具有廣義指數型二分性的擾動系統的周期解*

夏永輝,陳麗君,陳錦松,吳海輝

(1.浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004;2.福州大學 數學與計算機科學學院，福建 福州 350002;3.福州大學 陽光學院，福建 福州 350002)

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具有廣義指數型二分性的擾動系統的周期解*

夏永輝1,陳麗君1,陳錦松2,吳海輝3

(1.浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004;2.福州大學 數學與計算機科學學院，福建 福州 350002;3.福州大學 陽光學院，福建 福州 350002)

經典的指數型二分性理論已經得到較為完善的發展,但經典指數型二分性相對較強,限制了很多動力學行為.為了得到更多的動力學性質,在現有廣義指數型二分性概念的基礎上，主要采用壓縮不動點定理，探討了當線性部分具有廣義指數型二分性時,擾動系統周期解的存在唯一性.得到了該系統周期解存在且唯一的一些充分條件.

指數型二分性;線性系統;周期解;擾動系統

0 引 言

考慮線性系統

(1)

定義1 如果存在一個投影P(P2=P)、正的常數K和α,滿足

其中X(t)為系統(1)的基本解矩陣,那么稱系統(1)具有(經典)指數型二分性.

當線性部分具有(經典)指數型二分性時,已經有許多學者討論了其擾動系統的周期解的存在唯一性問題[1-18].然而,這些結果的基本假設都是基于線性系統具有(經典)指數型二分性基礎之上的.但(經典)指數型二分性相對較強,限制了很多動力學行為.為得到更廣泛的動力學性質,文獻[19-21]提出了廣義指數型二分性的概念;文獻[22-24]還利用廣義指數二分性推廣了Hartman線性化的相關結果.本文將討論當線性系統具有廣義指數型二分性時,擾動系統的周期存在性與唯一性問題.

1 主要定義及引理

定義2 如果存在投影P、正常數K和連續函數α(t):R→(0,+∞),

使得

(2)

式(2)中X(t)是線性系統

(3)

的基本解矩陣,則稱線性系統(3)具有廣義指數型二分性.

例1 系統

具有廣義指數型二分性,但是不滿足經典的指數型二分性.因此，研究當線性系統具有廣義指數型二分性時擾動系統的性質具有重要理論意義.

引理1 若線性系統(3)具有廣義指數型二分性,則它不存在非平凡的有界解.

證明 若線性系統(3)具有廣義指數型二分性,則存在一個投影P、正常數K和連續函數α(t)滿足式(2).設x(t)是線性系統(3)的任意一個有界解,則存在n階實向量ξ,使得

所以只需證明Pξ=0,(I-P)ξ=0.若Pξ≠0,則考慮t≤0.因為

所以,由式(2)可得

‖Pξ‖=‖X(0)Pξ‖=‖X(0)PX-1(t)X(t)Pξ‖≤

于是

(4)

另一方面,

‖X(t)(I-P)ξ‖=‖X(t)(I-P)X-1(0)X(0)(I-P)ξ‖≤

(5)

從式(4)和式(5)可以得出

引理2 若線性系統(3)具有廣義指數型二分性,則滿足系統(3)的投影P是唯一的.

使得下式成立:

(6)

任取ξ∈Rn,考慮t≥0,由不等式(6)得

(7)

對?t≤0,有

(8)

引理3 若線性系統(3)具有廣義指數型二分性,則系統

(9)

存在唯一的有界解

其中:A(t)是定義在R上的連續有界方陣;f:Rn→Rn連續.

證明 令

(10)

直接對式(10)微分,容易驗證x0(t)是系統(9)的一個解.從而得

由于線性系統(3)具有廣義指數型二分性,且

所以存在M>0,使得當s→∞時有

(11)

(12)

由式(11)和式(12)得

于是得出x0(t)是系統(9)的一個有界解.由引理1和引理2可知系統(9)的有界解是唯一的,且

引理3證畢.

2 主要結果(周期解)

定理1 若系統(3)是一個周期為ω的線性系統且具有廣義指數型二分性,則X(t)PX-1(s)是一個以ω為周期的函數.

顯然,X(T)PX-1(T) 也是線性系統(3)的一個投影.由引理2可得X(T)PX-1(T)=P.于是

定理1證畢.

注1 當廣義指數型二分性變成經典指數型二分性時,α(t)≡α,定理1就退化成經典指數型二分性的已知結果(見文獻[2]定理3.18).

定理2 若線性系統(3)具有廣義指數型二分性,且A(t+ω)=A(t),f(t+ω)=f(t),則系統(9)具有唯一的周期解.

證明 設x(t) 是系統(9)的解,由引理3可得

(13)

且系統(9)的解是唯一的.下證周期性.由式(13)得

令τ=s-ω，且由定理1和條件f(t+ω)=f(t)可知

因此,系統(9)具有唯一的周期解.定理2證畢.

現在考慮非線性系統

(14)

式(14)中:A(t)是定義在R上的連續有界方陣;f:R×Rn→Rn連續.記

定理3 若線性系統(3)具有廣義指數型二分性，且

(15)

則系統(14)存在唯一的周期解.

證明 設B={φ(t) |φ(t+ω)=φ(t)}，對于?φ(t)∈B,令

(16)

由定理2可知,系統(16)存在唯一的周期解,記作

定義算子T:φ→xφ,于是Tφ(t)=xφ(t).由式(2)和式(15)可得

對于?φ(t)∈B及ψ(t)∈B,由式(15)可得

‖Tφ(t)-Tψ(t)‖=

由已知條件可知2KLr<1,所以T:φ→xφ存在唯一的不動點.因此,系統(14)存在唯一的周期解.定理3證畢.

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(責任編輯 陶立方)

Periodic solution of perturbed system with generalized exponential dichotomy

XIA Yonghui1,CHEN Lijun1,CHEN Jinsong2,WU Haihui3

(1.CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China; 2.CollegeofMathematicsandComputerScience,FuzhouUniversity,Fuzhou350116,China; 3.CollegeofSunshine,FuzhouUniversity,Fuzhou350002,China)

The classical exponential dichotomy had been well developed,while the concept of classical exponential dichotomy was always too strong.It restricted many dynamic behavior.A set of sufficient conditions were obtained for the periodic solutions of non-autonomous nonlinear system if the linear part admited a generalized exponential dichotomy.

exponential dichotomy; linear system; periodic solution; perturbed system

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.01.005

??2015-03-12；

2015-06-12

浙江省自然科學基金資助項目(LY15A010007)；中國博士后基金資助項目(2014M562320);福州大學基礎課骨干教師訪問基金資助項目;福建省教育廳科研項目(JB12254)

夏永輝(1978-)，男，福建壽寧人，教授，博士.研究方向：常微分方程與動力系統.

O241

A

1001-5051(2016)01-028-06