幾何證明中的數學美

李昌軍

（辰溪實驗中學 湖南懷化 419500）

幾何證明中的數學美

李昌軍

（辰溪實驗中學 湖南懷化 419500）

先論述什么是數學美，再論述觀察中發現基本圖形，感知和諧美;思考中挖掘對稱圖形，觀察對稱美;溝通已知與求證的關系，欣賞思維美;運用發散，收斂思維，探索方法美;類比中進行全方位思考，理解奇異美;運用發散、收斂思維，探索方法美;比較中獲取多種的信息，鑒別簡潔美;使用數學思想，想象策略美。

基本圖形 思維美 方法美 簡潔美

幾何證明中既要添輔助線，起到顯示隱含條件，聚匯分散的已知條件，溝通信息。又要在觀察中用幾何變換（平移、旋轉、對稱、相似、全等、等積變換和角的滑動）添輔助線。還要用各種思維策略與方法。這就體現了和諧美、對稱美、思維美、奇異美、方法美、簡潔美、策略美……

一、什么是數學美

“問題是數學的心臟”;概念是思維的細胞;方法是思維的基礎;策略是思維的靈魂.只有通過問題的解才能訓練學生的數學思維，又只有在充滿興趣的情境下才能訓練學生的數學思維，更只有在數學美的氛圍中才能對數學解題中充滿興趣.什么是數學美呢?它就是數學的優美感.龐加菜說:“數學的優美感，不過就是問題的解答適合我們心靈需要而產生的一種滿足感，正因為這種適應性，這個解答可能成為我們的一種工具，所以這種一美學上的滿足感是和思維、結構緊密相關的.”

二、觀察中發現基本圖形，感知和諧美

復雜圖形是由幾個基本圖形組合而成，每一個公理、定理都有一個基本圖形。幾何證明題都要用公理、定理當論椐，下面的例1是由兩個基本圖反映的定理是“直角三角形鈄邊上的中線等于鈄邊一半”，還有等腰三角形的三線合一定理。

所謂和諧美既是解題中條件與結論的和諧;又是數與形的和諧;更是解題方法與思維策略的和諧;還是數學思想與思維途徑的和諧.

例1：CD與BE分別是三角形ABC中，AB、AC邊上的高線，D、E分別是AB、AC邊上的垂足，H、G分別是DE與BC的中點，求證:DE⊥HG.

圖1分析:要想求證DE⊥HG.必須有GH是DE的垂直平分線，此時又必須用等腰三角形的三線合一定理證GD=GE，這兩條輔助線既成了顯示兩直角三角形鈄邊上的中線性質;又成了聚匯作用、溝通作用、橋梁作用.總之連結DG與EG當輔助線，在證明中起決定、關鍵的鋪墊作用.即這兩條輔助線一添，使得已知與求證互相既溝通又和諧相處，使作題者感到愉悅的心理感受——數學美——和諧美.

三、思考中挖掘對稱圖形，觀察對稱美

對稱不外乎局部與局部的對稱，幾何圖形與數量關系都存在這種對稱性，體現形結構與數（式）結構的對稱是對稱美，數學題已知與結論的對稱性使解題者感到愉悅，也是“一題多解（證）”的依據.解題過程還可以看出對稱美.

例2設兩圓外離，則它的外公切線被兩條內公切線截得的線段等于內公切線長，而一條內公切線在兩外公切線間的線段等于外公切線長。

已知：◎O與◎O’相離，AB和CD是它們的外公切線，EF和GH是它們的內公切線.

求證：MQ=EF，MN=AB.

圖2

要作上圖，用幾何畫板是既明智又準確地選擇.若不用幾何畫板作圖，則圖形既不準確，又不能迅速，明確地進行推理證明.

證明:由對稱性可得AM=ME=CP=GP=a，BQ=HQ=FN=DN=b，EF=GH=x，MQ=PN=y，

由QG=QA推出b+x=y+a又由PH=PD推出a+x=y+b由此得x=y，且a=b故

MQ=EF且MN=AB即例2成立.其證明都是由對稱性所決定的.

