張 凱，宮金良，張彥斐

(山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博 255049)

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六維力反饋控制器的設(shè)計及參數(shù)優(yōu)化

張 凱，宮金良，張彥斐

(山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博 255049)

針對現(xiàn)有的可用作六維力反饋控制器的并聯(lián)機(jī)構(gòu)動態(tài)性能差，剛度差，承載能力差等問題，設(shè)計了一種新型三支鏈六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，建立了逆運(yùn)動學(xué)方程并得到位置反解的解析解。基于約束條件和位置反解，利用一種搜索速度快、搜索精度高的改良極坐標(biāo)搜索法繪制出了并聯(lián)機(jī)構(gòu)定姿態(tài)工作空間的截面圖和實(shí)體圖。最后以內(nèi)接于工作空間且高度H與直徑D相等的圓柱體的直徑為目標(biāo)，利用全局搜索法得到一組最優(yōu)機(jī)構(gòu)參數(shù)，在機(jī)構(gòu)整體尺寸基本不變情況下使工作空間的內(nèi)接圓柱體直徑增大40%，達(dá)到優(yōu)化機(jī)構(gòu)參數(shù)的目的。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)；工作空間；參數(shù)優(yōu)化

0 引言

六維力反饋控制器是為操作者提供力覺臨場感，并對被控對象進(jìn)行位姿控制的重要裝置。并聯(lián)機(jī)構(gòu)因其具有剛度高、承載能力大、速度高等優(yōu)點(diǎn)，很適合作為六維力反饋控制器的本體機(jī)構(gòu)[1-2]。Byun[3]提出了一種3-PPSP六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，周獎清與傅蔡安[4]提出了一種3-RRRS六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，這兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)將三個驅(qū)動電機(jī)設(shè)置在機(jī)架上，其余電機(jī)安裝在活動構(gòu)件上，動態(tài)性能較差。高征[5]提出的3-UrRS和虞啟凱[6]提出的3-UrSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)均采用球面5-R機(jī)構(gòu)作為復(fù)合驅(qū)動裝置，動態(tài)性能良好，但是存在較多奇異位形[7]。

本文提出六維力反饋控制器采用3-URS并聯(lián)機(jī)構(gòu)為核心，通過新型球面二自由并聯(lián)機(jī)構(gòu)為驅(qū)動，具有剛度大、工作空間大且無奇異點(diǎn)等優(yōu)點(diǎn)。建立了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動學(xué)方程并得到位置反解的解析解。基于約束條件和位置反解，利用一種搜索速度快、搜索精度高的改良極坐標(biāo)搜索法繪制出了并聯(lián)機(jī)構(gòu)定姿態(tài)工作空間的截面圖和實(shí)體圖。最后以內(nèi)接于工作空間且高度H與直徑D相等的圓柱體的直徑為目標(biāo)，利用全局搜索法得到一組最優(yōu)機(jī)構(gòu)參數(shù)，為通用力反饋控制器的設(shè)計奠定了理論基礎(chǔ)。

1 六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)特征描述

3-URS并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1所示，該機(jī)構(gòu)由靜平臺和動平臺通過三條完全相同且呈中心對稱分布的支鏈連接而成。每條支鏈由虎克鉸、轉(zhuǎn)動副、球面副及上連桿和下連桿串聯(lián)。虎克鉸為球面二自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，該球面二自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)由基座、軸a、軸b、下連桿組成。軸a和軸b的中軸線相互垂直且相交于點(diǎn)A。下連桿和軸b由轉(zhuǎn)動副連接，此轉(zhuǎn)動副的中軸線過點(diǎn)A。下連桿的圓柱形滑桿與軸a的矩形滑槽相配合。驅(qū)動電機(jī)均置于基座上，用于驅(qū)動軸a和軸b，角度由編碼器檢測。

圖1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖

2 機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動學(xué)

如圖2和圖3所示，Ai(i=1，23)為軸ai和軸bi的轉(zhuǎn)動軸交點(diǎn)，Bi為球鉸的中心點(diǎn)，A1、A2、

圖2 機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系示意圖

A3及B1、B2、B3圍成等邊三角形，O、O1分別為兩等邊三角形中心點(diǎn)。Pi為下連桿矩形桿的中心線MiPi和轉(zhuǎn)動副中心線的交點(diǎn)，l1為Ai、Pi兩點(diǎn)間距離，l2為Pi、Bi兩點(diǎn)間距離。直線AiMi為圓柱形滑桿中心線，過Bi點(diǎn)做BiHi⊥AiMi，交AiMi于Hi點(diǎn)。直線AiCi是連接下連桿與軸ai的轉(zhuǎn)動副的中心線。θ為直線AiPi和AiCi的夾角。

