遵循問題的本源，提高教師的素養——2016年廣州市數學中考第25題思維突破與教學啟示

☉廣東東莞中學松山湖學校張青云

☉廣東東莞市教育局教研室劉翥遠

遵循問題的本源，提高教師的素養——2016年廣州市數學中考第25題思維突破與教學啟示

☉廣東東莞中學松山湖學校張青云

☉廣東東莞市教育局教研室劉翥遠

2016年廣州市數學中考第25題是一道很有見地的試題，有關它的討論曾在一些QQ群里熱度不減.筆者也很關注這道試題，在此特作一梳理，并提出自己的一些思考，供大家研究參考.

試題：如圖1，點C為△ABD外接

（1）求證：BD是該外接圓的直徑；

圖1

（3）若△ABC關于直線AB的對稱圖形為△ABM，連接DM，試探究DM2、AM2、BM2三者之間滿足的等量關系，并證明你的結論.

一、思維突破

（1）由同弧可知∠ADB=∠ACB.又∠ACB=∠ABD= 45°，則∠BAD=90°.由圓周角定理的推論不難得到BD是該外接圓的直徑.

（2）從證明結論上看，本小題似乎不太容易，但實際上證明方法很多.由AC或由結論變化得的形式，聯想到等腰直角三角形三邊的比為1∶1，可以嘗試構造合適的等腰直角三角形，下面我們沿著這種思路介紹兩條路徑.

路徑1：構造以BC、DC為斜邊的等腰直角三角形.

如圖2，作BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F.由∠ACB=∠ADB=∠ABD=∠ACD=45°，可以得到△ABD、△CBE、△DFC都為等腰直角三角形.

圖2

由已知不難證得△ABE≌△DAF，則AE=DF.

路徑2：構造以AC為直角邊的等腰直角三角形.

以AC為直角邊的等腰直角三角形，意味著直角三角形是以點A或點C為直角頂點.由于等腰三角形的“朝向”分布的不同，還可以產生以下四種可能的圖形，如圖3，但其實每一種都可以達成目的.在此我們選擇第一種情形簡述.

圖3

如圖3，作CA⊥AE，延長CB交AE于點E.由∠ACB= 45°可知△ACE為等腰直角三角形，則CE=AC.由SAS可證明△ABE≌△ADC，則BE=DC.則CE=BE+BC= DC+BC=AC.

圖4

（3）本小題當然最有挑戰.三線段的平方容易使人聯想到勾股定理，所以解題的關鍵在于努力構造直角三角形.

思路1：考慮選擇三線段中的最長線段DM為斜邊，構造直角三角形，如圖4，延長MB交圓于點E，連接AE、DE.

由BD為直徑，得∠BED=90°.則ME2+DE2=MD2.

由∠BEA=∠ACB=∠BMA=45°，可推得△MAE為等腰直角三角形，則ME2=MA2+AE2=2MA2.

由AC=MA=AE，∠MAB=∠CAB=∠EAD，根據弧、弦、圓心角定理或三角形全等可證明DE=BC=MB，所以2MA2+MB2=MD2.

思路2：將線段DM利用旋轉變換，如圖5，過點A作AE⊥AC，延長CD交AE于點E，連接BE.

圖5

圖6

易證△AMD≌△AEB，則MD=BE，然后在Rt△BCE中運用勾股定理，通過變換可得到相同的結論.

圖6也是類似的旋轉變換，在Rt△BME中運用勾股定理.

至于有網友使用余弦定理或正弦定理等，通過恒等變換得到問題的結論，由于超出了初中學生的學力范圍，在此不作推介.

二、教學啟示

1.對試卷壓軸題的難度梯度做到知己知彼

本試題作為廣州試卷的壓軸題，帶有明顯的區分度特征是理所當然的，特別是在今年廣州數學試卷整體表現平穩的情況下，本試題的選拔意味就更趨強烈，但既使這樣，依然存在著較大的可為空間，比如第一問對多數學生來說應當問題不大，第二問應當也有不少的學生可以解決.閱卷中發現，很多同學在第二小題便遇到了障礙，詢問其原因，認為“所證結論不太常見，一時半會想不到”“沒時間細看”等占有很大比例，于是在“爭分奪秒”的考場上，眼見所剩時間無幾，便選擇“戰略性放棄”.這啟發我們在教學中，應明確告知學生壓軸題設置的常見方式與各小問的難度梯度，并借助一定的典型示例訓練感悟，把握各小問的難度分配，以做到知己知彼、有的放矢，增強攻克難關的自信.

