依中間意義漸近嚴(yán)格擬φ-偽壓縮映像及廣義均衡問(wèn)題的強(qiáng)收斂性*

王元恒,秦苗苗

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

?

依中間意義漸近嚴(yán)格擬φ-偽壓縮映像及廣義均衡問(wèn)題的強(qiáng)收斂性*

王元恒,秦苗苗

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

主要在更廣泛的Banach空間中引入一種新的迭代格式,用于逼近一族依中間意義漸近嚴(yán)格擬φ-偽壓縮映像不動(dòng)點(diǎn)與廣義均衡問(wèn)題解的公共點(diǎn),并在一定條件下證明了這種迭代算法的強(qiáng)收斂性.其結(jié)果推廣和改進(jìn)了一些近代已有的結(jié)果.

漸近嚴(yán)格擬φ-偽壓縮映像;廣義均衡問(wèn)題解;廣義f-投影算子;混雜迭代程序;強(qiáng)收斂性

0 引 言

1972年,Goebel等[1]首先引入了漸近非擴(kuò)張映像的概念,并證明了一致凸Banach空間E的非空有界閉凸子集C上的任意漸近非擴(kuò)張自映像T都有不動(dòng)點(diǎn).1991年,Schu[2]又提出了漸近偽壓縮映像概念.之后,在Hilbert空間或Banach空間中,許多學(xué)者對(duì)這些廣義非擴(kuò)張映像類及其推廣形式的不動(dòng)點(diǎn)迭代算法和應(yīng)用進(jìn)行了廣泛研究,得到了許多有意義的結(jié)果[3-8].

設(shè)E*是實(shí)Banach空間E的對(duì)偶空間,T:C→C是非線性映像,C是E的非空閉凸子集,T的不動(dòng)點(diǎn)集記為F(T).令正實(shí)序列{kn},kn→1.

若T滿足不等式‖Tnx-Tny‖≤kn‖x-y‖,?x,y∈C,?n≥1,則稱T為漸近非擴(kuò)張映像.

若T滿足不等式〈Tnx-Tny,x-y〉≤kn‖x-y‖2,?x,y∈C,?n≥1,則稱T為漸近偽壓縮映像.

顯然,非擴(kuò)張映像一定是漸近非擴(kuò)張映像(只須kn=1,?n≥1),漸近非擴(kuò)張映像一定是漸近偽壓縮映像,漸近非擴(kuò)張映像一定是依中間意義漸近非擴(kuò)張映像,反之不然[10].

設(shè)E是自反光滑的Banach空間,則可定義Lyapunov函數(shù)[11]φ:E×E→R為

其中,J為正規(guī)對(duì)偶映射.顯然，對(duì)任意x,y,z∈E,有

若E是實(shí)Hilbert空間,則J為恒等映射I,φ(x,y)=‖x-y‖2;若E是自反光滑嚴(yán)格凸的Banach空間,則對(duì)x,y∈E,φ(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y.

文獻(xiàn)[13]在一致凸一致光滑Banach空間E中研究了關(guān)于相對(duì)非擴(kuò)張映射T:C→C的不動(dòng)點(diǎn)混雜迭代程序{xn},并在一定條件下證明了該序列{xn}強(qiáng)收斂于ΠF(T)x0.

最近,文獻(xiàn)[14]推廣了文獻(xiàn)[13]的結(jié)果,在自反嚴(yán)格凸光滑的Banach空間E中引入了關(guān)于依中間意義漸近擬φ-非擴(kuò)張映射T的漸近不動(dòng)點(diǎn)的一種混雜迭代程序

(1)

另外,文獻(xiàn)[15]在一致凸一致光滑Banach空間E中研究了相對(duì)非擴(kuò)張映射T不動(dòng)點(diǎn)集F(T)與均衡問(wèn)題解集EP(f)的公共元素的混雜迭代程序

(2)

并在一定條件下證明了該序列{xn}強(qiáng)收斂于ΠF(T)∩EP(f)x0.

1 預(yù)備知識(shí)

下面給出一些用到的主要定義和引理.

設(shè)E是具有范數(shù)‖·‖的實(shí)Banach空間,E*是E的對(duì)偶空間.正規(guī)對(duì)偶映射J:E→2E*定義為

其中,〈·,·〉是對(duì)偶配對(duì).由Hahn-Banach延拓定理知J有意義,J是恒等映射當(dāng)且僅當(dāng)E是Hilbert空間.但一般情況下J是非線性多值映射.因此,有下面的主要定義:

若E中任何序列{xn}滿足xn?x∈E,‖xn‖→‖x‖,都有xn→x,則稱E為具有Kadec-Klee性質(zhì).顯然,若E一致凸,則E具有Kadec-Klee性質(zhì).