為便于計算，以O(shè)為原點(diǎn)建立靜坐標(biāo)系OXYZ，Z軸垂直于A1A2A3向上，

圖3 單支鏈標(biāo)注示意圖

Y軸指向A3，X軸由右手螺旋法則確定；同理在動平臺上建立動坐標(biāo)系O1UVW。設(shè)O1在坐標(biāo)系OXYZ中的坐標(biāo)OO1=(x，y，z)，此處采用Z-Y-Z型歐拉角表示O1UVW坐標(biāo)系的姿態(tài)[8]。設(shè)動坐標(biāo)系的歐拉角為α，β，γ，以Ai點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系A(chǔ)iXiYiZi，Zi軸垂直于A1A2A3向上，Xi軸指向O，Yi軸由右手螺旋法則確定，Xi軸、Yi軸分別為軸ai和軸bi的轉(zhuǎn)動軸。αi為軸ai繞Xi軸的轉(zhuǎn)角，βi為軸bi繞Yi軸的轉(zhuǎn)角，γi為向量PiAi和直線PiBi之間的夾角，其中(i=1，2，3)。

Bi點(diǎn)在坐標(biāo)系OXYZ中的坐標(biāo)可表示為：

OBi=Euler(α,β,γ)O1Bi+OO1

(1)

設(shè)三角形B1B2B3邊長為b，則點(diǎn)B1，B2，B3在動坐標(biāo)系O1VUW中的坐標(biāo)為：

(2)

其中，δi(i=1，2，3)依次取值為30°、150°、270°。將以上坐標(biāo)代入式(1)可得Bi(i=1，2，3)在靜坐標(biāo)OXYZ中坐標(biāo)為：

(3)

設(shè)三角形A1A2A3邊長為a，則：

(4)

AiBi=O Bi-OAi

(5)

(6)

由式(3)、式(6)可以得到Bi點(diǎn)在坐標(biāo)系OXYZ中的坐標(biāo)和γi，下一步用空間幾何法得到關(guān)于αi、βi、γi、xi、yi、zi(i=1，2，3)的方程組，進(jìn)而解得αi、βi。設(shè)坐標(biāo)系Xi軸、Yi軸、Zi軸的單位向量為ai、bi、ki，則在靜坐標(biāo)系OXYZ中：

ai=(cosδi，sinδi，0)，ki=(0，0,1)

(7)

(8)

設(shè)向量AiHi的單位向量為di，由圖2中幾何關(guān)系得：

(9)

ci=cosβi·ai-sinβi·ki

(10)

由圖3中幾何關(guān)系得：

AiBi=L1i·di+L2i·ci

(11)

其中，L1i=l1sinθ+l2sin(γi-θ)，L2i=-l1cosθ+l2cos(γi-θ)。且有，

(12)

其中，L1i、L2i、Ki與式(9)、式(11)中相同。

PiAi=l1cosθ·ci-l1sinθ·di=(pxi,pyi,pzi)

(13)

由式(9)和式(10)可得，

PiBi=PiAi+AiBi

(14)

(15)

(16)

由方程組(12)得：

(17)

由式(2)、式(6)與式(17)能夠得到兩組αi、βi，將得到的兩組αi、βi代入方程式(16)。給定并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺位姿，經(jīng)位置反解的計算可得到αi、βi、γi等關(guān)節(jié)參數(shù)的值，結(jié)合機(jī)構(gòu)的約束條件可判斷并聯(lián)機(jī)構(gòu)在給定位姿下是否可以達(dá)到給定位置。

3 定姿態(tài)工作空間

設(shè)定姿態(tài)角為α=β=γ=0，在確定工作空間時，主要考慮的約束條件有：

圖4 球面副的轉(zhuǎn)角

(1)如圖4所示，球面副的轉(zhuǎn)角φi是由與球鉸基座固結(jié)的單位向量ui和與球鉸桿的單位向量nBi的夾角，φi∈(0，π/4)。為了擴(kuò)大關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動范圍，當(dāng)αi=βi=0時，基座向量ui和桿向量nBi重合；