四、溝通已知與求證的關系，欣賞思維美

所謂數學思維美就是數學題的最佳解法符合數學思維策略而使解題者感到愉悅的產物.思維美是與結構美相關聯的，什么是結構美呢?布爾巴基學派認為:“數學是研究結構的科學”.數學家龐加萊說:“數學的結構美是指一種內在的美，它來自各部分之間的和諧秩序，并能為純粹的理智所領會，可以說，正是這種內在美給了滿足我們感官的五彩繽紛美景的骨架，使我們面對一個秩序井然的整體，能夠預見數學定理.”可以簡潔的說:“思維美是結構美在認知者頭腦中感到愉悅的心理加工過程.”

例3在銳角三角形ABC中，高BE，CF交于H.

圖3

解析:為證此題，可作輔助圓和作笫三條高AD，用“兩直角三角形有公共的鈄邊，則各頂點共圓”;可知A，F，C，D四點共圓，A，E，D，B也四點共圓，

則有證:

同理可得第二個結論.

例3與例4表面上風馬牛不相及，但在局部與整體的觀察策略上、方法上、四點共圓上、用圓的割線定理上、提出公因式線段的方法上、化難為易的轉化策略上、輔助線與輔助圓的溝通策略上，都完全可以類比.

AB×EF=AD×BE=BC×AE（高中新課標選修4-1P19習題1.2笫7題改編）

圖4

只要提示①過E作EF⊥AB垂足在AB上;②“四邊形的對角互補，則四點共圓”；③可推出A，F，E，D及B，C，E，F都四點共圓，讀者用類比聯想的思維策略，成績中、下的學生也可激活此題.

證明：過交點E作EF⊥AB于F，由四邊形的對角互補可得A，F，E，D與B，F，E，C都四點共圓，盡管這兩個圓沒有畫出來，也可以想象出這兩個圓客觀存在，而得出笫三步的兩個等式：

兩個幾何證明題數學思想方法相比較、思維策略相比較、四點共圓相比較、圓的割線定理相比較，提出公因式線段的方法上、難道讀者不感到一種心理的愉悅嗎？！

五、類比中進行全方位思考，理解奇異美

所謂奇異美是數學美的基本形式之一，又是所得結論的新穎、獨特、奇特、出人意料，徐利治教授說:“奇異是一種美，奇異到極度更是一種美.”對于內行來說，奇異是使人感到“既在情理之中，又在意料之外”的感覺，前者和諧;后者奇特

“類比就是相似比較.”聯想是一種既有目的又有方向的想象，是由當前感知或思考的問題想起其它事物的心理活動.所謂類比聯想是以類比為方法、以聯想為導向的探求規律和探索解題思路的策略

例5分Θo的半徑OA于B，使大線段OB是全線段OA和小線段AB的比例中項，以OB為半徑作同心圓，求證：環的面積是原圓面積和同心圓面積的比例中項。

證明：因為

圖5

所以，原圓∶環=環∶同心小圓，即.環的面積是原圓面積和同心圓面積的比例中項.

這難道不是所得結論的新穎、獨特、奇特、出人意料嗎？！下面的例6更具有奇異美，讀者不妨自己作一下，親自感受一下數學的奇異美.

例6七個等圓相切，被包于一環中，若環寬等于圓半徑，求證七等圓面積之和等于環的面積。（讀者自己完成證明）

六運用發散、收斂思維，探索方法美

所謂方法美是指解答（或證明）復雜的數學問題中，體現出來的美妙之處使心靈感到一種愉快的驚奇.聯想是一種既有目的又有方向的想象，是由當前感知或思考的事物想起的相關連的事物，再進一步想起其它事物的心理活動.聯想是以觀察為基礎，以想象為翅膀，以記億為保證，以思維為核心的思維方法.在數學教學中的聯想可分為類比聯想、可逆聯想、對比聯想、化歸聯想、數形聯想、因果聯想、特殊化和普遍化聯想等七種.[1]

例7P是矩形ABCD中對角線BD上一點，AP⊥BD，PX⊥BC，PY⊥DC，求證:

圖6

結論有奇異性，由于解題者的苦苦追求，很多理解性困難被各個擊破，如ABsinα=PB，BDsinα=D C，平方與立方的等式轉化為分數指數的等式，……這些都體現了“數學思維由不理解到理解”的奮斗就是美，孟子說的“充實之為美”.例1結論之“難”與用三角函數定義證明之“易”，在“意料之外”與“在情理之中”兩相比較，是和諧與奇異的和諧美.

