非連續策略對具有非線性發生率的SIRS模型的影響

趙李鮮, 欽 爽, 熊書琴, 周 文

(安徽師范大學 數學計算機科學學院,安徽 蕪湖 241003)

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非連續策略對具有非線性發生率的SIRS模型的影響

趙李鮮, 欽 爽, 熊書琴, 周 文

(安徽師范大學 數學計算機科學學院,安徽 蕪湖 241003)

該文提出了一個具有非連續治療策略和非線性發生率的SIRS模型.在合理的猜想之下,我們定義了模型的基本再生數R0,并利用微分包含的相關知識來研究該SIRS模型平衡點存在性問題.當R0>1時,通過構造相應的Lyapunov函數可證明模型滿足初始條件的每一個解都在有限時間內全局收斂于地方平衡點；當R0<1時,同樣研究了模型在有限時間內的全局收斂性.所得結果改進和拓展了文獻中的相應結果.

SIRS疾病模型；非連續治療策略；非線性發生率；有限時間內全局收斂

引 言

疾病的感染是導致人口變化的主要原因之一,為了減少疾病的傳播并控制死亡率,我們需要了解傳送機制的相關知識[1-10].在文獻[11]中, 作者引入了以下的SIR疾病模型

(1)

在該文中,作者討論了非連續治療策略對SIR模型的影響.

受到文[11]的啟發,在這里我們構造了一個同時帶有非連續策略和非線性發生率的SIRS模型

(2)

S(0)=S0≥0，I(0)=I0≥0，R(0)=R0≥0

(3)

備注1:不失一般性,我們假設函數φ在0處連續,否則,我們將φ在0處的值定義為φ(0+), 這對模型(2)沒有任何影響.

由于模型(2)的右端存在不連續函數，故經典的常微分方程理論不能處理，此處我們將在Filippov解的

意義下討論[12].

設(S(t),I(t),R(t)),t∈[0,T),T∈[0,+∞)是模型(2)的一個Filippov定義下的解,且該解在[0,T)的任一個子區間[t1,t2]上都是一致連續的.那么(S(t),I(t),R(t))滿足下面的微分包含：

(4)

(5)

1 平衡點

為了得到模型(2)的平衡點,首先來定義模型(2)的一個常數解(S(t),I(t),R(t))=(S*,I*,R*),t∈[0,+∞).顯然,要使(S*,I*,R*)為模型(2)的一個平衡點當且僅當其滿足下式

(6)

(7)

當假設(H1)成立時,為了得到模型(2)的平衡點,我們來考慮下面的微分包含

(8)

(9)

分析可得微分包含

=[φ(I-),φ(I+)].

(10)

引理1.1 當R0>1時,微分包含(10)存在唯一的正解,滿足

(11)

由φ的非單減性,可知

將(11)式中的兩個方程相減得

得出矛盾,由上可知(10)式存在唯一的正解,故引理得證.

定理1.1 當基本再生數R0>1時,模型(2)存在唯一的地方病平衡點E*(S*,I*,R*)滿足(9)式,其中I*是由引理1.1確定的唯一正解.

2 有限時間內的全局收斂

在這一節,我們通過構造相應的Lyapunov函數來證明模型(2)在有限時間內全局收斂于平衡點.下面我們先來證明模型的解在有限時間內全局收斂于地方病平衡點,為了證明這個問題,我們給出下面的假設:

由(H2)我們可定義θ:=min{φ(I*+)-η*,η*-φ(I*-)}>0.

(S(t),I(t),R(t))=(S*,I*,R*)，其中

證明:令x(t)=S(t)-S*,y(t)=I(t)-I*,z(t)=R(t)-R*,則(4)式轉化為

(12)

(13)

構造下面的Lyapunov函數

(14)

其中β是一個待定正常數.易證V1(x,y,z)在(x,y,z)處為一個正則函數,此外,V1(x,y,z)>0當(x,y,z)≠0時,而V1(0,0,0)=0,V1(x,y,z)→+∞.當x→+∞或y→+∞或z→+∞時.于是

由文[11]知，對a.a.t≥0

根據上式我們選取充分小的β>0使得4μ1-βλ2>0即可.由假設(H2)知,當x(t),y(t),z(t)≠(0,0,0)時,(η(t)-η*)2≥θ2,因此,對幾乎所有的t∈{t:x(t),y(t),z(t))≠(0,0,0)}有

上式兩邊從0到t積分得

為了證明此模型在E0處的全局收斂性,需要引入下面的假設：

(H3):h:R+→R+是一個非單減函數,且在每個緊致空間至多有有限個間斷點,此外,h(0)=0但h(I)在I=0處不連續.

(15)

(16)

引入Lyapunov函數

(17)

對(17)式求導并利用條件R0<1得到:

上式兩邊從0到t求積分可得

注：當δ=α=0時,就得到了文獻[11]中所討論的模型,而在這里通過構造新的Lyapunov函數證明了[11]中所討論的問題,于是此文對[11]進行了推廣.

例子：

(18)

是滿足假設(H3)的一個典型方程,其中r為一個常數,此處的h(I)函數就是不連續的.當模型(2)中的非連續函數h(I)為(18)式所示時,我們可以得到定理2.2的結果.

3 總結

本文構造了一個具有非連續治療策略的SIRS疾病模型(2),在基本再生數R0>1的條件下,選取一個不同于[11]中的Lyapunov函數證明了此模型在初始條件下的每個解都在有限時間內全局收斂于E*;而當基于再生數R0<1時,在假設(H3)下,我們證明了模型在有限時間內全局收斂于E0.

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Impact of Discontinuous Treatments on Disease Dynamics in a SIRS Epidemic Model With a Nonlinear Incidence Rate

ZHAO Li-xian, QIN Shuang, XIONG Shu-qin, ZHOU Wen

(School of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241003, China)

A SIRS epidemic model with discontinuous treatment and nonlinear incidence rate is proposed in this paper. Under some reasonable suggestion, we get the basic reproduction number of this model. Moreover, it has proved the existence of equilibrium by using the knowledge of differential inclusion. If R0>1， we build a corresponding Lyapunov function and achieve the convergence to the endemic equilibrium in finite time; If R0<1, we also prove the convergence to the disease free equilibrium in finite time. The results of

are improved and extended.

SIRS model; discontinuous treatment; nonlinear incidence; convergence in finite time

2015-03-15

國家自然科學基金資助項目(11302002).

趙李鮮(1992-),女,陜西商洛人,在讀碩士,研究方向：微分方程理論及應用.

10.14182/J.cnki.1001-2443.2016.05.004

O175.1,Q141

A

1001-2443(2016)05-0424-06