需求與提前期不確定下的生產—銷售協調

葉濤鋒，達慶利，徐宣國

(1.江蘇科技大學經濟管理學院，江蘇 鎮江 212003；2.東南大學經濟管理學院，江蘇 南京 211189；3.山東農業大學經濟管理學院，山東 泰安 271018)

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需求與提前期不確定下的生產—銷售協調

葉濤鋒1，達慶利2，徐宣國3

(1.江蘇科技大學經濟管理學院，江蘇 鎮江 212003；2.東南大學經濟管理學院，江蘇 南京 211189；3.山東農業大學經濟管理學院，山東 泰安 271018)

考慮一個按訂單生產企業，其需求同時取決于價格和提前期。在企業內部，銷售部門進行定價決策，生產部門則進行訂貨和提前期的決策。文中將生產及銷售部門之間的相互作用表示成一個Nash博弈模型，并證明了純策略均衡的存在性和唯一性。此外，提出了一個能夠協調生產和銷售部門決策的機制。最后，通過數值分析討論了各參數對部門均衡決策的影響以及企業不需要運用協調機制的條件。

提前期；不確定需求；生產—銷售協調

1 引言

對于很多提供季節性的定制化產品，或生命周期相對短于補貨提前期的定制化產品的企業，價格和提前期可能是最重要的兩個決策。本文考慮一個企業在售季開始前從供應商處采購半成品，在售季中以面向訂單生產的方式產出成品，以滿足依賴于價格和提前期的需求。對于規模較大的企業，一般來講，其定價決策往往是由銷售部門做出，而運作方面的決策(如訂貨和提前期)則由生產部門做出。在這種分散情形下，兩個部門在決策過程中都是以各自的績效作為優化標準。不難想象，如果缺乏比較好的協調機制，這種以部門績效最優化為目標的決策必然是次優的，即不能最大化企業的績效目標。本文的目標是研究能夠使得分散情形下生產及銷售部門的目標與企業目標相一致的協調機制。

在現有文獻中，關于定價和提前期聯合決策的研究成果已比較豐富[1-6]。Wu Zhengping等[7]中提出了能夠同時優化半成品訂貨量，成品售價及提前期的模型，并分析了各決策變量的最優解。這些文獻中考慮的均是集中情形，而本文討論的則是分散情形下的決策。此外，企業內部生產與銷售部門之間的相互作用同樣得到了學術界的廣泛關注和研究，Tang[8]對該方向上的研究進行了綜述。在這些文獻中，銷售部門的決策目標是定價，而生產部門的決策目標則可能是訂貨[9-14]，質量水平的選擇[15]，或是提前期的選擇[16]。本文和這些已有文獻之間的區別在于，本文中生產部門需要同時確定訂貨量和提前期。

下文中首先對建模過程中用到的定義與假設條件進行說明，在此基礎上，分別建立集中和分散情形下的決策模型，給出相應的最優解和均衡解。基于集中和分散情形下決策結果的不同，提出了能夠協調兩個部門決策的機制。最后通過數值分析討論了各參數值對最優決策以及均衡決策的影響。

2 基本模型

考慮一個企業在售季開始前從供應商處采購半成品，在售季中以面向訂單生產的方式產出成品，以滿足依賴于價格和提前期的需求。在進行訂貨之前，企業必須確定半成品的訂貨量q，成品的銷售價格p，以及告知顧客的提前期l。在不同的控制體系中，這些決策的制訂者是不一樣的。在集中情形下，通常假設企業中有一個決策者同時做出這些決策。與之相反的是，在分散情形下，定價決策常由銷售部門決定，而訂貨和提前期決策由生產部門決定。

在售季開始前，企業收到q個單位的半成品。假設企業在售季中面臨加式的總需求，其可以表示為：

d=λ(p,l)+ξ

(1)

其中λ(p,l)是期望需求，其依賴于銷售價格及提前期。本文中進一步假設期望需求是p和l的線性函數，即：

λ(p,l)=α-βp-θl

(2)

α>0是當價格和提前期均為0時能夠達到的最大需求量，β>0是需求的價格彈性， θ>0是需求的提前期彈性。下文中，α也被稱為潛在需求。由式(2)可知，價格和提前期的上界分別為α/β和α/θ。需要說明的是，式(2)中所示的線性需求在現有研究中得到了廣泛應用[1,4,14-15]，關于該線性函數的具體討論可參考Palaka等[1]。

