n次微分分次Poisson模范疇*

吳學超,朱 卉,陳淼森

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

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n次微分分次Poisson模范疇*

吳學超,朱 卉,陳淼森

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

給出了左n次微分分次Poisson模的定義.令A是n次微分分次Poisson代數,根據A構造了一個新的微分分次代數B.同時證明了A上的左n次微分分次Poisson模范疇同構于B上的左微分分次模范疇.

微分分次Poisson代數;微分分次Poisson模;微分分次代數;李代數

0 引 言

Poisson代數的概念起源于Poisson幾何,它可以簡單地看成交換代數和李代數的結合.近年來,Poisson代數得到了很多不同形式的有趣的推廣[1-7],例如分次Poisson代數[1]和雙Poisson代數[2]等.文獻[3]定義了n次微分分次Poisson代數，這類代數可以粗略地看成微分分次代數和n次微分分次李代數的結合.受此啟發,本文提出了左n次微分分次Poisson模的概念.

本文的主要結果如下:

定理1 令(A,5,{,}A,dA)是n次微分分次Poisson代數,那么

1)可以構造另一個代數Ae,它是微分分次代數.定義

其中,a,b∈A為齊次元.

2)設DGP(A)為A上左n次微分分次模范疇,DG(Ae)為Ae上左微分分次模范疇，則

DGP(A)?DG(Ae).

1 左n次微分分次Poisson模

本節將給出左n次微分分次Poisson模的定義.

定義1[3]設(A,5)是Z-分次K-向量空間.若有K-齊次線性映射{,}:A?A→A,|{,}|=n滿足:

1)(分次反對稱性){a,b}=-(-1)(|a|+n)(|b|+n){b,a};

2)(分次Jacobi恒等式){a,{b,c}}={{a,b},c}+(-1)(|a|+n)(|b|+n){b,{a,c}},a,b,c∈A為齊次元,

則稱(A,{,})為n次分次李代數.

若在此基礎上,有K-線性映射d:A→A,|d|=1,滿足d2=0和

則稱(A,{,},d)為n次微分分次李代數.

定義2[3]設(A,·)是Z-分次代數.若

1)(A,{,})是n次分次李代數,

2)a·b=(-1)|a||b|b·a,

3){a,b·c}={a,b}·c+(-1)(|a|+n)|b|b·{a,c},

其中a,b,c∈A為齊次元,則稱(A,·,{,})為n次分次Poisson代數.

若在此基礎上,有K-線性映射d:A→A,|d|=1滿足d2=0和

4)d(a·b)=d(a)·b+(-1)|a|a·d(b),

5)d({a,b})={d(a),b}+(-1)(|a|+n){a,d(b)},

則稱(A,·,{,},d)為n次微分分次Poisson代數.

定義3 令(A,·,{,},d)是n次微分分次Poisson代數,稱

為A上的左n次微分分次Poisson模,如果M滿足以下條件:

1)(M,*,?)是微分分次代數A上的左微分分次模,等價于

①有K-雙線性映射_*_:A?M→M,|_*_|=0,使得M在A上是左分次模,即Ai*Mj?Mi+j,i,j∈Z;

②有K-線性映射?:M→M,|?|=1,滿足?2=0且

其中:a∈A為齊次元;m∈M.

2)(M,*,{,})是在n次微分分次Poisson代數上的左n次分次Poisson模,即有另一個雙線性括號{,}M:A?M→M,|{,}M|=n,滿足:

①{a,b*m}M={a,b}A*m+(-1)(|a|+n)|b|b*{a,m}M;

②{a5b,m}M=a*{b,m}M+(-1)|a||b|b*{a,m}M;

③{a,{b,m}M}M={{a,b}A,m}M+(-1)(|a|+n)(|b|+n){b,{a,m}M}M.

其中:a,b∈A為齊次元;m∈M.

3)線性映射?作用于{,}M,即

其中:a∈A為齊次元;m∈M.

記(M,*,{,}M,?)為A上的左n次微分分次Poisson模.

注1 類似可以定義右n次微分分次Poisson模.

2 定理1的證明

為簡便起見,在不引起混淆的情形下常省去下標,所取的元素都是對應代數中的齊次元.

要證明定理1,需要證明以下引理.

引理1Ae是微分分次代數.

證明 根據Ae的構造,容易看出Ae是Z-分次代數.令?:Ae→Ae是線性映射,|?|=1,

其中,a∈A為齊次元,使得分次萊布尼茨法則成立,即

則以上定義滿足M的Ae-模構造.事實上,取a,b∈A為齊次元,x∈M,有

mab5x=(ab)5x=a(bx)=(mamb)x;

hab5x={(ab),x}M=a{b,x}M+(-1)|a||b|b{a,x}M=mahbx+(-1)|a||b|mbhax=

(mahb+(-1)|a||b|mbha)5x;

m{a,b}5x={a,b}A5x={a,bx}M-(-1)(|a|+n)|b|b5{a,x}M=

{a,mbx}M-(-1)(|a|+n)|b|mbhax=hambx-(-1)(|a|+n)|b|mbhax=

(hamb-(-1)(|a|+n)|b|mbha)5x;

h{a,b}5x={{a,b}A,x}M={a,{b,x}M}M-(-1)(|a|+n)(|b|+n){b,{a,x}M}M=

(hahb-(-1)(|a|+n)(|b|+n)hbha)x.

