基于Coons曲面的似大地水準(zhǔn)面精化算法研究

李 峰 張樹宏 王鴻飛 全 偉

1 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院, 鄭州市科學(xué)大道62號，450001 2 解放軍61243部隊，烏魯木齊，830006

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基于Coons曲面的似大地水準(zhǔn)面精化算法研究

李 峰1張樹宏2王鴻飛1全 偉1

1 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院, 鄭州市科學(xué)大道62號，450001 2 解放軍61243部隊，烏魯木齊，830006

針對線狀或帶狀GPS水準(zhǔn)點控制的似大地水準(zhǔn)面，提出Coons曲面內(nèi)插模型。先將GPS水準(zhǔn)點擬合成曲線，再通過曲線構(gòu)造曲面，盡可能減少傳統(tǒng)擬合算法由點直接推面的精度消耗。分別運用最小二乘法、最小二乘配置法、移動內(nèi)插法和Coons曲面法對線狀GPS水準(zhǔn)點控制的似大地水準(zhǔn)面進行擬合，結(jié)果表明，基于Coons曲面的內(nèi)插模型算法精度最高。

線狀；GPS水準(zhǔn)；似大地水準(zhǔn)面；Coons曲面

傳統(tǒng)的擬合方法如最小二乘法、最小二乘配置法、移動插值法大多假設(shè)理想的實驗環(huán)境——分布均勻的GPS水準(zhǔn)點擬合似大地水準(zhǔn)面[1-2]。最小二乘法對整個區(qū)域的似大地水準(zhǔn)面進行擬合，擬合的是趨勢面；最小二乘配置法的關(guān)鍵在于信號間的協(xié)方差確定，但嚴(yán)格意義上講，協(xié)方差陣通過實驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計得來，因此最小二乘配置法得到高精度結(jié)果的制約條件是在有限數(shù)據(jù)里確定較為準(zhǔn)確的協(xié)方差陣[3-5]；移動插值法改進了最小二乘法擬合整個區(qū)域水準(zhǔn)面的劣勢，讓擬合區(qū)域隨待插值點的改變而移動，因此在相對較小的擬合區(qū)域里似大地水準(zhǔn)面波動相對較小，同時移動插值法強化離待插值點近的點的作用，弱化遠距離點的作用，是一種具有較高精度且非常穩(wěn)定的方法[6]，但其擬合半徑和定權(quán)函數(shù)也需要大量的實驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計得到。在地理環(huán)境因素對測量工作影響較大的區(qū)域，只能得到分布為線狀或者帶狀的GPS水準(zhǔn)點，以上各種擬合算法的精度難以保證。本文根據(jù)GPS水準(zhǔn)點呈現(xiàn)的狀況，提出利用Coons曲面內(nèi)插模型，在格網(wǎng)化后的格網(wǎng)單元內(nèi)根據(jù)格網(wǎng)單元與相鄰單元的空間強關(guān)聯(lián)性，先把格網(wǎng)邊界上線狀GPS水準(zhǔn)點擬合成曲線，然后以曲線邊界構(gòu)建高程異常曲面模型[7]，待求點的高程異常通過內(nèi)插得到。相對于由點推面的方法，該方法精度得到進一步提高。最后，根據(jù)特殊的地理地貌進行GPS水準(zhǔn)點數(shù)據(jù)采集，然后分別運用最小二乘法、最小二乘配置法、移動插值法和Coons曲面內(nèi)插模型對該數(shù)據(jù)進行處理，結(jié)果證實，Coons曲面內(nèi)插模型精度高于其他各種算法。

1 Coons曲面模型

如圖1，設(shè)有4條邊界曲線fx1、fx2、fy1、fy2，其中曲線fx1、fx2和曲線fy1、fy2在水平面上的投影分別與x軸和y軸平行。為了構(gòu)造一個連續(xù)的封閉曲面使其通過上述所有曲線，需要考慮插值算子，則沿著x軸方向的插值為：

(1)

同理，沿著y軸方向的插值為：

(2)

圖1 基于3點的Coons曲面模型Fig.1 Coons surface model in is based on three points

曲線由拉格朗日多項式[8]求得：

(3)

插值算子Px、Py的布爾和為(Px⊕Py)f(x,y)=Pxf(x,y)+Pyf(x,y)-PxPyf(x,y)，其中PxPyf(x,y)為Pxf(x,y)、Pyf(x,y)的張量積[9]。

