介觀諧振子電路中四模連續變量完美最大糾纏的實現

姜年權， 陳 隆， 劉 祥

(溫州大學，浙江 溫州 325035)

?

介觀諧振子電路中四模連續變量完美最大糾纏的實現

姜年權， 陳 隆， 劉 祥

(溫州大學，浙江 溫州 325035)

本文我們將基于連續變量EPR糾纏態以及分束器算符的理論表達式提出四模連續變量完美最大糾纏態(CV PMES)的理論表達形式，在此基礎上，進一步利用超導介觀LC諧振子電路通過射頻超導量子干涉儀進行耦合的系統，提出在實驗上近似實現四模連續變量完美最大糾纏態的理論實現方案.

連續變量糾纏態；LC諧振子；超導量子干涉儀

糾纏態是量子通訊和量子計算的基本資源.近年來，人們對不同類型的糾纏態進行了深入的研究和探索，其中一些糾纏態的相關研究已經相當成熟.部分糾纏態可以在離散變量(DV)系統和連續變量(CV)系統中都能夠制備出來，例如，我們所熟知的cluster態，開始是在量子比特系統[1,2]中引入的，后來Menicucci和zhang等人[3,4]將它延伸到連續變量系統中.類似的還有GHZ態，Braunstein和Loock等人[5]將它從量子比特系統擴展到了CV系統.但是，還有一些類型的糾纏態，比如完美最大糾纏態(PMMES)等，人們還沒能夠很好地理解和掌握，它們在DV系統和CV系統中存在著差異.Facchi等人[6]在量子比特系統中引入完美最大糾纏態,初步證明了在量子比特系統中，量子比特數N=4和N≥8時都不存在這種糾纏態.然而，在CV系統中，任意N模的這種糾纏態則有可能存在[7].對于CV PMMES中的四模情況，我們可以在光學系統中得到近似的證明.

在實驗上，由于光學系統的連鎖反應，操作和探測具有高效性，所以CV糾纏態的近似實現通常采用光學系統[7].然而利用光來研究CV量子態也存在著一些缺點.眾所周知，由于光總是以高速傳播，所以光學CV量子態只能存在短暫的瞬間而不能持續一段較長的時間.并且光量子信息的存儲和讀取并不容易，高壓縮光(超過10dB)在技術上也很難獲得.因此，人們很希望能找到一個擁有光學系統的優點而又沒有其缺點系統來用于CV量子態的研究.固態超導量子電路系統(SQC)就是一個很有前景的系統.目前人們對SQC 已經進行了深入的研究[10-16]，其中，已證明超導微波諧振器具有相對高的品質因數，并且可以與各種超導量子比特[17]之間進行強耦合.

本文中，我們首先提出四模CV PMME的一般表達式，進而在SQC中利用超導諧振器經過可控的射頻超導量子干涉儀(rf SQUID)耦合來實現CV PMME.我們的方案有以下幾個優點：(1)系統能獲得高壓縮度的量子態,系統中糾纏態能夠持續足夠長的時間，有利于觀察、測量以及操作；(2)量子信息的存儲和讀取方便；(3)電諧振器耦合的時候同時能夠被測量，因此可以提供更多的耦合系統的量子行為.此外，我們的系統擁有固態電路QED的一般優點.

1 完美最大糾纏態的概念

對于量子比特系統而言，Paolo Facchi等人[6]提出了一種完美最大糾纏態，并證明在量子比特系統中，量子比特數N=4或者N≥8都不存在這種糾纏態.下面以量子比特系統來介紹這種糾纏態.

一個由n個qubits粒子S={1,2,3,…,n}組成的希爾伯特空間H=(C2)?n，它的態可以表示為

(1)

其中k=(ki)i∈S，ki∈Z2={0,1}

(2)

對于A:

(3)

1/NA≤πA≤1

(4)

現在我們來計算πA,式子(1)可以寫作

(5)

把式(5)代入到式(3)可得：

(6)

通過分析我們知道，式(6)很容易達到1/NA，如果一個量子態它的任意約化密度算符ρA=1/NA，我們就將它稱作完美最大糾纏態.