(2)考慮到機(jī)械零件之間的干涉，取αi∈(-π/3，π/3)，βi∈(-π/3，π/3)；

(3)由機(jī)械結(jié)構(gòu)限制，下連桿向量PiAi到上連桿向量PiBi的旋轉(zhuǎn)角范圍為(0，π)，即向量PiAi×PiBi和向量ci×di方向相同；

一般極坐標(biāo)搜索算法[9]，極軸按照固定步長Δρ搜索邊界點(diǎn)，該方式無法兼顧搜索速度和邊界精度。當(dāng)極軸搜索步長Δρ取值較大時，搜索速度快，但邊界精度低；反之，搜索速度慢，邊界精度高。本文提出一種改良極坐標(biāo)搜索算法，用該搜索算法搜索Z=Z0子空間邊界的流程如圖5，其具體步驟為：

(1)用極坐標(biāo)表示子空間內(nèi)坐標(biāo)點(diǎn)，設(shè)初始極角ψ=0，極軸ρ=0，搜索步長Δρ；

(2)判斷坐標(biāo)點(diǎn)(Z0，ψ，ρ)是否在工作空間內(nèi)，若在工作空間內(nèi)，取m=1，反之取m=0；極軸ρ增加Δρ，即ρ=ρ+Δρ，判斷坐標(biāo)點(diǎn)(Z0，ψ，ρ)是否在工作空間內(nèi)，若在工作空間內(nèi)，取n=1，反之取n=0。判斷m&&n=0，m||n=1是否成立，若不成立，ρ繼續(xù)增加，若成立，說明點(diǎn)(Z0，ψ，ρ-Δρ)和點(diǎn)(Z0，ψ，ρ)之間存在邊界點(diǎn)，采用二分逼近法逼近邊界點(diǎn)，具體做法為：設(shè)d=Δρ，當(dāng)m=1時，令d=d/2，ρ=ρ-Δρ+d，判斷點(diǎn)(Z0，ψ，ρ)是否在工作空間內(nèi)，若在工作空間內(nèi)，ρ不變，反之ρ=ρ-d，繼續(xù)令d=d/2重復(fù)上面步驟，直到d小于搜索精度d0，此時坐標(biāo)點(diǎn)(Z0，ψ，ρ)為工作空間的一個邊界點(diǎn)，繪制邊界點(diǎn)，當(dāng)m=0時，以相似的方法繪制出邊界點(diǎn)，極軸ρ從該邊界點(diǎn)以上述同樣的方式增加直至ρ>ρmax；

(3)極角ψ增加Δψ，ρ=0，重復(fù)步驟(2)；

(4)重復(fù)步驟(3)直至ψ>2π，Z=Z0子空間邊界點(diǎn)全部繪制出。

顯然這種搜索算法的搜索精度由搜索精度d0決定，與極軸搜索步長Δρ的大小無關(guān)，這樣即便設(shè)定比較大的步長Δρ也可以保證了邊界搜索的精度。利用該算法確定子空間的邊界曲線時，在子空間的類型未知的情況下，子空間有可能存在空洞，極軸搜索步長Δρ應(yīng)該取相對較小的值，防止漏掉邊界點(diǎn)；在已知子空間為單域時，極軸搜索步長Δρ應(yīng)該取相對較大的值，提高搜索速度。

圖5 改良極坐標(biāo)搜索算法

基于運(yùn)動學(xué)逆解和約束條件，采用改良極坐標(biāo)搜索法確定并聯(lián)機(jī)構(gòu)定姿態(tài)的工作空間。機(jī)構(gòu)參數(shù)如表1，設(shè)定搜索空間為極軸ρ∈(0，400)，極角ψ∈(0，2π)，Z∈(0,400)，子空間高度ΔZ=5，極角增量Δψ=π/100，極軸搜索步長Δρ=10，d0=0.01mm。

表1 機(jī)構(gòu)參數(shù)設(shè)定

圖6為改良極坐標(biāo)搜索法得到的α=β=γ=0的工作空間截面圖和三維實(shí)體圖，工作空間的截面全部是單域的，且在此姿態(tài)下的工作空間不存在凹洞，一條極軸上只存在一個邊界點(diǎn)，因此在之后優(yōu)化過程中確定工作空間邊界時，極軸搜索步長可選擇一個較大的值以提高搜索速度。

圖6 定姿態(tài)工作空間截面圖與三維實(shí)體圖(α=β=γ=0)