插值算子Px、Py的張量積和布爾和分別為：

Pyf(x,y)-PxPyf(x,y)=

由布爾和求得的點構(gòu)成了Coons曲面。Coons曲面可以基于不同的邊界曲線，本文根據(jù)具體的實驗數(shù)據(jù)主要研究兩種邊界曲線構(gòu)成的Coons曲面內(nèi)插模型[10]。

1.1 基于3點的Coons曲面

假設(shè)曲線fx1、fx2分別過投影點E、A、B和C、D、U，曲線fy1、fy2是分別過投影點E、U和B、C的兩條直線。點E、A、B、C、D、U對應(yīng)的高程異常值分別為HE、HA、HB、HC、HD、HU，可知fx1(0)=HA，fx1(-d1)=HE，fx1(d1)=HB，fx2(0)=HD，fx2(-d2)=HU，fx2(d2)=HC。

曲線fx1可以由拉格朗日多項式求得：

(6)

同理可得fx2、fy1、fy2方程。根據(jù)布爾和可求得Coons曲面上任意一點P的高程異常值：

(7)

1.2 基于加權(quán)拋物線的Coons曲面

基于3點的Coons曲面的邊界曲線大多為拉格朗日多項式擬合的拋物線，而基于加權(quán)拋物線的Coons曲面(圖2)采用基于4點的Coons曲面的邊界曲線，其中相鄰3點組成拋物曲線，然后采用兩者的平均加權(quán)拋物線作為邊界曲線：

(8)

同理可以得到fx2、fy1、fy2的方程，然后利用邊界為加權(quán)拋物線曲線，構(gòu)造Coons高程異常曲面模型。

圖2 加權(quán)拋物線曲線Fig.2 Weighted parabolic curve

2 實驗分析

本實驗區(qū)域位于我國西部某省的部分地區(qū)。該區(qū)域地勢較為平坦，大部分為沙漠和戈壁灘，總面積約為594 km2，其高程異常值最大相差7.759 m。GPS水準(zhǔn)數(shù)據(jù)通過GPS靜態(tài)測量和EDM三等水準(zhǔn)測量獲取。測量沿3條線路進行，由于中間線路測量條件限制，只得到GPS數(shù)據(jù)和個別點的EDM高程數(shù)據(jù)；測區(qū)兩側(cè)的GPS數(shù)據(jù)和水準(zhǔn)數(shù)據(jù)可以較為理想地獲得。為得到中間線路未測點的EDM數(shù)據(jù)，分別通過成熟的擬合算法和Coons曲面進行內(nèi)插或外推。為了檢核這些算法的可靠性，在中間線路選取12個點作為檢核點，測區(qū)內(nèi)其余35個點作為擬合點，見圖3。

圖3 GPS水準(zhǔn)點點位分布圖Fig.3 GPS leveling points distribution

表1 檢核點結(jié)果比較

從表 1可以看出，Coons-2精度最高，Coons-1精度次之，移動插值法和最小二乘配置法精度依次遞減，最小二乘法精度最差。

通過以上實驗說明，最小二乘法擬合的是整個擬合區(qū)域的趨勢面，而最小二乘配置法考慮到了隨機變量中的趨勢性因素，擬合精度得到進一步提高；移動插值法把最小二乘整體擬合改為分區(qū)域擬合，同時強化離待插值點近的點的作用，弱化遠距離點的作用，因此也具有較高的精度；基于3點的Coons曲面和基于加權(quán)拋物線的Coons曲面法在數(shù)據(jù)格網(wǎng)化后先把GPS水準(zhǔn)點擬合成線，再由線構(gòu)造面，減少了傳統(tǒng)擬合方法由點推面的精度損耗。

3 結(jié) 語

在山區(qū)和丘陵地區(qū)，由于似大地水準(zhǔn)面變化與地球內(nèi)部質(zhì)量分布密切相關(guān)，特別是短波項的影響更為復(fù)雜，為獲取高精度似大地水準(zhǔn)面，重力測量不可避免，但在地勢較為平坦的地區(qū)，基于GPS水準(zhǔn)高程擬合算法則是區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化的重要方法。本文研究了基于Coons曲面的線狀或帶狀區(qū)域似大地水準(zhǔn)面擬合算法，結(jié)合實驗進一步說明了Coons曲面內(nèi)插模型在地勢起伏平緩的區(qū)域?qū)λ拼蟮厮疁?zhǔn)面精化具有一定的補充和參考價值。

[1] 呂志平,張建軍,喬書波.大地測量學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：解放軍出版社,2004(Lü Zhiping, Zhang Jianjun, Qiao Shubo.Geodesy Foundation[M]. Beijing: PLA Press 2004)