然而，對于連續變量系統而言，情況有所不同，連續變量系統的量子數是連續變化的，取值范圍可以是從-∞到∞.Jing Zhang等人[Phys. Rev. Lett. 103, 070501 (2009)]給出了連續變量系統中完美最大糾纏態的等價定義.

一個n模量子態，將其任意分為的A、B兩部分，其中A部分包含有k個模(不妨假設k≤n/2),如果總能通過局域變換將其變為k個EPR對的直積，則該量子態為連續變量完美最大糾纏態.以該量子態作為量子通道，總可以將任意k模的量子態在A、B之間實現保真度為1的量子傳輸.不過，這種量子態是一種理想的量子態，對應著能量無窮大的情形，實際情況下是無法完全實現的，我們只能在實驗上近似實現.

2 四模連續變量完美最大糾纏態的理論表達式

(7)

(8)

(9)

我們也可以把公式(9)改寫為

(10)

3 四模連續變量完美最大糾纏態的近似實現

我們用如圖1的裝置來近似實現四模連續變量完美最大糾纏態.

圖1 四個LC諧振器與三個射頻超導量子干涉器相互耦合Fig.1 Circuit diagram for the lumped-element electrical resonators interact via rf SQUID-mediated tunable couplers

耦合相互作用強度

(11)

其中ωj和ωk是諧振器j和k的頻率.

因此，我們可以獲得諧振器j和k之間的相互作用

(12)

(13)

其中，θ(t1)=λjkt1/?.

(14)

(15)

這樣，我們就近似實現了四模 CV PMES[24-29].

4 方案的可行性分析及結論

以下用實際參數證明我們的方案的可行性.對于典型的稀釋冷藏庫的溫度約為30mK，我們選擇諧振器的頻率為10GHz左右，最終諧振器將在基態冷卻，因此我們很容易能夠制備這些模的壓縮態.對于耦合的電諧振器，我們從集成的量子電路[25,31]中選擇合理的參數：

ωj/2π=9GHZ，j=1,3,ωk/2π=10GHz,k=2,4

Lj=Lk=5Lc=5Mjl=5Mkl=500pH,I01=2.8μA

本文中我們給出了四模連續變量完美最大糾纏態的一般表達式，提出了在電路QED系統中，利用LC諧振器與rf SQUID耦合來近似產生四模連續變量完美最大糾纏態的方案，該方案在當前技術條件下是可行的.態的糾纏度取決于電路和驅動的參數.與之前大多數應用光學、腔或者原子系統的方案不同，我們在固態電路QED系統中產生了連續變量.

[1] RAUSSENDORF R， BRIEGEL H J. A one-way quantum computer[J]. Phys Rev Lett, 2001,86:5188.

[2] BRIEGEL H J， RAUSSENDORF R. Persistent entanglement in arrays of interacting particles[J]. Phys Rev Lett, 2001,86:910.

[3] MENICUCCI N C et al. Universal quantum computation with continuous-variable cluster states[J]. Phys Rev Lett, 2006,97:110501.

[4] ZHANG J， BRAUNSTEIN S L. Continuous-variable gaussian analog of cluster states[J]. Phys Rev A, 2006,73:032318.

[5] LOOCK P VAN， BRAUNSTEIN S L. Multipartite entanglement for continuous variables: a quantum teleportation network[J]. Phys Rev Lett, 2000,84:3482.

[6] FACCHI P et al. Maximally multipartite entangled states[J]. Phys Rev A, 2008,77:060304(R).

[7] ZHANG J, ADESSO G, XIE C, PENG K. Quantum teamwork for unconditional multiparty communication with gaussian states[J]. Phys Rev Lett, 2009,103:070501.

[8] BRAUNSTEIN S L， KIMBLE H J. Dense coding for continuous variables[J]. Phys Rev A, 2000,61:042302.

[9] TYC T， SANDERS B C. How to share a continuous-variable quantum secret by optical interferometry[J]. Phys Rev A, 2002,65:042310.

[10] CLARKE J， WILHELM F K. Superconducting quantum bits[J]. Nature (London), 2008,453:1031.

[11] BYLANDER J, GUSTAVSSO S, YAN F, et al. Noise spectroscopy through dynamical decoupling with a superconducting flux qubit[J]. Nat Phys, 2011,7:565.

