一道考題的思路、難點與教學設計

☉江蘇省江陰英橋國際學校吳忠妙

一道考題的思路、難點與教學設計

☉江蘇省江陰英橋國際學校吳忠妙

近讀《中學數學》（下），不少文章不滿足于單純的解題研究，而是從思路突破到解后反思，再圍繞考題給出教學設計，體現了很好的解題研究服務于解題教學的宗旨，筆者深受啟發，在研究一道中考試題之后，感覺問題的變式距離偏大，也需要設計系列鋪墊來引導學生學會解題，本文就是系列思考之后的梳理，提供研討.

一、考題思路簡述與解后反思

考題（2016年陜西中考卷第25題）（1）如圖1，已知△ABC，請畫出△ABC關于直線AC對稱的三角形.

圖1

圖2

（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在邊BC、CD上分別存在點G、H，使得四邊形EFGH的周長最小？若存在，請說明理由.

（3）如圖3，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，現想從板材中裁出一個面積盡可能大的四邊形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°.經研究，只有當點E、F、G分別在邊AD、AB、BC上，且AF＜BF，并滿足點H在矩形ABCD內部或邊上時，才可能裁出符合要求的部件，試問：能否裁出符合要求且面積盡可能大的四邊形EFGH部件？若能，求出裁得的四邊形EFGH部件的面積；若不能，請說明理由.

圖3

1.思路簡述

（1）簡單的送分題，只要取點B關于AC的對稱點B′，即可畫出符合要求的軸對稱三角形.

（2）如圖4，分別取點E、F關于CD、BC的對稱點E′、F′，連接E′F′交BC、CD于G、H兩點，則四邊形EFGH滿足題意.接下來的關于該四邊形周長的計算也比較簡單，在Rt△AE′F′中思考，求出斜邊的長為（2+10）即可.

圖4

圖5

（3）題目條件呈現有些繁雜，需要慢慢梳理、各個擊破.比如“EF=FG=，點E、F、G分別在邊AD、AB、BC x2+（3-x）2=（）2，解得x=1或2，結合“AF＜BF”知，x=1，即AF=1，BF=2，AF=2，BG=1，即點E、F、G的位置都被唯一確定.

接下來就是分析點H的可能位置了！在分析之前，還有一個準備工作需要明確，這就是當點E、F、G確定之后，如圖5，連接CF，則CF垂直平分GE！這可以通過計算CG=CE來證明.這個特殊的位置關系對于進一步分析點H的位置關系十分重要.

圖6

現在我們只要結合第（1）問作圖的經驗，如圖6，將△EFG沿GE翻折，得到對稱的△F′GE，再以F′為圓心，EF′為半徑作圓，設該圓與CF交于點H.如果點H在線段CF上，則該點就是符合要求的一個待求點H.接下來只要設法比較FH與FC的大小，在Rt△BCF中容易求出FC=2，而FF′=，易知F′H上，且AF＜BF”，我們就可確定點E、F、G的位置.如圖3，容易根據所謂的“一線三直角”基本圖形，證明△AEF≌△BFG，設AF=x，則BF=3-x，則AE=3-x，在Rt△AEF中，是⊙F′的半徑，故F′H=，顯然FH=+＜ 2，即點H在線段FC上，是符合題意的.此時四邊形EFGH的面積也很好求，該四邊形的對角線互相垂直，可以用EG·FH求得四邊形EFGH的面積為5+m2.

2.解后反思

前面兩問都是初中階段十分常見的教材習題原型考查，第（3）問與前面雖有關聯，但是距離較大，要想成功突破，難點有如下幾處：

難點之一：E、F、G的位置是否唯一確定？

這是問題突破的起點，如果不能確定E、F、G三點的位置，則后續問題就無從探究.

難點之二：在圖5中，FC與EG的特殊位置關系是什么？

如果沒有想到FC垂直平分EG，則難有后續構造圓F′與FC的交點生成，而且會陷入“多點共線”的疑問.

難點之三：⊙F′與FC的交點H為什么滿足面積最大？

在圖6中，根據圓周角定理，矩形內部⊙F′上很多點都滿足45°，但為什么⊙F′與FC的交點H是滿足要求的，也是由EG與FC的垂直關系帶來的.

難點之四：點H是在線段CF上還是在矩形ABCD的外部？

這里的比較涉及計算CF、FH′的長，并比較.關鍵還是對于正方形的EFGF′的識別和靈活運用.

二、解題教學的微設計

考慮到前兩問對第（3）問的啟示與關聯不大，我們的設計就主要基于第（3）問的幾何問題漸次展開.

題目：如圖3，矩形ABCD中，AB=3，AD=6，點E、F、G分別在邊AD、AB、BC上，∠EFG=90°，且EF=FG=

教學活動1：復習“一線三直角”基本圖形

問題1：求EG的長；

問題2：△AEF與△BFG是否全等？對應關系確定嗎？

問題3：求AF的長；

問題4：若AF＜BF，求FC的長.

設計意圖：通過這組系列問題，讓學生熟悉在圖3中一些全等的對應關系，并為后續問題的探究做些必要的準備工作.

教學活動2：復習三角形外接圓

在“題目”條件下，增加條件AF＜BF，連接CF.

問題5：請指出CF與EG的位置關系，并說明理由；

問題6：作出△EFG關于直線EG對稱的△EGM，并指出四邊形EFGM的形狀；

問題7：以M點為圓心，ME的長為半徑作圓，交直線FC于H點，試判斷點H是否在矩形ABCD內部？為什么？

問題8：矩形ABCD邊上是否存在點N，使∠EMG= 45°.如果存在，作出符合要求的所有點N；如果不存在，說明理由.

設計意圖：通過這一組系列問題，讓學生逐個突破上文中提及的幾個“障礙點”.

教學活動3：呈現“考題”第（3）問

教學安排：由學生獨立思考后，小組內交流討論，然后大組展示解法思路，教師做好必要的追問，暴露學生對問題的思考.

教學活動4：小結與檢測環節

針對學生練習和展示中的解題錯漏做必要的小結，并引導學生總結一些常見圖形及性質，為快速解題多積累經驗.最后安排變式檢測題如下：

變式再練：如圖7，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，邊長為的等腰直角三角形MNG的頂點M、G、N分別在邊AD、AB、BC上.

（1）直接寫出MN的長；

（2）求BG的長；

（3）當AG＞BG時，連接DG，求DG的長；

（4）在（3）的條件下，求證GD垂直平分MN；

（5）當AG＜BG時，矩形內部（不含邊）是否存在點H，滿足∠MHN為45°，如果存在，請作圖指出點H的位置；如果不存在，說明理由.

圖7

三、有感而發

從近期讀刊發現，不論是解題研究、教學研究中的例題設計再到命題研究，都需要教師修煉命題基本功，而這又需要深刻理解初中學段的特征，理解數學的本質，而不是歪解、曲解課標、數學教材上所倡導的教學理念.比如，有些中考題披著重視應用的外衣，設計出晦澀難懂的問題背景，使得問題呈現冗長、題意難懂，不符合“好的數學試題”追求簡潔、好懂，體現數學本質的高要求，卻被不少命題研究教師貼出諸如“數學來源于生活、服務于生活”“引導重視數學建模”等標簽，使得初任教師、廣大備考師生無所適從，混淆了對數學的印象.這方面的有益啟示，建議同行們多關注北京、上海等地近年來的中考把關題，問題的簡約呈現，入口淺寬，深入下去，濃濃的數學味道回味無窮，愿與更多的命題研究者共勉，為命題研究的深入發展而共同努力.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學研究［J］.數學教學，2003（1，2，3）.H