強(qiáng)雙三角子空間格代數(shù)上的Jordan導(dǎo)子

金躍強(qiáng)

(南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 文理學(xué)院，江蘇 南京 210023)

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強(qiáng)雙三角子空間格代數(shù)上的Jordan導(dǎo)子

金躍強(qiáng)

(南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 文理學(xué)院，江蘇 南京 210023)

設(shè)D是非零的復(fù)自反Banach空間X上的強(qiáng)雙三角子空間格，A是AlgD的包含全體有限秩算子的子代數(shù)，利用秩二算子、冪等算子及同態(tài)映射的有關(guān)性質(zhì)，證明了A上的Jordan導(dǎo)子是導(dǎo)子.

雙三角子空間格;Jordan導(dǎo)子;秩二算子;同態(tài)映射

引 言

在抽象格理論中，雙三角格的研究發(fā)揮著特殊的作用.自1992年Lambrou和Longstaff在文獻(xiàn)[1]中研究了雙三角子空間格代數(shù)上的有限秩算子以來，關(guān)于雙三角格代數(shù)及其上的映射得到了大量的研究，取得了不少成果[2-7].文獻(xiàn)[2-7]研究了強(qiáng)雙三角格代數(shù)上導(dǎo)子、局部導(dǎo)子、中心化子、(α,β)-導(dǎo)子、初等算子、自同構(gòu)和Jordan同構(gòu)等的性質(zhì).設(shè)A是代數(shù)，M是A-模，δ:A→M是線性可加映射.稱δ是導(dǎo)子，如果對任給的a,b∈A，都有δ(ab)=δ(a)b+aδ(b)；稱δ是Jordan導(dǎo)子,如果對任給的a,b∈A，都有δ(a2)=δ(a)a+aδ(a).顯然，導(dǎo)子一定是Jordan導(dǎo)子，但反之卻不一定成立.文[8]證明了套代數(shù)上的Jordan導(dǎo)子一定是內(nèi)導(dǎo)子；文[9]證明了JSL代數(shù)上的Jordan導(dǎo)子是導(dǎo)子；文[10]證明了三角代數(shù)上的Jordan導(dǎo)子是導(dǎo)子等,但雙三角子空間格代數(shù)非上述類型代數(shù).受以上文獻(xiàn)啟發(fā)，本文將研究雙三角子空間格代數(shù)上的Jordan導(dǎo)子有關(guān)性質(zhì).

1 預(yù)備知識

設(shè)D={(0),K,L,M,X}是非零復(fù)自反Banach空間上的子空間格，若滿足K∧L=L∧M=M∧K=(0),且K∨L=L∨M=M∨K=X，則稱D是雙三角子空間格，對應(yīng)的AlgD稱為雙三角子空間格代數(shù).進(jìn)一步，若K+L、L+M或M+K三者中至少有一個是閉的，則稱該雙三角子空間格為強(qiáng)雙三角子空間格.若不加特別說明，本文所指的雙三角子空間格均指的是強(qiáng)雙三角子空間格.下面給出一些記號：設(shè)K0=K∩(L+M)，L0=L∩(M+K)，M0=M∩(K+L)和KP=K⊥∩(L⊥+M⊥),LP=L⊥∩(M⊥+K⊥),MP=M⊥∩(K⊥+L⊥).易知KP,LP和MP在D⊥中的作用與K0,K0和M0在D中的作用相同.

引理1[1]設(shè)D={(0),K,L,M,X}是非零復(fù)自反Banach空間X上的雙三角子空間格,則

(1)K0+L0=L0+M0=M0+K0=K0+L0+M0;

(2)KP+LP=LP+MP=MP+KP=KP+LP+MP.

引理2[1]設(shè)D={(0),K,L,M,X}是非零復(fù)自反Banach空間X上的雙三角子空間格，且K+L是閉的，則

(1)K0+L0+M0在X中是稠的；

(2)KP+LP+MP在X*中是稠的.

引理3[1]設(shè)D={(0),K,L,M,X}是非零復(fù)自反Banach空間X上的雙三角子空間格，且e∈L0，f∈M0，e+f∈K0,e*∈LP,f*∈MP,e*+f*∈KP，那么R=e*?f-f*?e是秩二算子，且e*(f)=-f*(e).此外,AlgD中的全部有限秩算子均可表示成若干秩二算子之和.

由此可知,雙三角子空間格中沒有秩一算子,而是包含了大量的秩二算子.

引理4[2]設(shè)D={(0),K,L,M,X}是非零復(fù)自反Banach空間X上的強(qiáng)雙三角子空間格,且dimK0≥2,那么F(K)是一個局部矩陣代數(shù).

