電場作用下表面張力對液滴運動特征的影響

戴宇晴, 葉學民, 李春曦

(電站設備狀態監測與控制教育部重點實驗室(華北電力大學)，河北保定071003)

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電場作用下表面張力對液滴運動特征的影響

戴宇晴, 葉學民, 李春曦

(電站設備狀態監測與控制教育部重點實驗室(華北電力大學)，河北保定071003)

為研究電場作用下表面張力對液滴運動特征的影響，基于潤滑理論和漏介電質模型，在考慮受電場影響的表面張力變化的基礎上，建立了電場作用下液滴鋪展的演化模型，采用PEDCOL程序模擬了在不同底部電勢影響下導電液滴的運動特征。研究表明：兩極板間的液滴鋪展過程不僅與電勢類型有關，還與因電場作用下改變的表面張力有關；表面張力比例系數對液滴運動過程的影響總趨勢大體相同，但最大液膜厚度和鋪展半徑的變化速率明顯不同。施加均勻電勢和線性電勢時，并不改變液滴鋪展的拋物線外形，隨比例系數增大，液滴鋪展加快；施加非線性電勢時，可控制液滴的破裂過程；液滴鋪展過程中，受表面張力變化影響最大的是線性電勢，最小的為指數電勢。

電場；表面張力；液滴

0 引言

微流控技術廣泛應用于微電子、生物工程和納米技術領域[1-3]，液滴運動與控制[4-6]是其中極為重要的方面，而表面張力是影響、甚至是控制微納尺寸下液滴鋪展與變形運動的關鍵因素。在電場作用下，電介質液體所含帶電粒子在界面處的聚集或排斥作用在宏觀上改變了液滴表面張力，進而影響微液滴的運動、變形、分裂及聚并[7-9]等行為。因此，深入研究電場作用下表面張力對液滴鋪展運動特征的影響具有重要意義。

Schmid等[10]通過觀察漂浮于氣水交界面上的云母片，受到靜電場作用時產生的運動距離變化研究了電場對表面張力的影響，發現當電場強度為6.7 kV/cm時，NaCl溶液的表面張力降低；但Damm[11]對Schmid所得結果提出質疑，認為NaCl溶液表面張力的改變應歸因于電極附近的雜散電場(Stray field)。Hayes[12]采用波紋方法測量了平行電極板間氣液界面處表面張力，認為在實驗誤差范圍內，場強達10.4 kV/cm的電場對純水和10% NaCl溶液的表面張力并無明顯影響，但因實驗不確定性較大，結論可信度有限；另外，Hayes基于熱力學理論，推斷液體表面和內部的壓差致使表面張力增大，并與電場強度平方成比例。目前，采用實驗直接測量表面張力研究電場對溶液表面張力的影響，限于實驗精度和實驗設計等原因，所得結論尚不統一。

相對采用實驗直接測量電場對表面張力的影響[10-12]，間接測量方法中取得許多積極成果，并涌現出多種新的測量方法?；谝旱沃亓糠ǎ琖atanabe等[13]測量了水油界面張力，發現增大電場強度可降低表面張力，而改變電場極性并不影響表面張力。類似地，Morimoto和Saheki[14]測量了真空中油滴的表面張力，指出油滴質量隨電場強度增大而減小，并給出表面張力與電荷間的關系；他們認為電場力和表面電荷是促使表面張力降低的原因。Sato等[15]采用振蕩射流法，向平行電極板中噴射液滴進而測量了表面張力變化，通過對多種液體的比較發現，除液體自身物理性質外，外加電場對其表面張力也有影響，當電導率>10-2S/m時，表面張力與電壓平方成反比[16]，并推測液體表面存在的表面電荷是表面張力降低的原因。上述實驗結果均表明氣液界面上的表面張力隨電場強度增大而減小。然而，采用軸對稱液滴形狀分析法的Bateni等[17]則得到與Sato等[15]相反的結果，認為電場促使液滴表面張力增大。而對于外加電場對表面張力影響的理論研究報道較少。Liggieri等[18]通過理論分析，認為靜電場中表面無自由電荷時液體表面張力的變化與受磁場作用時相似，場強較小時的影響極小，只有電場場強極大時才能在實驗中檢測到表面張力變化。