此外，假設需求模型中的噪聲項ξ是均值為0，支集為[A,B]，A<0，B>0的隨機變量。令F(x)，f(x)，和r(x)分別表示ξ的累積分布函數，概率密度函數和損失函數。為便于分析，假設ξ的分布滿足條件2(r(x))2+r′(x)>0。這一條件要弱于損失率遞增的假設，同時很多常用的分布均滿足這一條件。另外，要使得最終的結果有意義，定價和提前期決策還需滿足條件λ(p,l)≥-A。這一條件在后續分析過程中較為關鍵，同時在相關文獻中均有要求。當期望需求僅依賴于價格時，Li Qing[14]和Petruzzi等[17]中要求潛在需求與需求模型中噪聲項下界之和非負。而當需求同時依賴于價格和提前期時，Wu Zhengping等[7]中雖然忽略了這一假設條件，但可以看出該條件是不可或缺的。

企業的短期成本結構包括三類：直接變動成本，與庫存相關的成本，以及與提前期相關的成本。直接變動成本包含所有與訂貨量成比例變動的成本。為便于分析，文中僅考慮單位采購成本c。與庫存相關的成本是由供需之間的不匹配引起。當售季中的需求小于訂貨量，則剩余庫存只能在售季末以單位成本h進行處理。當h的值為負時，其表示的是單位殘值。而且，當h<0時，必須有h+c>0，即多余訂貨的成本是負的。當售季中發生缺貨時，企業會發生單位缺貨懲罰成本s。給定訂貨量q，與庫存相關的期望成本可以表示為：

C(q)=hE(q-d)++sE(d-q)+,

令z=q-λ(p,l), 可以將與庫存相關的成本表示成z的函數，即：

C(z)=hE(z-ξ)++sE(ξ-z)+=hΛ(z)+sΩ(z)

(3)

與提前期相關的成本主要是由實際提前期的隨機性引起。當實際提前期長于告知顧客的提前期時，會發生延期交貨，企業會發生相應的延期懲罰成本，文中用sl表示單位時間的延期懲罰成本。另一方面，當實際提前期較短時，企業可能會發生庫存成本，文中用hl表示單位時間的庫存成本。當顧客愿意接受企業提前交付時，有hl=0。售季中單位銷售引起的與提前期相關的期望成本可表示為：

(4)

其中gλ(t)是提前期的概率密度函數，此處下標λ用以表示提前期t的概率分布依賴于需求過程。相應地，提前期的累積分布函數用Gλ(t)表示。

在不知道gλ(t)和Gλ(t)的具體表達式時，是難以得到任何解析結論的。為避免出現這一情況，文中引入一個乘式的提前期模型。具體地講，是將隨機提前期t表示成期望需求和一個獨立于需求過程的隨機變量之積，即：

t=λζ

(5)

下文中分別討論集中和分散情形下的決策。為避免出現混淆，將使用不同的上標來對控制體系加以區分。當所有決策是由一個單一的決策者做出時，使用上標I。在分散情形下，生產和銷售部門之間的相互作用被表示成一個Nash博弈模型，文中用上標D加以區分。下標p和m則用以表示分散情形下生產及銷售部門的期望利潤函數。

3 集中情形下的決策

在集中情形下，能夠最大化企業期望利潤的最優訂貨量、最優銷售價格以及最優提前期由單個決策者決定。需要說明的是集中情形下的優化模型在文獻[7]中已進行了研究。本節和文獻[7]之間的區別在于考慮了提前期的上界α/θ，其由期望需求模型(2)得到。為了保證最優的l值不會導致0期望需求，本文中需要給單位缺貨成本s賦予一個上界(見命題1)。

下文中，為便于分析，將把初始決策變量，q和p，分別轉換成z和λ，其中z的定義見上一節中，后一個變化是根據式(2)得到。由式(2)，可以將p表示成λ和l的函數，即：

(6)

根據上述的企業成本結構，其期望利潤可以表示成：

(7)

其中：

(8)

項Ψ(λ,l)表示當總需求模型中的噪聲項被其均值替代時的企業利潤函數；L(z,λ,l)是損失函數，其用以測度當選擇的z值太大時，期望剩余庫存Λ(z)導致的過量成本，以及當選擇的z值太小時，期望缺貨Ω(z)導致的懲罰成本。

命題1中給出了集中情形下的最優解。如上所說，本節中的問題在文獻[7]中已經進行了分析，因此命題1中大部分結論的證明都略去。

(9)

在區間[A,B]上唯一的根。λ，l以及p的最優解由下述表達式分別定義：

λI=λ0+Ω(zI)/2

(10)

lI=δλI

(11)

pI=p0-(1+θδ)Ω(zI)/2β

(12)

其中λ0=(α-βc)/(2(1+θδ+βφ))，p0=(α-(1+θδ)λ0)/β

(13)