[12] DE GROOT P C, LISENFELD J, SCHOUTEN R N, et al. Selective darkening of degenerate transitions demonstrated with two superconducting quantum bits[J]. Nat Phys, 2010,6:763.

[13] DEPPE F, MARIANTONI M, MENZEL E P, et al. Two-photon probe of the Jaynes-Cummings model and controlled symmetry breaking in circuit QED[J]. Nat Phys, 2008,4:686.

[14] MARIANTONI M, WANG H, YAMAMOTO T, et al. Implementing the quantum von neumann architecture with superconducting circuits[J]. Science, 2011,334:61.

[15] DICARLO L, REED M D, SUN L, et al. Preparation and measurement of three-qubit entanglement in a superconducting circuit[J]. Nature (London), 2010,467:574.

[16] MALLET F, ONG F R, PALACIOS-LALOY A, et al. Single-shot qubit readout in circuit quantum electrodynamics[J]. Nat Phys, 2009,5:791.

[17] SCHOELKOPF R J， GIRVIN S M. Wiring up quantum systems[J]. Nature (London) 2008,451:664.

[18] YOU J Q， NORI F. Atomic physics and quantum optics using superconducting circuits[J]. Nature (London)， 2011,474:589.

[19] HOFHEINZ M, WANG H, ANSMANN M, et al. Synthesizing arbitrary quantum states in a superconducting resonator[J]. Nature (London) 2009,459:546.

[20] ZAKKA-BAJJANI E, NGUYEN F, LEE M, et al. Quantum superposition of a single microwave photon in two different ‘colour’ states[J]. Nat Phys, 2011,7:599.

[21] WANG H, MARIANTONI M, BIALCZAK R C, et al. Deterministic Entanglement of Photons in Two Superconducting Microwave Resonators[J]. Phys Rev Lett, 2011,106:060401.

[22] HU Y AND TIAN L. Deterministic Generation of Entangled Photons in Superconducting Resonator Arrays[J]. Phys Rev Lett, 2011,106:257002.

[23] STRAUCH F W, JACOBS K, SIMMONDS R W. Arbitrary control of entanglement between two superconducting resonators[J]. Phys Rev Lett, 2010,105:050501.

[24] VAN DEN BRINK A M, BERKLEY A J， YALOWSKY M. Mediated tunable coupling of flux qubits. New J Phys, 2005,7:230.

[25] TIAN L, ALLMAN M S， SIMMONDS R W. Parametric coupling between macroscopic quantum resonators. New J Phys, 2008,10:115001.

[26] KIMBLE H J. The quantum internet[J]. Nature (London), 2008,453:1023.

[27] MENICUCCI N C, VAN LOOCK P, GU M, et al. Universal quantum computation with continuous-variable cluster states[J]. Phys Rev Lett, 2006,97:110501.

[28] FAN H Y， VANDERLINDE J. Simple approach to the wave functions of one- and two-mode squeezed states[J]. Phys Rev A, 1989,39:1552.

[29] MCDERMOTT R, SIMMONDS R W, STEFFEN M, et al. Simultaneous state measurement of coupled josephson phase qubits[J]. Science, 2005,307:1299.

[30] LI P B, GAO S Y, LI F L. Engineering two-mode entangled states between two superconducting resonators by dissipation[J]. Phys Rev A, 2012,86:012318.

Perfect Maximally Quadruple Entanglement and Its Implementing in Solid-State Quantum Circuit

JIANG Nian-quan, CHEN Long, LIU Xiang

(School of Physics and Electric Information, Wenzhou University, Wenzhou 325035, China)

In this paper, we proposed a way to obtain continuous-variable perfect maximally quadruple entangled states by applying beam splitter operations on continuous-variable EPR states. Then we show that the approximate version of these states can be achieved in circuit quantum electrodynamics systems composed of LC superconducting resonators and rf SQUIDs by tuning the applied flux bias to the rf SQUIDs.

Continuous-variable entangled states； LC resonators； rf SQUIDs

2016-04-07

國家自然科學基金(60710947017/A05).

姜年權(1966-)，男，安徽太湖縣人，教授，研究生導師.

10.14182/J.cnki.1001-2443.2016.05.001

TN929.11

A

1001-2443(2016)05-0409-05