所以,M是左微分分次模.又由于

?(ma5x)=?(a5x)=d(a)5x+(-1)|a|a5?(x)=md(a)5x+(-1)|a|ma5?(x)=

?(ma)5x+(-1)|a|ma5?(x),

?(ha5x)=?({a,x}M)={d(a),x}M+(-1)(|a|+n){a,?(x)}=

hd(a)5x+(-1)(|a|+n)ha5?(x)=?(ha)5x+(-1)(|a|+n)ha5?(x),

所以,M是Ae上的左微分分次模.引理2證畢.

引理3 令(A,*,{,}A,d)是n次微分分次Poisson代數,且(M,?)是Ae上的左微分分次模,那么M可以看成是A上的左n次微分分次Poisson模.

證明 ?a∈A為齊次元,x∈M,定義

下證(M,*,{,}M,?)是A上的左n次微分分次Poisson模.

事實上,?:M→M,|?|=1,滿足?2=0.取a,b∈A為齊次元,x∈M,有

?(a*x)=?(max)=?(ma)5x+(-1)|a|ma5?(x)=md(a)5x+(-1)|a|ma5?(x)=

d(a)*x+(-1)|a|a*?(x);

{a,b*x}M={a,mbx}M=hambx=(m{a,b}A+(-1)(|a|+n)|b|mbha)5x=

{a,b}A*x+(-1)(|a|+n)|b|b*{a,x}M;

{ab,x}M=hab5x=(mahb+(-1)|a||b|mbha)5x=a*{b,x}M+(-1)|a||b|b*{a,x}M;

{a,{b,x}M}M=hahbx=(h{a,b}A+(-1)(|a|+n)(|b|+n)hbha)5x=

{{a,b}A,x}M+(-1)(|a|+n)(|b|+n){b,{a,x}M}M;

?({a,x}M)=?(ha5x)=?(ha)5x+(-1)(|a|+n)ha5?(x)=

hd(a)5x+(-1)(|a|+n)ha5?(x)={d(a),x}M+(-1)(|a|+n){a,?(x)}M.

引理3證畢.

證明 1)取任意齊次元ma,ha∈Ae,x∈M.由于f是左n次微分分次PoissonA-模映射,

且

2)取任意齊次元a∈A,x∈M.由于g是左微分分次Ae-模映射,

定理1的證明 由引理1可知,Ae是微分分次代數,根據引理1～4,只需證DGP(A)?DG(Ae).

易證F和G是2個共變函子,使GF=1DGP(A)且FG=1DG(Ae),則DGP(A)?DG(Ae).定理1證畢.

致謝：感謝呂家鳳副教授的悉心指導.

[1]Cattaneo A S,Fiorenza D,Longoni R.Graded Poisson algebras[J].Enc Math Phy,2006,2(6):560-567.

[2]Van den Bereer M.Double Poisson algebras[J].Trans Amer Math Soc,2008,360(11):5711-5769.

[3]吳學超,朱卉,陳淼森.n次微分分次Poisson代數的張量積[J].浙江大學學報：理學版,2015,42(4):391-395.

[4]Beltran J V,Monterde J.Graded Poisson structures on the algebra of differential forms[J].Comment Math Helv,1995,70(2):383-402.

[5]Xu P.Noncommutative Poisson algebras[J].Amer J Math,1994,116(1):101-125.

[6]鮑炎紅，李華.關于Poisson包絡代數的注記[J].安徽大學學報：自然科學版,2013,37(1):23-27.

[7]Oh S Q.Poisson enveloping algebras[J].Comm Algebra,1999,5(3):2181-2186.

(責任編輯 陶立方)

The category ofn-differential graded Poisson module

WU Xuechao,ZHU Hui,CHEN Miaosen

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

The notion of a leftn-differential graded Poisson module was given.SupposedAis ann-differential graded Poisson algebra,a new differential graded algebraBwas constructed.The categories of leftn-differential graded Poisson modules overAis isomorphic to the categories of left differential graded modules overBwas proved.

graded Poisson algebras; graded Poisson module; differential graded algebra; Lie algebras

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.01.007

??2015-06-07；

2015-09-04

國家自然科學基金資助項目(11571316)

吳學超(1990-),女,浙江義烏人,碩士研究生.研究方向：代數學.通信作者：陳淼森.E-mail:mschen@zjnu.cn

O153

A

1001-5051(2016)01-038-05