由式(13)和(10)，l的最優值滿足：

證畢

在命題1中，s的下界條件是為了保證最優解的唯一性，而其上界條件則是用以保證最優提前期不會導致0需求。需要注意的是上界條件充分但不必要。

4 分散情形下的決策

本節將考慮分散情形下的決策問題。給定生產和銷售部門具有相等的資源，文中將兩個部門之間的相互作用表示成一個Nash博弈模型。在博弈中，生產和銷售部門同時進行決策。和文獻[14]中相似，本文中假設企業會設定一個固定的轉移價格w使得生產與銷售部門都為利潤中心。從這兩個部門的角度來看，w是外部給定的。

對于給定的z和l，銷售部門的目標是選擇一個λ值以最大化其自身的期望利潤，即：

(14)

另一方面，對于給定的λ值，生產部門的目標是確定z和l的值以最大化自身的期望利潤，即：

顯然，生產部門必然會選擇使得C(λ,l)不大于w的l值.

(15)

根據式(15)，與提前期相關的成本可寫成：

(16)

(17)

根據式(14)，(15)和 (17)，可得如下命題。

命題 2 Nash博弈存在至少一個均衡。如果不等式：

成立，則均衡是唯一的。z的唯一均衡值，zD，為下述方程唯一的根:

(18)

其它均衡決策分別由下述表達式給出：

(19)

(20)

(21)

證明 由于博弈中兩個參與者的最優反應函數均為其各自策略變量的凹函數，均衡的存在性得證。為證明均衡的唯一性，由式(14)，(15)和(17) 可以看出z的均衡值必須滿足式(18)。由于λD是由zD唯一決定，lD是由λD唯一決定，pD是由λD和lD唯一決定，如果只有一個z值滿足式(18)，則均衡即是唯一的。

令：

R(z)對z的一階和二階導數分別為：

如果R′(z)≠0，則R(z)是z的單調函數，且只存在一個使得等式R(z)=0存在的z值。如果R′(z)=0，則有：

此處不等式是由假設條件r′(z)+2(r(z))2>0得到。由上述不等式可知，方程R(z)=0至多存在兩個根。此外，R(z)的終值分別為：

R(B)=-(h+c)<0。

此外，由式(21)可以看出pD小于其上界α/β。下面需表明lD≤α/θ。首先，zD作為方程R(z)=0的根，由式(18)可得：

根據式(19)，λD必須滿足

由式(20)，有

lD≤w+s-c.

顯然，當不等式s≤α/θ+c-w成立時，有lD≤α/θ。證畢。

另外，式 (19)-(21) 可分別重寫為：

(22)

(23)

(24)

(25)

5 協調機制

在得到分散情形下的均衡決策之后，接下去需要考慮的問題就是如何設計能夠協調生產與銷售部門決策的機制，以使得分散情形下企業的期望利潤等同于集中情形中的期望利潤。下述命題表明存在這樣的協調機制。

命題 3 企業可以通過下述機制來協調生產與銷售部門的決策：對于每個銷售出的產品，銷售部門支付給生產部門：

這里γ是滿足γ∈[0,1]的任意數值。

證明. 首先將C(λ,l)重寫成：

C(λ,l)對λ的偏微分為：

在協調機制下，銷售部門的期望利潤變成：

由于：

可知最優的λ值，即λ*(z,l), 可由下述方程得到：

(26)

另外，協調機制下生產部門的期望利潤可表示成：

l*(λ)=λδ

(27)

(28)

在協調機制下，每銷售出一個產品，銷售部門需要分享一部分收益(即(1-γ)(α-λ-θl)/β)給生產部門。同時，銷售部門還需承擔部分成本。這里的成本包括三個方面：單位銷售產生的與提前期相關的期望成本，單位采購成本，以及單位銷售產生的與庫存相關的期望成本。w(z,λ,l)中后兩項之后可以改寫為：

這里cλ是期望總采購成本， C(z)是訂貨量為z+λ時與庫存相關的成本，(λ-Ω(z))是期望銷售量。由于C(λ,l)與單位銷售有關，因此單位銷售引起的總成本可以表示成C(λ,l)+c+((h+c)Λ(z)+sΩ(z))/(λ-Ω(z))。

另外，當企業采用協調機制時，銷售及生產部門的期望利潤函數分別為：

也就是說，協調機制實際上是利潤分享合約。

6 數值分析

盡管文中提出的協調機制看起來不是很復雜，但由于線性轉移定價在實際中便于施行，其仍然受到企業的廣泛關注并在企業中得到普遍應用。本節將根據數值分析的結果探討企業在什么條件可以不需要協調生產與銷售部門之間的決策，而只需采用線性的轉移定價策略。限于篇幅，此處僅考慮了參數β的影響，對于其它參數的影響可由相似的方法得到。本節中將企業在集中情形下的績效作為評價標準，并將分散情形下決策的無效率定義為DI=(1-ΠD/ΠI)。顯然，DI的值越小，說明分散情形下的績效越接近于集中情形下的績效。假設ξ是[-1,1]上的均勻分布，其分布函數為：