4 機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化

優(yōu)化機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)，可以在機(jī)構(gòu)整體尺寸基本不變的情況下，獲得機(jī)構(gòu)最大的工作空間，從而發(fā)揮機(jī)構(gòu)的最佳性能[10]。

由于工作空間不規(guī)則，因此直接用工作空間的體積來衡量工作空間并不合適。本文采用內(nèi)接于工作空間且高度H與直徑D相等的圓柱體直徑D來衡量工作空間大小，圖7為內(nèi)接圓柱截面圖。為了保證機(jī)構(gòu)整體尺寸參數(shù)基本不變，上下兩桿總長度l1+l2是定值，此處設(shè)定l1+l2=400mm，那么機(jī)構(gòu)參數(shù)l1，l2中，只選擇l1作為變量即可，因此需要優(yōu)化的結(jié)構(gòu)參數(shù)有l(wèi)1、θ、a和b。考慮到設(shè)備的體積、機(jī)械零件之間的干涉與人體工程學(xué)指標(biāo)等因素，參數(shù)l1，θ，a，b的取值范圍為100mm≤l1≤300mm，50°≤θ≤90°，220mm≤a≤260mm，50mm≤b≤150mm。

圖7 內(nèi)接圓柱截面圖

機(jī)構(gòu)參數(shù)在不同取值時可以任意組合，因此工作空間的最優(yōu)化設(shè)計屬于全局最優(yōu)問題，即在l1、θ、a、b的取值范圍內(nèi)，尋找最優(yōu)解，使得：

D*=max{D(l1，θ，a，b)}

(19)

采用全局搜索法，設(shè)定一定的步長，采樣計算，得到在采樣點(diǎn)鐘相對最佳的一組參數(shù)，如表2所示。依據(jù)表2所示優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)參數(shù)，優(yōu)化后，內(nèi)接于工作空間的圓柱體的直徑為229.4mm，而優(yōu)化前僅為162.3mm，直徑增大了0.40倍，達(dá)到了預(yù)期的優(yōu)化目標(biāo)。

表2 優(yōu)化后機(jī)構(gòu)參數(shù)

5 結(jié)論

本文將三支鏈六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)用于力反饋控制器，具有工作空間大，動力性能好，承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)；得到了運(yùn)動學(xué)逆解，并基于運(yùn)動學(xué)逆解和約束條件利用改良極坐標(biāo)搜索算法繪制出了機(jī)構(gòu)的工作空間的截面圖和三維實(shí)體圖；以內(nèi)接于工作空間且高度H與直徑D相等的圓柱體直徑為優(yōu)化目標(biāo)，采用全局搜索法得到一組最優(yōu)機(jī)構(gòu)參數(shù)，在整體尺寸基本不變的情況下使內(nèi)接圓柱體直徑增大40%。

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(編輯 李秀敏)

Design and Parameter Optimization of a Six-dimensional Force Feedback Controller

ZHANG Kai，GONG Jin-liang，ZHANG Yan-fei

(School of Mechanical Engineering, Shandong University of Technology, Zibo Shandong 255049, China)

Currently existing parallel mechanism which can be use as the six-dimensional force feedback controller has shortcoming of worse dynamic performance, poor bearing capacity, bad stiffness and so on. Aiming at this kind research situation, a novel 6-DOF parallel mechanism with three branched chain is designed in this paper. The inverse kinematics of the mechanism is built and the analytical solution of the inverse solution is got. A modified polar coordinate searching method which has rapid searching rate and high search veracity is proposed, the cross-sectional views and 3D entities picture of certain posture working space is drawn using this searching method. At last, using the global optimization algorithm, the mechanism parameters is optimized aiming at maximizing inscribed cylinder of workspace whose height and diameter is equal. The diameter of inscribed cylinder has an increase of 40% after optimization.

parallel mechanism; workspace; parameters optimization

1001-2265(2016)11-0024-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.11.007

2015-11-21；

2015-12-30

國家自然科學(xué)基金項目(61303006)；山東省優(yōu)秀中青年科學(xué)家科研獎勵基金項目(BS2012ZZ009)

張凱(1988—)，男，山東曲阜人，山東理工大學(xué)碩士研究生，研究方向為并聯(lián)機(jī)器人理論，(E-mail)qfzhangkai88@163.com；通訊作者：宮金良(1976—)，男，河北泊頭人，山東理工大學(xué)副教授，博士，研究方向為機(jī)器人理論及裝備，(E-mail)gjlwing@sdut.edu.cn。

TH164；TG659

A