上述研究表明，電場強度對表面張力的影響大致分為表面張力隨電場強度提高而減小、增大和不變等三種情形。而目前對于受電場作用時的液滴運動的理論研究中，均假設表面張力不受電場影響，即表面張力不變，進而模擬其運動特征[19]；這顯然與上述多數實驗所得結論明顯不符，也不能準確反映電場對液滴運動的影響。為此，本文基于實驗研究結果，建立表面張力與電場強度間的關系式，推導電場作用下描述液滴運動過程的演化方程，采用數值模擬獲得不同電場情形下的液滴運動行為，進而分析因電場作用帶來的表面張力變化對液滴運動特征的影響。

圖1 平整基底上液滴的鋪展示意圖

1 理論模型

如圖1，液滴置于兩極板間，在下極板上預置一層厚度為Hb*的液膜。鋪展前沿xf和鋪展半徑xd是描述液滴鋪展過程的重要參數。假設液滴為常物性的不可壓縮牛頓流體，壁面為無滑移無滲透界面。液滴初始高度H*與流動方向尺度L*相比非常小(上標“*”代表有量綱量)，即∈=H*L*<<1，潤滑理論[19，20]適用。

控制方程組為

(1)

(2)

式中：u*=(u*，w*)為速度矢量；p*為壓強。

界面電荷密度q*方程[22]為

(3)

在固體壁面處，滿足無滑移、無滲透條件

(4)

氣液界面上，滿足法向和切向應力平衡方程

(5)

(6)

式中：n*和t*為單位法向和切向矢量；λ*為界面平均曲率；γ*為表面張力；T*為總應力張量，其表達式為

(7)

式中：I*為單位張量。

為考慮電場強度對表面張力的影響，根據實驗結果[12-17]，表面張力可近似表示為

式中：d*、e*為與電場強度有關的系數。

依據潤滑理論[19，20]、保留數量級為≥O(∈)的項，可得無量綱化控制方程組

(8)

(9)

(10)

無量綱邊界條件如下:

(1)固體壁面處滿足無滑移、無滲透邊界條件

z=0，u2=w2=0

(11)

z=b，u1=w1=0

(12)

z=h，uz=0

(13)

(2)氣液界面處切向和法向應力平衡條件為

(3)氣液界面處運動邊界條件為

z=h，ht+ushx=ws

(16)

結合式(11)～(16)，通過積分運算可得液膜厚度和界面電荷密度的演化方程組

(17)

(18)

采用PEDCOL程序求解演化方程式(17)和式(18)。選取-15

初始條件為：

(19)

(20)

式中：F*為海氏階躍函數；其中，若無特殊說明，預置液膜厚度Hb=0.1。

程序中的邊界條件為

(21)

(22)

2 數值模擬

2.1 線性電勢

對液滴施加Φ=1+Sx的底部電勢，S=0表示均勻電場的影響，S=1和-1時則表示沿x方向為線性增加或減小的線性電場影響。

圖2為α=0.5，S=0，即底部電勢Φ=1時在t=0.1、1、10和50時的液滴鋪展特征。該圖表明，隨鋪展過程發展，最大液膜厚度逐漸減小，但液滴中心位置在x=0處保持不變，液滴向兩側呈對稱鋪展；這是因為底部電勢關于坐標軸左右對稱，液滴所受電場力大小相等且左右對稱所致。

圖2 S=0時液滴厚度演化歷程

圖3給出了t=20時，不同α下的液滴外形。該圖表明，與α=1時對比可知，當α<1、并進一步減小α時，液滴呈現回縮特征，與文獻[15]所反映的結果一致；當α>1，并進一步提高α時，呈鋪展特征，這與文獻[17]所反映的現象一致?？傮w上，隨系數α增大，液滴速度加快，所覆蓋的面積進一步擴大。

