由特征值和順序主子陣構造廣義Jacobi矩陣的逆特征值問題*

徐秀斌, 秦 立

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

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由特征值和順序主子陣構造廣義Jacobi矩陣的逆特征值問題*

徐秀斌, 秦 立

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

廣義Jacobi矩陣；特征值；順序主子陣；逆特征值問題

0 引 言

本文討論的廣義Jacobi矩陣Gp,q是指具有如下形狀的矩陣:

(1)

若所有的bi,ci為實數,則當bi=ci>0時,Gp,q是Jacobi矩陣[1];當bi=ci<0時,Gp,q是負Jacobi矩陣[2-3]，當bi=-ci>0時,Gp,q是廣義反Jacobi矩陣[4].

逆特征值問題在粒子物理的核光譜學、結構設計、振動反問題、Sturm-Liouville反問題和數學物理反問題的離散化及結構動力模型的校正等問題中有廣泛的應用.這一方面的研究近年來比較活躍,其中之一是對問題DD(problemdoubledimension)的研究[1-3,5-7].

文獻[1]證明了:若問題DD的解存在,則其解必唯一;文獻[8]提供了一個求解問題DD的算法,但是這種算法需要計算矩陣的所有特征值與其所屬的特征向量,這是相當費時的;文獻[9]給出了問題DD有解的充分必要條件,但其結果及證明都比較復雜;文獻[10]給出了問題DD有解的另一個充分必要條件,并且提供了一個求解問題DD的算法,這個算法不用求解矩陣的所有特征值與其所屬的特征向量;文獻[4]給出了由特征值和順序主子陣構造廣義反Jacobi矩陣的逆特征值問題的充分必要條件.

1 主要結果

類似于文獻[11]中有關結果的證明,可證得引理1～引理4.

引理1

引理2 若1≤k≤2n-1,則

(2)

若k≥2n,則

(3)

式(3)中，E2k,E2k+1分別為其變量的2k,2k+1次齊次多項式.

由推論1和數學歸納法可得

引理4 對k=1,2,…,2n-1,有

(4)

c(2k+1)1=f2k+1+(b1b2…bk)(bmkc(k)k+ak+1c(k)k+1).

(5)

式(4)和式(5)中:

(6)

f2k+1=a1c(2k)1+∑k-1j=1(b1b2…bj)(bmjc(2k-j)j+aj+1c(2k-j)j+1).

(7)

下面給出本文的主要結果.

定理1 問題GDD有解的充分必要條件是

(8)

式(8)中,T1,T2,…,T2n由下式給出:

(9)

當問題GDD有解時,解由下式給出:當k=n,n+1,…,2n-1時,

(10)

ak+1=c(2k+1)1-f2k+1-(b1b2…bk-1)(bm+1k)c(k)k(b1b2…bk-1bk)m+1.

(11)

式(10)和式(11)中: f2k, f2k+1分別由式(6)和式(7)給出.

由Cayley-Hamilton定理知,

即

(12)

必要性證畢.

則由式(9)得

(13)

(14)

綜上得(h(G2n))j·=0,即h(G2n)的第j行都為0.因為j=1,2,…,2n,所以h(G2n)=0,即h(G2n)為所要求的G2n的零化多項式,而零化多項式必定會被其最小多項式整除.廣義Jacobi矩陣G2n的最小多項式就是它的特征多項式,且它的最高次為2n,而h(G2n)的最高次也恰為2n,因此h(λ)即為G2n的特征多項式.

根據bk,ak+1的構造,可得Gn是G2n的順序主子陣.

注1 當問題GDD有解時,其解必唯一.

注2 當m=1,a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn-1為實數且所有的bi>0時,定理1即為文獻[11]中的主要結果.

2 數值算法

用以下算法求解問題GDD:

步驟2:由下式計算G2n的特征多項式的各項系數T1,T2,…,T2n:

令k=n.

步驟3:根據式(10),可計算得bk.根據引理2及式(8),可計算得下一步所需要的數:

步驟4:根據式(11),可計算得ak+1.根據引理2及式(8),可計算得下一步所需要的數:

步驟5:k←k+1,若k≤2n-1,則轉到步驟3,否則終止.

3 數值例子

例1 給定

求

由h(λ)=λ4+(-1-4i)λ3+(-5+7i)λ2+(11+i)λ+(-2-5i)得

根據以上算法可得

經檢驗,該矩陣的特征值就是給定的值.

4 結 語

[1]Hochstadt H.On the construction of a Jacobi matrix from mixed given data[J].Linear Algebra Appl,1979,28(28):113-115.

[2]Wei Ying.A Jacobi matrix inverse eigenvalue problem with mixed data[J].Linear Algebra Appl,2013,439(10):2774-2783.

[3]Wei Ying.Inverse eigenvalue problem of Jacobi matrix with mixed data[J].Linear Algebra Appl,2015,466(10):102-116.

[4]彭振赟,張磊,胡錫炎.由譜數據和主子矩陣構造廣義反Jacobi矩陣[J].湖南大學學報:自然科學版,1998,25(5):10-13.

[5]Wu Xiaoqian,Jiang Erxiong.A new algorithm on the inverse eigenvalue problem for double dimensional Jacobi matrices[J].Linear Algebra Appl,2012,437(7):1760-1770.

[6]Wu Xiaoqian.A divide and conquer algorithm on the double dimensional inverse eigenvalue problem for Jacobi matrices[J].Appl Math Comput,2012,219(8):3840-3846.

[7]Wei Ying,Dai Hua.An inverse eigenvalue problem for Jacobi matrix[J].Appl Math Comput,2015,251:633-642.

[8]Boley D,Golub G H.A survey of matrix inverse eigenvalue problems[J].Inverse Problems,1987,3(4):595-622.

[9]Dai Hua.On the construction of a Jacobi matrix from its spectrum and a submatrix[J].Transactions of Nanjing University of Aeronautics and Astronautics:English Edition,1994,11(1):55-59.

[10]Xu Shufang.On the Jacobi matrix inverse eigenvalue problem with mixed given data[J].SIAM J Matrix Anal Appl,1996,17(3):632-639.

[11]胡錫炎,張磊,黃賢通.由譜數據和主子陣構造Jacobi矩陣[J].數值計算與計算機應用,1997,18(2):143-150.

(責任編輯 陶立方)

On the generalized Jacobi matrix inverse eigenvalue problem with given eigenvalues and the leading principal submatrix

XU Xiubin, QIN Li

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

The following problem was discussed: constructed a 2n×2ngeneralized Jacobi matrix such that its eigenvalues were the given complex valuesλ1,λ2,…,λ2nand its leadingn×nprincipal submatrix was the given generalized Jacobi matrix. A sufficient and necessary condition for the solvability of the problem and an algorithm for solving this problem were obtained, a numerical example was presented to illustrate the algorithm.

generalized Jacobi matrix; eigenvalue; leading principal submatrix; inverse eigenvalue problem

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.04.001

2016-05-25；

2016-06-15

國家自然科學基金資助項目(61170109)

徐秀斌(1962-)，男，浙江蘭溪人，教授，博士.研究方向：數值逼近.

O241.6

A

1001-5051(2016)04-0361-06