對(duì)于一個(gè)映像T:C→C?E:

1)若F(T)≠?,φ(p,Tx)≤φ(p,x),?x∈C,p∈F(T),則稱T為擬φ-非擴(kuò)張映射.

2)若存在序列{μn}?[0,∞),μn→0,n→∞,使得F(T)非空,且

則稱T為漸近擬φ-非擴(kuò)張映射.

3)若F(T)≠?,且存在{μn}?[0,∞),μn→0,n→∞,常數(shù)k∈[0,1),使得

則稱T為依中間意義漸近嚴(yán)格擬φ-偽壓縮映射.假如令

(3)

則ξn→0,n→∞.式(3)將變?yōu)槿缦滦问?

4)若一族映像Ti(i∈Λ)滿足

則稱Ti為依中間意義一致漸近嚴(yán)格擬φ-偽壓縮映射.

這類非常廣泛的依中間意義漸近嚴(yán)格擬φ-偽壓縮映射被文獻(xiàn)[17]引入.

注1 若k=0,則稱T為依中間意義漸近擬φ-非擴(kuò)張映射.顯然,擬φ-非擴(kuò)張映射是漸近擬φ-非擴(kuò)張映射;漸近擬φ-非擴(kuò)張映射是依中間意義漸近擬φ-非擴(kuò)張映射;依中間意義漸近擬φ-非擴(kuò)張映射是依中間意義漸近嚴(yán)格擬φ-偽壓縮映射.

定義2 若對(duì)于任意{xn}?C:xn→x,Txn→y,有Tx=y,則稱映射T:C→C為閉的.

文獻(xiàn)[11]引入廣義投影ΠC:E→C,定義為

文獻(xiàn)[18]考慮了Banach空間中的廣義f投影算子,即廣義投影ΠC的推廣.令F:C×E*→R∪{∞}是一個(gè)定義如下的函數(shù):

其中:ρ是一正數(shù);f:C→R∪{∞}是真凸下半連續(xù)的.由F的定義易得下列性質(zhì):

1)當(dāng)y固定時(shí),F(y,x)關(guān)于x是凸連續(xù)的;

2)當(dāng)x固定時(shí),F(y,x)關(guān)于y是凸下半連續(xù)的.

定義3[19]設(shè)C是光滑的實(shí)Banach空間E的非空閉凸子集.定義集值映像

稱ΠfC:E→2C是廣義f-投影算子.

引理2[19]設(shè)E是自反光滑的Banach空間,C是E的非空閉凸子集,則下列命題成立:

(4)

式(4)的解記為EP(λ).

對(duì)于上述雙重函數(shù)λ:C×C→R的平衡問(wèn)題,常常假設(shè)滿足下面條件:

(A1)λ(x,x)=0,?x∈C;

其次，企業(yè)也應(yīng)肩負(fù)起自己的社會(huì)責(zé)任，將經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益相結(jié)合：其一，提高自身技術(shù)。企業(yè)應(yīng)提高自主創(chuàng)新能力，依靠技術(shù)進(jìn)步、科學(xué)管理等手段，形成自己的競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)。尤其重視密碼技術(shù)，車鎖技術(shù)的完善，使其從根本上杜絕后患。其二，加強(qiáng)人員管理，可在重要城市重要交通地段配備專業(yè)人員進(jìn)行管理，及時(shí)清理廢棄車輛，并對(duì)使用者進(jìn)行引導(dǎo)，若遇上不法行為可及時(shí)制止?；蚱刚?qǐng)專業(yè)人員對(duì)定位裝置進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)控，若有問(wèn)題便可及時(shí)得到解決。其三，加強(qiáng)警示作用，在使用軟件租車前可強(qiáng)制使用者閱讀聲明，在聲明中寫明后果和應(yīng)承擔(dān)的責(zé)任。

(A2)λ是單調(diào)的,λ(x,y)+λ(y,x)≤0,?x,y∈C;

則有下面結(jié)論:

引理4[14]設(shè)E是自反光滑嚴(yán)格凸的Banach空間,E和E*都具有Kadec-Klee性質(zhì),C是E的非空閉凸子集.令T:C→C是依中間意義漸近嚴(yán)格擬φ-偽壓縮映射 {μn}?[0,∞),使得μn→0(n→∞),則F(T)是閉凸的.