此外，假設ζ是支集為[0,ρ]的冪函數分布隨機變量，其分布函數和密度函數分別為Φ(t)=(t/ρ)ω和φ(t)=ωtω-1/ρω。在數值算例中，令ρ=10，ω=2。

圖1中表示的是β對DI值的影響。由圖可以看出，DI是β的凸函數。更重要的是，當β的值處于中等水平，即β∈(2,3]，無論潛在需求的大小，DI的值總是小于0.1。也就是說，當β的值處于中等水平時，分散情形下僅采用線性轉移定價的績效非常接近于集中情形下的績效，此時企業不需要采取任何機制來協調生產與銷售部門的決策。此外，圖1中表明當β的值較大時，即β≥3.5時，DI的值會隨β的增大而快速上升。當β=4，對于任意水平的潛在需求，DI值均大于0.6。

當β的值相對較大，即β=4，為檢驗是否存在DI值較小的情形，文中對下述參數組合下的DI值進行了計算：α(w)={500(120), 900(210), 1300(310)}, 這里α(w)=500(120) 表示在分散情形下，當α=500，企業選擇的轉移定價為w=120，θ={1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 5.5}，s={7, 7.5, 8, 8.5, 9, 9.5, 10, 10.5, 11, 11.5}，h={3, 3.5, 4, 4.5, 5, 5.5, 6, 6.5, 7, 7.5}，sl={2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 5.5, 6, 6.5}，以及hl={3.5, 4, 4.5, 5, 5.5, 6, 6.5}。計算結果表明當α(w)=900(210)，θ=1，h=6，s=10，sl=hl=6時，DI有最小值0.169。而在大多數情況下，DI的值都大于0.6。由此可以推測，只有當β值處于中等水平時，企業才有可能不需要采用協調機制。

圖1 不同β值時的DI

7 結語

本文考慮一個企業在售季開始前從供應商處采購半成品，在售季中以面向訂單生產的方式產出成品，以滿足依賴于價格和提前期的需求。在該企業中，由銷售部門進行定價決策，由生產部門進行訂貨及提前期方面的決策。文中證明了在分散情形下，生產與銷售部門相互作用過程中均衡決策的存在性與唯一性，并提出了能夠協調這兩個部門決策的機制。此外，文中通過數值算例探討了企業不需要采用協調機制的情形。數值分析的結果表明，只有當需求對價格的敏感性處于中等水平時，企業才有可能不需要采用任何機制來協調生產與銷售部門的決策。

本文中假設企業內的生產與銷售部門具有相同的資源，將他們之間的相互作用表示成一個Nash博弈模型。在現實中，這兩個部門之間可能具有不對稱的資源。由此，將兩個部門之間的相互作用表示成生產Stackelberg博弈或銷售Stackelberg博弈可能更加貼近實際，這可以作為下一步研究的方向。需要說明的是，此時的分析會變得較為復雜，甚至難以得到解析結論。此外，本文在進行數值分析時，對ξ和ζ的分布作了具體的假設，因此數值分析的結論只能適用于特定的條件，下一步的研究可以探討這些結論是否具有更廣泛的適用性。

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Production-Marketing Coordination under Demand and Leadtime Uncertainty

YE Tao-feng1,DA Qing-li2，XU Xuan-guo3

(1.School of Economics & Management, Jiangsu University of Science and Technology, Zhenjiang 212003，China; 2.School of Economics & Management, Southeast University, Nanjing 211189,China; 3.School of Economics & Management, Shandong Agricultural University,Taian 271018,China)

A make-to-oder firm which satisfies the demand that is dependent on both price and quoted leadtime is considered in this paper. The firm operates in the decentralized framework in which pricing decision is delegated to the marketing department and replenishment and leadtime quotation decisions are delegated to the production department. The interactions between marketing and production are modelled as a Nash game and the existence and uniqueness of the equilibrium decisions are demonstrated. A mechanism that enables the firm to coordinate the decisions of the two departments is developed. Moreover, extensive numerical studies are conducted to illustrate how the optimal/equilibrium decisions vary with different parameters and the situations under which the firm does not need to apply the complicated coordination mechanism are identified.

leadtime; demand uncertainty; production-marketing coordination

2015-01-01；

2015-06-20

國家自然科學基金資助項目(71271106，71371088)

簡介：葉濤鋒(1978-)，男(漢族)，江蘇靖江人，江蘇科技大學經濟管理學院副教授，研究方向：運作管理，E-mail:ytf_jj@163.com.

1003-207(2016)10-0133-08

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.10.015

F406.2

A