引理5[11]局部矩陣環(huán)上的Jordan同態(tài)映射都是一個同態(tài)映射和反同態(tài)映射之和.

由引理4和引理5，可得：K上全體有限秩算子構(gòu)成的代數(shù)F(K)上的Jordan同態(tài)映射可以分解成同態(tài)映射和反同態(tài)映射之和.

2 主要結(jié)果

引理6 設(shè)e∈L0,f∈M0,e+f∈K0，且秩二算子P=e*?f-f*?e是AlgD中的冪等算子.若存在AlgD中的冪等算子C和D，使得P=C+D成立，那么必有C=0或D=0.

證明:由于P、C和D均為冪等算子,可得P=(C+D)2=C2+CD+DC+D2=(C+D)+CD+DC=P+CD+DC.即有:CD+DC=0.在等式P=C+D兩邊分別左乘和右乘C,得CP=C+CD和PC=C+DC.從而2C=CP+PC.在等式2C=CP+PC中同時(shí)左乘、右乘C可得C=CPC，進(jìn)而CDC=0.由以上可得CD=DC=0，C=CP和D=DP.不妨設(shè)C≠0,那么C=C(e*?f-f*?e)是冪等元,所以

[C(e*?f-f*?e)]2=(e*?Cf-f*?Ce)·(e*?Cf-f*?Ce)

=e*(Cf)e*?Cf+f*(Ce)f*?Ce

=C(e*?f-f*?e)

即有e*(Cf)=-f*(Ce)f*=1.又由于e*?f-f*?e是冪等算子,則有

e+f=(e*?f-f*?e)(e+f)

和

1=e*(e+f)=e*((e*?f-f*?e)(e+f))=e*((C+D)(e+f))=1+e*(D(e+f))，

因此,e*(D(e+f))=0,又由于D=D2=(DP)2=(D(e*?f-f*?e))2=0.

引理7 設(shè)A是AlgD的標(biāo)準(zhǔn)子代數(shù)，映射φ:A→B(X)是環(huán)同態(tài)，映射φ:A→B(X)是反環(huán)同態(tài).若對于任意的a∈A都滿足φ(a)+φ(a)=a，那么反環(huán)同態(tài)映射φ=0.

證明：設(shè)e*∈Kp,f*∈LP，可取e1,e2∈K0，f1，f2∈L0,e1+f2∈M0,e2+f2∈M0，且e*(f1)=1，e*(f2)=0.因此e*?f1-f*?e1=φ(e*?f1-f*?e1)+φ(e*?f1-f*?e1).利用同態(tài)性和反同態(tài)性容易驗(yàn)證φ(e*?f1-f*?e1)和φ(e*?f1-f*?e1)均為冪等元.由引理6知φ(e*?f1-f*?e1)=0或φ(e*?f1-f*?e1)=0.現(xiàn)假設(shè)φ(e*?f1-f*?e1)≠0,故有φ(e*?f1-f*?e1)=0和φ(e*?f1-f*?e2)=e*?f1-f*?e1.而

φ(e*?f2-f*?e2)=φ((e*?f2-f*?e2)·(e*?f1-f*?e1))

=φ(e*?f2-f*?e2)·φ(e*?f1-f*?e1)=0

從而有e*?f2-f*?e2=φ(e*?f2-f*?e2)=0,而這是不可能的.因此,原假設(shè)φ(e*?f1-f*?e1)≠0錯誤，即φ(e*?f1-f*?e1)=0.

對于任意秩二算子u*?v-v*?i∈AlgD,均有

u*?v-v*?u=(e*?v-f*?u)·(e*?f1-f*?e1)·(u*?f1-v*?e1)，

所以

φ(u*?v-v*?u)=φ((e*?v-f*?u)·(e*?f1-f*?e1)·(u*?f1-v*?e1))=0

由于u*?v-v*?u的任意性，因此φ=0.

引理8 設(shè)δK0表示Jordan導(dǎo)子δ在K0上的全體有限秩算子代數(shù)F(K0)上的限制，那么δK0是導(dǎo)子.

φ2(u*?v-v*?u)=φ2((e*?v-f*?u)·(e*?f1-f*?e1)·(u*?f1-v*?e1))

=0

因此φ2=0，δK0=φ2是導(dǎo)子.

引理9 設(shè)A是AlgD的標(biāo)準(zhǔn)子代數(shù)，δ是φ:A→B(X)上的Jordan導(dǎo)子，?a,b∈A，都有:δ(ab+ba)=aδ(b)+δ(a)b+bδ(a)+δ(b)a.

