合函數的求導法則

例如求的導數

解：

.

六、隱函數的求導方法

例如已知x3+y3-3axy=0求y?

解：方程兩邊求導數得既然

3x2+3y2y?-2ay-3axy?=0，

于是 ? ?（y2-ax）y?=ay-x2 ，

七、參數方程所確定的函數的求導方法

例如已知求

解 ：，

八、利用微分的求導方法

例如求的導數

解：

九、高階導數的求導方法

（a）求函數y=2x2+ln x的二階導數：

解： （1），

（b）求下列函數所指定的階的導數：

（1） y=excos x， 求y（4） ;

（2） y=xsh x， 求y（100） ;

解： （1）令u=ex， v=cos x ， 有

u?=u?=u??=u（4）=ex;

v?=-sin x ， v?=-cos x ， v??=sin x， ?v（4）=cos x，

所以 ? ?y（4）=u（4）×v+4u??×v?+6u?×v?+4u?×v??+u×v（4）

=ex[cos x+4（-sin x）+6（-cos x）+4sin x+cos x]=-4excos x .

（2）令u=x， v=sh x， 則有

u?=1， u?=0;

v?=ch x， v?=sh x， ···， v（99）=ch x ， v（100）=sh x，

所以

=100ch x+xsh x .

（c）求下列函數的n階導數的一般表達式：

（1） y=xn+a1xn-1+a2xn-2+···+an-1x+an （a1， a2， ···， an都是常數）;

解：

（1） y?=nxn-1+（n-1）a1xn-2+（n-2）a2xn-3+ …+an-1，

y?=n（n-1）xn-2+（n-1）（n-2）a1xn-3+（n-2）（n-3）a2xn-4+···+an-2，

···，

y（n）=n（n-1）（n-2）···2·1x0=n！ .

以上從定義求導的方法、利用導數的幾何意義求導的方法、利用函數的和差積商的求導法則、利用反函數的求導法則、利用復合函數的求導法則、隱函數的求導方法參數方程所確定的函數的求導方法、利用微分的求導方法、高階導數的求導方法這九個求導的基本方法進行了歸納總結。當然有些應用要用多種求導方法，我們在具體應用時，應該根據具體情況靈活應用。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系 高等數學習題全解指南[M]北京：高等教育出版社，2007.4

[2]同濟大學數學系 高等數學 上冊[M]北京： ?高等教育出版社，2014.7

作者簡介：

程國華（1963～），男，江西省南昌人，研究方向：數學建模。