2 主要結(jié)果

1)αn+βn+γn=1;

設(shè)序列{xn}由下面廣義混雜迭代程序生成:

(5)

證明 將分7步來(lái)證明此定理.

(6)

F(z2,Ju(n,i))≤αnF(z2,Jx1)+(1-αn)F(z2,Jxn)+h(n,i).

(7)

由定義3知,式(6)和式(7)等價(jià)于

(8)

2αn〈z2,Jx1〉+2(1-αn)〈z2,Jxn〉-2〈z2,Jun〉≤αn‖x1‖2+(1-αn)‖xn‖2-‖un‖2+h(n,i).

(9)

分別用t和1-t與式(8)、式(9)作乘積并相加整理得

因此,

第3步 證明F?Cn,?n≥1.當(dāng)n=1,有F?C1=C.現(xiàn)假設(shè)F?Cn,n≥2.令q∈F,因?yàn)門i是依中間意義漸進(jìn)嚴(yán)格擬φ-偽壓縮映射,所以可由定義3和引理3得

綜上得q∈Cn+1,即推得F?Cn+1.因此,由歸納法知F?Cn,?n≥1.

從而得{xn}有界,因此{(lán)F(xn,Jx1)}有界.由引理2和引理5得

(10)

由式(10)得

(11)

(12)

同時(shí)

因?yàn)镴一致范數(shù)到范數(shù)連續(xù),所以

(13)

式(13)等價(jià)于

(14)

由式(11)、式(14)及假設(shè)條件2)和定義1得

于是

(15)

由J的一致范數(shù)到范數(shù)連續(xù)性得

(16)

(18)

由式(15)、式(18)和E的Kadec-Klee性質(zhì)得

(19)

另一方面,由范數(shù)弱半連續(xù)性得

(20)

由式(20)得

(22)

因此,?q∈F?Cn,由引理3得

由式(20)、式(22)、式(23)、定義1及假設(shè)條件2)得

(24)

對(duì)不等式(24)兩邊取n→∞的極限得

從而(‖u(n,i)‖-yn)2→0,n→∞.通過(guò)式(15)得

(25)

因此,

(26)

即{‖Jyn‖}在E*中有界.因?yàn)镋*自反,所以不妨假設(shè)Jyn?y*,n→∞.由于J(E)=E*,所以存在y∈E,使得Jy=y*.因此，

(27)

由J在有界集上的一致連續(xù)性得

(28)

從而

由條件2)、條件3)和式(21)得

(29)

注意到

再由式(29)得

(30)

(31)

由

及式(31)、T的漸近正則性得

由F的定義知,對(duì)?x∈E,F(u,Jx)依賴于u凸下半連續(xù),并且

綜上所述,完成定理1的證明.

注2 相對(duì)于許多已經(jīng)有的近代結(jié)果[3-8;12-15],本文的結(jié)果定理1從以下5個(gè)方面作了相應(yīng)的推廣與改進(jìn):

2)迭代方法更廣泛,把關(guān)于一個(gè)映像T的混雜迭代格式推廣到一族映像{Ti}i∈Λ的混雜迭代格式,當(dāng)Ti≡T時(shí)即為一個(gè)映像了.

3)均衡問(wèn)題更廣泛,應(yīng)用廣義均衡問(wèn)題代替過(guò)去迭代過(guò)程的均衡問(wèn)題.

4)空間范圍更廣泛,從一致凸一致光滑的Banach空間推廣到具有Kadec-Klee性質(zhì)的、自反的嚴(yán)格凸一致光滑的Banach空間,因?yàn)橐恢峦笲anach空間一定是具有Kadec-Klee 性質(zhì)的、自反的嚴(yán)格凸Banach空間.

5)研究的非線性映像更廣泛,由相對(duì)非擴(kuò)張映射推廣到漸近擬φ-非擴(kuò)張映射,再進(jìn)一步到依中間意義的一致漸近擬φ-偽壓縮映射族(本文提出的一些新概念).

如果對(duì)上述的5個(gè)方面只是作一些部分推廣,那么應(yīng)用排列組合知識(shí)知道,定理1可衍生出31個(gè)不同的推論結(jié)果,它們可以分別是過(guò)去已有的結(jié)果或者是過(guò)去已有結(jié)果的推廣.

[1]Goebel K,Kirk W A.A fixed point theorem for asymptotically nonexpansive mappings[J].Proc Amer Math Soc,1972,35:171-174.