證明:由于δ是Jordan導(dǎo)子,

δ((a+b)2)=δ(a2+b2+ab+ba)=aδ(a)+δ(a)a+bδ(a)+δ(b)b+δ(ab+ba)

且有

δ((a+b)2)=(a+b)δ(a+b)+δ(a+b)(a+b)=aδ(a)+aδ(b)+bδ(a)+bδ(b)

+δ(a)a+δ(a)b+δ(b)a+δ(b)b,

將以上兩式聯(lián)立得

δ(ab+ba)=aδ(b)+δ(a)b+bδ(a)+δ(b)a.

定理1 設(shè)A是AlgD的標(biāo)準(zhǔn)子代數(shù)，δ是A→B(X)Jordan導(dǎo)子,那么δ是導(dǎo)子.

證明：類似引理3，首先取秩二算子P=e*?f-f*?e,其中e∈L0,f∈M0,e+f∈K0,e*∈LP,f*∈MP,e*+f*∈KP,且e*(f)=-f*(e)=1.?x∈K0,存在唯一分解x=x1+x2,x1∈L0,x2∈M0.構(gòu)造映射TK0:K0→X,對?x∈K0，有TK0(x)=δK0(e*?x2-f*?x1)(e+f)，δK0如引理8定義.?b∈A，有bx=bx1+bx2∈K0，則

TK0(bx)=δK02(b·(e*?x2-f*?x1))(e+f)

=δK0(b)(e*?x2-f*?x1)(e+f)+bδK0(e*?x2-f*?x1)(e+f)

=δK0(b)x+bTK0(x)

移項(xiàng)得δK0(b)x=TK0(bx)-bTK0(x)=(TK0b-bTK0)x.?a∈A,有

δ(ab+ba)x=δK0(ab)x+δK0(ba)x=((TK0ab-abTK0))x+(TK0ba-baTK0)x

=((TK0a-aTK0)b+a(TK0b-bTK0))x+((TK0b-bTK0)a+b(TK0a-aTKa))x

=(TK0a-aTK0)bx+aδ(b)x+δ(b)ax+b(TK0a-aTK0)x.

又由引理9,δ(ab+ba)x=aδ(b)x+δ(a)bx+bδ(a)x+δ(b)ax.取x=e+f∈K0,聯(lián)立以上兩個等式得(TK0a-aTK0-δ(a))b(e+f)=-b(TK0a-aTK0-δ(a))(e+f),進(jìn)一步取b=e*?f-f*?e,代入得(TK0a-aTK0-δ(a))(e*?f-f*?e)(e+f)=-(e*?f-f*?e)(TK0a-aTK0-δ(a))(e+f)存在與(e+f)無關(guān)的常數(shù)λ,使得(TK0a-aTK0-δ(a))(e+f)=λ(e+f),代入上式即得λ(e+f)=-λ(e+f),從而λ=0,那么δ(a)(e+f)=(TK0a-aTK0)(e+f).取?a,b∈A,k∈K0,有δ(ab)k=(TK0ab-abTK0)k=(TK0a-aTK0)bk+a(TK0b-bTK0)k=δ(a)bk+aδ(b)k.同理?k∈K0,∈L0,都有δ(ab)l=δ(a)bl+aδ(b)l.由引理1和引理2知,K0+L0在X中是稠的,所以δ(ab)=δ(a)b+aδ(b),對?a,b∈A成立.

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Jordan Derivations on Strongly Double Triangle Subspace Lattice Algebras

JIN Yue-qiang

(College of Arts and Science, Nanjing Institute of Industry Technology, Nanjing 210023, China)

Let D be a strongly double triangle subspace lattice on a non-zero reflexive complex Banach space and A be a subalgebra which contains all finite rank operators in AlgD. By the properties of rank two operators,idempotent operators and homomorphisms of double triangle subspace,it is shown that every Jordan derivation of A is necessarily a derivation.

double triangle subspace lattice; Jordan dervations;rank two operaors; Homomorphisms

2015-09-11

江蘇省“青藍(lán)工程”優(yōu)秀青年骨干教師項(xiàng)目(2014);江蘇省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(BK20150420);江蘇省高等教育教改研究項(xiàng)目(2015JSJG497)資助.

金躍強(qiáng),男,安徽來安人,講師,碩士,研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)及其應(yīng)用.

10.14182/J.cnki.1001-2443.2016.05.003

O177.1

A

1001-2443(2016)05-0420-04