[2] 李征航,張小紅.衛(wèi)星導(dǎo)航定位新技術(shù)及其高精度數(shù)據(jù)處理方法[M].武漢:武漢大學(xué)出版社，2009(Li Zhenghang, Zhang Xiaohong. Satellite Navigation and Positioning New Technology and High-Precision Data Processing Method[M]. Wuhan: Wuhan University Press，2009)

[3] 郭春喜,聶建亮,王斌.區(qū)域似大地水準(zhǔn)面擬合方法及實用性分析[J].大地測量與地球動力學(xué),2013,33(1):103-106(Guo Chunxi, Nie Jianliang, Wang Bin. Regional Geoid Fitting and Practicability Analysis[J]. Journal of Geodesy and Geodynamics, 2013,33 (1): 103-106)

[4] 柴洪洲,崔岳,明峰.最小二乘配置方法確定中國大陸主要塊體運動模型[J].測繪學(xué)報,2009,38(1):61-65(Chai Hongzhou, Cui Yue, Ming Feng. Least Squares Method to Determine The Configuration of the Main Block Movement in Mainland China Model[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2009,38 (1): 61-65)

[5] 孫正明,高井祥,王堅,等.最小二乘配置法在GPS高程異常推估中的應(yīng)用[J].測繪科學(xué),2007,32(6):102-103(Sun Zhengming, Gao Jingxiang, Wang Jian, et al. Configuration Application Method of Least Squares in the GPS Abnormal Height Estimate[J]. Science of Surveying and Mapping, 2007,32 (6): 102-103)

[6] 劉長建.GPS水準(zhǔn)擬合優(yōu)化軟件研究及其應(yīng)用[D].鄭州:信息工程大學(xué),2002(Liu Changjian. GPS Leveling Fitting Optimization Software Research and Its Application[D]. Zhengzhou: Information Engineering University, 2002)

[7] 王耀革,朱長青,王志偉.基于Coons曲面的規(guī)則格網(wǎng)DEM表面模型[J].測繪學(xué)報,2008,37(2):217-212(Wang Yaoge, Zhu Changqing, Wang Zhiwei. Regular Grid DEM Surface Model Based on Coons Surface[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2008,37(2): 217-212)

[8] 朱長青.數(shù)值計算方法及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2005(Zhu Changqing. Numerical Method and Its Application[M]. Beijing: Science Press, 2005)

[9] 王文玉.網(wǎng)格超限插值形式的Coons曲面[D].長春:東北師范大學(xué),2006(Wang Wenyu. Grid Overrun Coons Surface Interpolation Form[D]. Changchun: Northeast Normal University, 2006)

[10]王耀革,高際宇,朱長青. 基于Coons曲面的格網(wǎng)DEM傳遞誤差[J].測繪科學(xué)技術(shù)學(xué)報,2007,24(5):361-363(Wang Yaoge, Gao Jiyu, Zhu Changqing. Based on Coons Surface Grid DEM Transfer Error[J]. Journal of Geomatics Science and Technology, 2007,24 (5): 361-363)Quasi-Geoid Refinement Algorithm Based on Coons Surface

About the first author:LI Feng, postgraduate,majors in GNSS data processing and quasi-geoid refinement, E-mail：1163467113@qq.com.

LIFeng1ZHANGShuhong2WANGHongfei1QUANWei1

1 School of Surveying and Mapping, Information Engineering University, 62 Kexue Road, Zhengzhou 450001, China 2 61243 Troops, Urumqi 830006, China

Aimed at solving the problem of quasi-geoid controlled by linear or strip of GPS-leveling points, Coons surface interpolation model is put forward. The first step is to synthesize GPS-leveling points fitting curve, and then the curve is used to construct the surface, as far as possible to reduce the traditional fitting method by point directly on the accuracy of consumption. Respectively, using the least squares method, least square collocation method, moving interpolation and Coons surface method to fit quasi-geoid controlled by linear or strip of GPS-leveling points, the result showed that the interpolation model based on Coons surface algorithm accuracy is the highest.

linear; GPS leveling; quasi-geoid; Coons surface

National High Technology Research and Development Program of China, No. 2013AA122502.

2016-01-09

項目來源：國家863計劃 (2013AA122502)。

李峰，碩士生，主要研究方向為GNSS數(shù)據(jù)處理與似大地水準(zhǔn)面精化，E-mail：1163467113@qq.com。

10.14075/j.jgg.2016.12.017

1671-5942(2016)012-1109-03

P228；P223

A