[2]Schu J.Iterative construction of fixed points of asymptotically nonexpansive mappings[J].J Math Anal Appl,1991,158(2):407-413.

[3]金堅(jiān)帥,倪仁興.Banach空間中一族依中間意義漸近擬φ-非擴(kuò)張映射和均衡問(wèn)題的強(qiáng)收斂性定理[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,38(2):163-171.

[4]王元恒,石慧敏.2個(gè)有限族廣義依中間意義漸近非擴(kuò)張非自映像公共不動(dòng)點(diǎn)定理[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2014,41(3):282-287.

[5]石慧敏,王元恒.漸近偽壓縮映像不動(dòng)點(diǎn)的三步帶誤差修正迭代逼近[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2014,34(1):119-128.

[6]孔德洲.Banach空間廣義平衡問(wèn)題和一族擬φ-非擴(kuò)張映像的強(qiáng)收斂性定理[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào),2013,15(3):6072-6082.

[7]潘靈榮,王元恒.偽壓縮映像修正迭代序列的強(qiáng)收斂性[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,31(4):397-400.

[8]Wang Z,Kang M,Cho Y.Convergence theorems based on the shrinking projection method for hemi-relatively nonexpansive mappings,variational inequalities and equilibrium problems[J].J Math Anal,2012,6(1):11-34.

[9]Bruck R E,Kuczumow T,Reich S.Convergence of iterates of asymptotically nonexpansive mapping in Banach space with the uniform opial property[J].Colloq Math,1993,65(2):169-179.

[10]Kirk W A.Fixed point theorems for non-Lipschitzian mappings of asymptotically nonexpansive type[J].Isr J Math,1974,17(4):339-346.

[11]Alber Ya I.Metric and generalized projection operators in Banach spaces:properties and applications[C]//Kartsatos A G.Lecture Notes in Pure and Appl Math:Theory and applications of nonlinear operator of accretive and monotone type.New York:Dekker,1996:15-50.

[12]Su Y,Wang D,Shang M.Strong convergence of monotone hybrid algorithm for hemi-relatively nonexpansive mappings[J].Fixed Point Theory Appl,2008,9(2):1-7.

[13]Matsushita S,Takahashi W.A strong convergence theorems for relatively nonexpensive mappings in Banach spaces[J].J Approx Theory,2005,134(2):257-266.

[14]Hao Y.Some results on a modified mann iterative scheme in a reflexive Banach space[J].Fixed Point Theory Appl,2013,72(12):1307-1320.

[15]Takahashi W,Zembayashi K.Strong and weak convergence theorem for equilibrium problems and relatively nonexpansive mappings in Banach space[J].Nonliear Anal,2009,70(1):45-57.

[16]Wang Y H,Xia Y H.Strong convergence for asymptotically pseudocontractions with the demiclosedness principle in Banach spaces[J].Fixed Point Theory Appl,2012,2012(2):183-190.

[17]Qin X L,Wang L,Kang S M.Some results on fixed points of asymptotically strict quasi-φ-pseudocontractions in the intermediate sense[J].Fixed Point Theory Appl,2012,2012(1):1-18.

[18]Wu K Q,Huang N J.The generalizedf-projection operator with an application[J].Bull Austral Math Soc,2006,73(2):307-317.

[19]Li X,Huang N,O′Regan D.Strong convergence theorems for relatively nonexpansive mappings in Banach spaces with applications[J].Comput Math Appl,2010,60(5):1322-1331.

[20]Deimling K.Nonlinear functional analysis[M].Berlin:Springer-Verlag,1985.

(責(zé)任編輯 陶立方)

Convergence theorems for the equilibrium problem and asymptotically strict quasiφ-pseudo contraction mappings in the intermediate sense

WANG Yuanheng,QIN Miaomiao

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

It was introduced an hybrid iterative process which converges strongly to a common element of the set of fixed points of a family of asymptotically strict quasiφ-pseudo contraction mappings in the intermediate sense and the solution set of the generalized equilibrium problem in Bananch spaces.The results extended and improved some results obtained by other authors.

asymptotically strict quasiφ-pseudo contraction; solutions of the generalized equilibrium problem; generalizedf-projection operator; hybrid iterative process; strong convergence

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.01.004

??2015-10-26；

2015-11-04

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271330);浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LY14A010011)

王元恒(1961-),男，河南南陽(yáng)人，教授.研究方向：非線性泛函分析.

O177.91

A

1001-5051(2016)01-018-10