旋轉經常見 解法靈活變

□ 華興恒

旋轉經常見 解法靈活變

□ 華興恒

旋轉是各地中考常見的題型，常常令同學們望而生畏，不知如何入手求解.下面從各地中考試題中選取不同類型的旋轉試題進行分析、求解，希望對同學們能夠有所啟發，克服畏懼心理，提高解題技能.

一、點的旋轉

例1（孝感）在平面直角坐標系中，把點P（－5，3）向右平移8個單位得到點P1，再將點P1繞原點旋轉90°得到點P2，則點P2的坐標是（ ）.

A.（3，－3） B.（－3，3）

C.（3，3）或（－3，－3）

D.（3，－3）或（－3，3）

解析：點P（－5，3）向右平移8個單位得到的點P1的坐標為（3，3），若點P1繞原點順時針旋轉90°，則對應點P2的坐標為（3，－3）；若點P1繞原點逆時針旋轉90°，則對應點P2的坐標為（－3，3）.因此點P2的坐標為（3，－3）或（－3，3），故應選D.

二、直線的旋轉

例2（長沙）如圖1，在菱形A B C D中，A B＝2，∠A B C＝60°，對角線A C、B D相交于點O，將對角線A C所在的直線繞點O順時針旋轉角α （0°＜α＜90°）后得直線l，直線l與A D、B C兩邊分別相交于點E和點F.

（1）求證：△A O E≌△C O F；

（2）當α＝30°時，求線段E F的長度.

圖1

解析：（1）根據菱形的性質有

A O＝O C，∠O AE＝∠O C F，

又∵ ∠A O E＝∠C O F，

∴ △A O E≌△C O F.

（2）∵ A B＝B C＝2，∠A B C＝60°，

∴ △A B C為等邊三角形.

∴ A C＝2，∠A C B＝60°，

此時O C＝1.

∴ 當α＝30°時，O F⊥B C.

在Rt△O F C中，∠C O F＝30°，

三 角的旋轉

例4 （天津）如圖2，已知?A B C D中，A E⊥B C于點E，以點B為中心，取旋轉角等于∠A B C，把△B A E順時針旋轉，得到△B A′E′，連接D A′.若∠A D C＝60°，∠AD A′＝50°，則∠D A′E′的大小為（ ）.

A.130° B.150°

C.160° D.170°

圖2

解析：∵ ∠AD C＝60°，

∴ ∠A B C＝60°，

∠D AB＝∠C＝120°，

∴ ∠B A E＝∠B A′E′＝30°，

∠D A′B＝∠A′D C＋∠C

＝10°＋120°＝130°，

∴ ∠D A′E′＝∠D A′B＋∠B A′E′

＝30°＋130°＝160°.

故應選C.

四、三角形的旋轉

例4（上海）已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°.將△ABC繞點A旋轉，使點B落在原△ABC的點C處，此時點C落在點D處.延長線段AD，交原三角形的邊BC的延長線于點E，那么線段DE的長等于_____.

圖3

解析：如圖3，過點C作C F⊥AD，垂足為點F.

在Rt△A C F中，

A F＝tan∠A C F×C F＝4 3，

∴ D F＝8－4 3.

在△A B E中，∠B A E＝2∠B A C＝60°，∠B＝75°，則∠E＝45°，

∴ E F＝C F＝4，

∴D E＝E F－D F

例5（菏澤）如圖4，在平面直角坐標系xO y中，直線y＝ 3 x經過點A，作A B⊥x軸于點B，將△A B O繞點B逆時針轉60°得到△C B D.若點B的坐標為（2，0），則點C的坐標為

（ ）.

A.（－1， 3） B.（－2， 3）

C.（-3，1） D.（-3，2）

圖4

解析：∵ 點B的坐標為（2，0），A B⊥x軸，

∴ O B＝2，點A的橫坐標為2.

∴ 點A的縱坐標為2 3，

∴A B＝2 3.

由旋轉的性質得B C＝A B＝2 3，且∠AB C＝60°，

∴ ∠C B O＝90°－∠A B C＝30°.

過點C作C E⊥x軸于點E，

B E＝B C·cos∠C B O

＝2 3·cos30°＝3，

∴O E＝BE－O B＝1，

∴ 點C的坐標為（－1， 3）.

應選A.

五、正方形的旋轉

例6（紹興）正方形A B C D和正方形AE F G有公共頂點A，將正方形A E F G繞點A按順時針方向旋轉，記旋轉角∠D A G＝α，其中0°≤α≤ 180°，連接D F、B F，如圖5.

圖5

（1）若α＝0°，則D F＝B F，請你加以證明.

（2）試畫一個圖形（即反例），說明（1）中命題的逆命題是假命題.

（3）對于（1）中命題的逆命題，如果補充一個條件后能使該逆命題為真命題，請直接寫出你認為需要補充的一個條件，不必說明理由.

解析：如圖6，在正方形A B C D與正方形A E F G中，

∵ G F＝E F，AG＝A E，A D＝A B，

∴ D G＝B E.

又∵ ∠D G F＝∠B E F＝90°，

∴ △D G F≌△B E F，

∴ D F＝B F.

圖7

圖6

（2）圖形（即反例）如圖7.

（3）點F在正方形A B C D內或α＜180°.