隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)的強(qiáng)大數(shù)定律

宋明珠,吳永鋒

(銅陵學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,安徽銅陵244000)

隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)的強(qiáng)大數(shù)定律

宋明珠,吳永鋒

(銅陵學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,安徽銅陵244000)

本文研究了隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)的強(qiáng)極限定理,得到了隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)強(qiáng)大數(shù)定律成立的兩個充分條件,拓寬了已有定理的適用范圍.

隨機(jī)環(huán)境;馬氏鏈;強(qiáng)大數(shù)定律

1　引言與引理

20世紀(jì)80年代初Cogburn等人開始研究隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的一般理論,取得一系列深刻而豐富的成果[1-3].Orey[4]在Cogburn等人研究的基礎(chǔ)對隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈進(jìn)行了深入地研究,并提出一系列的問題,引起眾多概率論學(xué)者的關(guān)注.目前有關(guān)隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律方面的研究文獻(xiàn)比較多,如李應(yīng)求[8]研究了馬氏環(huán)境中馬氏鏈的強(qiáng)極限定理,同時(shí)在文獻(xiàn)[9]中研究了具有離散參數(shù)量的馬氏環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)的強(qiáng)大數(shù)定律.然而隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)的強(qiáng)大數(shù)定律研究卻很少,鑒于此,本文通過對一類馬氏鏈函數(shù)強(qiáng)大數(shù)定理的研究,推進(jìn)這方面的研究.本文研究了隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)的強(qiáng)極限定理,得到了隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)強(qiáng)大數(shù)定律成立的兩個充分條件,已有的文獻(xiàn)是在馬氏環(huán)境中給出了馬氏鏈函數(shù)的強(qiáng)大數(shù)定律,本文僅在隨機(jī)環(huán)境的條件下得到了類似的結(jié)論,從而拓寬了已有定理的適用范圍.

本文沿用文[1-4]中的符號和術(shù)語,設(shè)N表示整數(shù)集,N+表示非負(fù)整數(shù)集,(Ω,F,P)是一概率空間,(X,A)和(Θ,B)均為任意的可測空間,分別是(Ω,F,P)上取值于Θ和X的隨機(jī)序列,{P(θ):θ∈Θ}是(X,A)上的一族轉(zhuǎn)移函數(shù),且對任意的A∈A,P(·;·,A)是關(guān)于B×A可測的,{Kn(.,.)}是(Θ,B)上的一步轉(zhuǎn)移概率函數(shù)族,且假定任意的B∈B,Kn(.,B)是關(guān)于B可測的.對任意序列記

定義1[5]如果對任意的A∈A,n∈N+,有

引理1[5]是隨機(jī)環(huán)境中的馬氏鏈,{fn(.)}n≥0是(X,A)上的有界可測函數(shù)列,令則E[fn(Xn)|Fn-1]=E[fn(Xn)|Xn-1,ξn-1]a.s..

引理2[6](克羅內(nèi)克引理)設(shè){xn}是實(shí)數(shù)的一個序列,{αn,n＞0}是=∞的一個正數(shù)列,若

引理3[6]對任意的事件{En,n∈N+},若P(En)＜∞,則P(Eni.o.)=0.

2　主要結(jié)果及證明

則?k≥1有

及

這里約定?k≥1,X-k=0,ξ-k=0.

證k=1的情況.因?yàn)?≤β≤2,所以當(dāng)|fn(Xn)|＞an＞0時(shí),有

由(2.1)式可知

由引理3可知P(|fn(Xn)|＞ani.o.)=0,即P(＞1 i.o.)=0,所以

由(2.1)式知

所以

記

所以

由(2.2)、(2.3)和(2.4)式可知

下面考慮k＞1的情形.由{Xn,n≥0}的馬氏性知,對于任意的m=1,2,···,k-1,{Xnk+m,n≥0}也是馬氏鏈,由(2.1)式顯然有

由(2.5)式知,對任意的m=1,2,···,k-1,有

從而由(2.6)式知

由引理2和(2.7)式知

即定理1得證.

注定理1與文獻(xiàn)[7]中的引理4都給出了隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)強(qiáng)大數(shù)定律成立的充分條件,但是兩個定理應(yīng)用的前提條件不一樣.