圖3 S=0時比例系數對液膜厚度影響

圖4為比例系數α對液滴運動主要特征參數的影響。圖4(a)表明，鋪展前期，液滴中心處的最大液膜厚度hmax減小速度較快，而在后期減小速度趨于平緩；隨α增大，其減小速率進一步加大，即當α=0.5增至1.5時，hmax的減小速率由t-0.1155增至t-0.1269；在同一時刻下，隨α增大hmax減小，滿足hmax～α-0.1417，如圖4(b)。比例系數α增大，鋪展半徑xd也隨α增大而增長，當α=0.5增至1.5時，xd的增長率由t0.1401提高至t0.1617，如圖4(c)；鋪展半徑xd與比例系數α的關系為xd～α0.1913，如圖4(d)。

圖4 S=0時比例系數的影響

線性電勢Φ=1+x與Φ=1-x相比，液滴鋪展僅方向相反，為此只討論Φ=1+x情形。圖5表明，隨時間t增加，液滴雖保持拋物線形狀鋪展，但向左側平移；且最大液膜厚度hmax先減小后增大，其原因是隨時間增長，電荷密度增大較多，較大的電場力將兩側流體引向液滴中心區域。

圖5 S=1時的液滴鋪展演化歷程

因液滴兩側電場力不平衡，使液滴中心隨時間逐漸向左側偏移；隨時間增大，液膜最大厚度所在位置xmax偏移速率逐漸減小；而當α增大時，xmax略有提高，即α對xmax的影響非常有限，總體表現為xmax～t0.5010，如圖6所示。

圖6 xhmax隨時間變化曲線

如圖7(a)所示，比例系數α對最大液膜厚度hmax的影響，總體上與均勻電勢情形類似，但不同的是鋪展后期，線性電勢下的hmax呈現緩慢增加的趨勢；隨比例系數α由0.5增至1.5時，hmax的減小速率由t-0.0361增至t-0.0459；t=10時，hmax隨α增大而減小，hmax～α-0.1525，如圖7(b)；在線性電勢作用下，液滴運動初期xd增長率較大，而在中后期其增長率則減緩，當α=0.5增至1.5時，xd的增長率由t0.0942提高至t0.1068，如圖7(c)；鋪展半徑xd隨α的變化為xd～α0.1848，如圖7(d)。

2.2 非線性電勢

當兩極板間施加余弦電勢Φ=Acos(kx)時，其中幅值A=1，波數k=1，液滴鋪展過程如圖8。隨時間延長，液滴仍向兩側對稱鋪展，鋪展初期hmax減小較快，當t>20時，鋪展中心出現凹陷，鋪展前沿呈現與底部電勢變化趨勢一致的波狀形態。當α較小時，中心凹陷出現時間較遲，電場對表面張力的降低，降低了液滴鋪展的速度。

如圖9(a)顯示，hmax仍呈現單調下降趨勢，且鋪展初期降低速率較大，α的變化并不改變hmax的總體變化趨勢，當α=0.5增至1.5時，hmax的減小速率由t-0.1454減小至t-1401；圖9(b)為t=10時hmax隨α的變化關系，hmax～α-0.0929；當α=0.5增至1.5時，xd的增長率由t0.1553提高至t0.1568，如圖9(c)；鋪展半徑xd隨α的變化為xd～α0.1607，如圖9(d)。

圖7 S=1時不同比例系數的影響

圖8 余弦形式電勢時液滴的演化歷程

圖9 余弦形式電勢時不同比例系數的影響

圖10 指數形式電勢時的液滴演化歷程

施加指數形式Φ=1+e-x2/2電勢，α=0.5時的鋪展過程如圖10所示。在該情形下，液滴始終保持對稱、向兩側鋪展，隨t增加，hmax迅速減小，液滴由最初拋物線外形，逐漸破裂為左右兩對稱的子液滴、并向兩側分離。即通過施加合適的指數形式電勢時，可控制液滴的破裂過程。