2.思考要遵循問題的本源

本試題的（2）、（3）較難，但再難的問題也要遵循本源去思考.遵循問題的本源，就是讓解法自然產生，也就是從問題的結論或條件出發，自然而然地追尋解決之路徑.第二問的本質是證兩條線段的和等于另一條線段的問題，難點在于也罷，關鍵是要將它們轉化為新的線段，由題目中豐富的45°，很自然地聯想到構造等腰直角三角形，利用其三邊關系轉化為“a=b+c”型證明問題，再運用“截長補短”的全等思想方法來解決問題.第三問雖然難度較大，但仍然要憑著對勾股定理的直覺思維，圍繞DM來思考，構造以DM或者旋轉后DM的等長線段為斜邊的直角三角形.當然，由結果回溯，我們依然看到了各小問之間千絲萬縷的聯系，所以這種思考問題的方法就是自然解法，即在正常情況下首先想到的思路和解法.所謂“道法自然”，教學中就是要遵循這種解題思想和策略，從解決問題最自然的思路出發，“順理成章”地往思維更高處延伸.

圖7

3.豐富自己的學科知識

有一定學科知識的教師應該知道，本題第二問的實質是托勒密（Ptolemy）定理的特殊情況.托勒密定理：圓的內接凸四邊形兩組對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.以圖7為例簡證如下.

在對角線BD上找一點E，使∠DAE=∠CAB，則可得到∠BAE=∠CAD，進一步可推得△AED∽△ABC，△ABE∽△ACD，分別得到比例式：

即BC×AD=AC×ED，AB×CD=AC×BE.

兩式相加可得：

AB×CD+BC×AD=AC×BE+AC×ED=AC×BD.

本試題的第二問為其特殊情況，即AB=AD，且∠BAD=90°，則BD=AB.則AB×（CD+BC）=AC×BD.化簡得到：BC+CD=AC.

這個定理，最初是由古希臘數學家克羅狄斯·托勒密（公元90年—公元168年）想出來的，所以叫作托勒密定理，其逆定理也成立.托勒密是一位博學多才的古希臘天文學家、地理學家、占星學家和光學家，就是他，在其著作《天文學大成》中構造了一個“地心說”的“完整”體系，被中世紀的西方世界尊崇為天文學的標準著作，影響長達13個世紀，同時，這本著作也為三角學的進一步發展與應用奠定了堅實的基礎.托勒密定理的價值是不可估量的，從它出發可以推導出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，并以此為基礎，托勒密給出了從0°到90°每隔15′角的正弦值，創造出了世界歷史上的第一張弦表.

這個定理在以前的人教版教材中是有滲透的，在一些初中數學競賽的書籍中也有介紹，現在則是作為普通高中數學選學教材的一個內容呈現，在新課程改革背景下，它逐漸淡出了我們的視野，久而久之，漸為人所遺忘.筆者認為，不教不學的，并不表示可以不知不曉.作為初中數學教師，我們要不斷提高自己的學科素養，盡力防止自己的學科知識隨著歲月的流逝而萎縮，堅持保有足夠豐富的學科視野，唯有這樣，方能在教學中真正做到深入淺出、有的放矢.

三、寫在后面的話

本試題三小問，在邏輯關系上是層層遞進，漸入佳境，這對身處考場的學生，是一種心理加思維的挑戰，而對置身杏壇的我們，也不失為一種有益的提醒和鞭策.

1.張曉飛，鄧迎春.借助托勒密定理，構造圓內接四邊形［J］.中學數學（上），2014（11）.

2.牟強，楊琦.讓自然解法綻放更多精彩［J］.中學數學教學參考（中），2016（6）.Z