則

證對任意非零的實(shí)數(shù)λ,令

易證E(Mn+1|Fn)=Mn,所以{Mn(λ),Fn,n≥1}是非負(fù)實(shí)值鞅,由鞅收斂定理可知Mn(λ)＜∞a.s.,因此當(dāng)0＜an↑∞,有l(wèi)nMn(λ)≤0a.s.,即

當(dāng)λ＞0時(shí),將(2.8)式兩邊同除以λ可得

當(dāng)λ＜0時(shí),將(2.8)式兩邊同除以λ可得

首先證明0≤α≤1的情況.當(dāng)0＜λ＜β,因?yàn)?/p>

和

故由(2.9)式得

令λ↓0,由(2.11)式可得

當(dāng)β＜λ＜0,由(2.10)式和類似(2.11)式計(jì)算可得

令λ↑0,由上式可得

聯(lián)立(2.12)、(2.13)式可得,當(dāng)0≤α≤1有

再證明1＜α≤2的情況.

當(dāng)0＜λ＜β,因?yàn)閘nx≤x-1(x＞0),ex-1-x≤|x|αe|x|(1＜α≤2),類似(2.11)式得

令λ↓0,則

當(dāng)β＜λ＜0,類似可得

聯(lián)立(2.14),(2.15)式得,當(dāng)1＜α≤2有

綜上所述,定理2得證.

證因?yàn)閧fn(Xn)}n≥0是有界可測函數(shù)列,則存在正數(shù)M,使對任意的n≥0,有|{fn(Xn)}|≤M.當(dāng)0＜λ＜1時(shí),因?yàn)?＜α≤2,則由定理2的證明過程可得

當(dāng)λ＜0時(shí),同時(shí)可得

聯(lián)立(2.16)、(2.17)式得,當(dāng)1＜α≤2有

因?yàn)閧fn(Xn)}n≥0是有界可測函數(shù)列,由引理1可得

綜上所述,推論1得證.

[1]Cogburn R.Markov chains in random environments:the case of Markovian environment[J].SANN. Prob.,1980,8(3):908-916.

[2]Cogburn R.The ergodic theory of Markov Chains in random environments[J].Z.Wahrsch.Verw. Gebiete,1984,66(2):109-128.

[3]Cogburn R.On the central limit theorm for Markov Chains in random environments[J].Ann.Prob., 1991,19(2):587-604.

[4]Orey S.Markov chains with stochastically transtion probabilities[J].Ann.Prob.,1991,19(3):907-928.

[5]吳艷蕾等.隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),2011,27(6):579-586.

[6]劉文,吳讓泉等譯.概率論教程[M].上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,1989.

[7]郭明樂.雙無限環(huán)境中馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2005,18(1):174-180.

[8]李應(yīng)求,王蘇明,胡楊利.馬氏環(huán)境中馬氏鏈的一類強(qiáng)極限定理[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,2008,37(5):539-550.

[9]李應(yīng)求.狀態(tài)可數(shù)的馬氏環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)的強(qiáng)大數(shù)定律[J].數(shù)學(xué)雜志,2003,23(4):484-490.

2010 MR Subject Classification:60F05;60J10

A STRONG LAW OF LARGE NUMBERS FOR FUNCTION OF MARKOV CHAINS IN RANDOM ENVIRONMENTS

SONG Ming-zhu,WU Yong-feng
(Department of Mathematics and Computing,Tongling University,Tongling 244000,China)

In this paper,strong limit theorem for function of Markov chains in random environments are investigated.Moreover two sufficients for the strong law of large numbers for function of Markov chains in random environments are obtained.Some laws we abtained broaden the using area of some results already have.

random environments;Markov chains;a strong law of large numbers

MR(2010)主題分類號:60F05;60J10O211.62

A

0255-7797(2016)06-1245-08

?2014-02-28接收日期:2014-12-17

高校省級自然科學(xué)研究項(xiàng)目(kj2013z331);省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(1308085MA03).

宋明珠(1979-),女,安徽無為,講師,主要研究方向:隨機(jī)環(huán)境中的馬氏鏈.