圖11 指數形式電勢時不同比例系數的影響

圖11(a)表明，施加指數形式電勢時，hmax在鋪展后期基本不變，尤其是當α較小時，此時液滴中心出現凹陷、后逐漸分成兩個液滴，液滴受電場的影響向兩側移動，此時hmax為兩子液滴的中心高度；α=0.5增至1.5時，hmax的減小速率由t-0.1701增至t-0.1745；hmax與α的關系為hmax～α-0.0602，如圖11(b)；當α=0.5增至1.5時，xd的增長率由t0.1995降至t0.1961，如圖11(c)；鋪展半徑xd隨α的變化為xd～α0.1482，如圖11(d)，表明提高α可加快液滴的破裂過程。

2.3 不同電勢下比例系數對特征參數的影響

圖12比較了t=10時最大液膜厚度hmax和鋪展半徑xd與比例系數α在不同電勢下的變化。對于均勻電勢為Φ=1時，hmax～α-0.1417、xd～α0.1913；當液滴處于線性電勢Φ=1+Sx作用時，hmax～α-0.1525、xd～α0.1848；在指數電勢Φ=1+e-x2/2作用下，hmax～α-0.0602、xd～α0.1482和，當處于非線性的余弦電勢Φ=Acos(kx)時，則有hmax～α-0.0929、xd～α0.1607。在本文討論的4種類型電勢中，受表面張力變化影響最大的是線性電勢為Φ=1+x時，受影響最小的為指數電勢Φ=1+e-x2/2。

圖12 不同電勢下比例系數對hmax和xd的影響

3 結論

(1)兩極板間的液滴鋪展過程與不同類型電勢的作用密切相關，因電場作用改變的表面張力對液滴運動過程的影響總趨勢大體相同，但最大液膜厚度hmax和鋪展半徑xd的變化速率明顯不同。施加均勻電勢和線性電勢時，均不改變液滴鋪展的拋物線外形，但當表面張力受到電場影響而變化時，隨比例系數α增大，施加均勻電勢時，最大液膜厚度hmax減小，鋪展半徑xd增大，液滴鋪展進程加快；施加線性電勢時最大液膜厚度hmax先減小后略有增大，鋪展半徑xd增大。上述情況產生原因可歸結于，表面張力的變化改變了液滴表面電荷分布，對液滴鋪展造成的影響。

(2)施加非線性電勢Φ=Acos(kx)和Φ=1+e-x2/2時，隨比例系數α增大，最大液膜厚度hmax減小，鋪展半徑xd增大外，液膜中心出現的凹坑時間也隨之變長，延緩鋪展進程，減小破斷的可能性；而且通過施加合適的指數形式電勢時，可控制液滴的破裂過程。對于文中討論的4種類型電勢，提高電場強度，液滴鋪展過程中hmax與xd相對于表面張力不受電場影響時所產生的變化量增大。液滴運動過程，受表面張力變化影響最大的是線性電勢，最小的為指數電勢。

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Effect of Surface Tension on Droplet Dynamics in the Presence of Electric Field

DAI Yuqing, YE Xuemin, LI Chunxi

(Key Laboratory of Condition Monitoring and Control for Power Plant Equipment, Baoding 071003, China)

To analyze the effect of surface tension on droplet dynamics in the presence of electric field, an evolution model considering the surface tension variation induced by electric field was established based on leaky dielectric model and the lubrication theory.The PEDCOL code was utilized to simulate the dynamic characteristics of a conductive droplet in the presence of diverse electric fields.Results show that the droplet movement between two electrode plates is not only related to the potential type, but also influenced by the variation of the surface tension induced by electric field.The influence of the proportion coefficient of surface tension on the droplet movement process is approximately same while the maximum thickness of liquid film and spreading radius variation rates are obviously different.Exerting uniform and linear electric potential does not alter the parabolic shape of spreading droplet.With the increase of the proportion coefficient, the droplet spreading is accelerated.Rupture process of a droplet can be controlled by applying nonlinear electric potential.The greatest impact of the variation of surface tension on the process of a droplet spreading is linear potential, and the least impact is exponential potential.

electric field; surface tension; droplet

2016-07-14。

國家自然科學基金(11202079)；河北省自然科學基金(A2015502058)。

戴宇晴(1990-)，女，碩士研究生，主要從事流體力學理論及應用等方面的研究工作，E-mail： paozou@163.com。

O361；TQ021

A

10.3969/j.issn.1672-0792.2016.11.012