積極思維是數學美的本源，數與形如此巧妙的協調:形激活數，奇異的結論在情理之中;數激活形，明顯的圖形，顯然的已知用三種方法證明出奇異的結論對讀者來說一定是在意料之外.“數學的優美感，不過就是問題的解答適合我們心靈需要而產生的滿足感.”

七比較中獲取多種的信息，鑒別簡潔美

所謂簡潔美是指一個復雜問題的簡單解法.它是優化解題思路的內驅動力因素之一.正如高斯評價自己的工作說:“去尋求一種最美和最簡潔的證明，乃是吸引我去研究的主要動力.”

也正如法國哲學家狄德羅說:“數學中所謂美的問題，是指一個難以解決的問題，而所謂美的解答則是困難問題和復雜問題的簡單回答.”

例8在梯形ABCD中，AD∥BC，二對角線相交于O點，若

圖7

OB∶OD，須證CO∶OA=OB∶OD，這就是相似三角形的相似比，成立。

這種證明既直觀，又簡潔.還可以采取先猜后證的數學思想.這肯定是“去尋求一種最美和最簡潔的證明，乃是吸引我去研究的主要動力.”

八使用數學思想，想象策略美

所謂“解題策略是高層次的解題方法，是對解題途徑的概括性的認識.[2]”

例9三角形ABC中AD是角A的平分線，已知AB=AC+CD，求證:

分析:有角平分線時，總是將三角形ADC關于角平分線AD作對稱變換得三角形ADE，

圖8

證明：在AB上取AE=AC，則E點和C點關于AD對稱。連結DE，由對稱性得CD=ED

∠AED=∠C，但AB=AC+CD即AE+EB=AE+ED推 出EB=ED由此得出 ∠EDB=∠B?∠C=∠AED=∠B+∠EDB=2∠B。

例10：這種對證題途徑的概括性認識既有予見；又恰好可能，難道不是解題策略使作題者產生愉悅的心理感受嗎？！當然是策略美。

如圖1，在 ?ABC中，∠C=90°,以AB、BC、CA為邊分別在形外作正方形ABDE、BKHC、CFGA，（1）求證：G E2+K D2=5A B2。（2）求證：S?BDK=S?AEG=S?ABC。

如何用幾何畫版作旋轉呢?首先點擊自定義工具中的一級菜單中的三角形到二級菜單中的直角三角形，得Rt⊿ABC，其次點擊自定義工具中的一級菜單中的四邊形到二級菜單中的正方形，按由C到B、由A到C、由A到B的順序作三個正方形，連結KD、EG。作旋轉時要特別注意，將Rt⊿ABC塗上陰影，再用左鍵雙擊A點（選中旋轉中心），再用鼠標點擊“變換欄目”，再點擊旋轉變換，出現你要求的旋轉角-90°，后點擊旋轉得Rt⊿AME，同樣可得Rt⊿BND，注意旋轉角是+90°，為什么?

∠CBA=π?∠KBD?sin∠CBA=sin ∠KBD?S?ABC=S?BDK同理可得：S?AEG=S?ABC。所以S?BDK=S?AEG=S?ABC。

圖1

對于（1）可用旋轉變換，將三角形ABC分別繞A，B兩點按順，逆時針方向旋轉至⊿AEM，⊿DBN的位置，其旋轉角度分別是的大小，GM=2b，BN=EM=a，NK=2a依勾股定理有

綜上所述，首先，各種數學美是相互聯系的；其次，挖掘新穎、獨特的策略美、奇妙曲線的思維美、出奇制勝的奇異美、類比聯想的方法美、廣泛聯系的和諧美、結構形式的對稱美、復雜問題的簡潔美、鋪墊，激活的教學美與積極創新的探索美，學生一定會興趣十足、充滿激情地與數學教師共同探討數學規律和解題的思維途徑，遇到是最難的數學競賽題，學生也會不感到有壓力.

[1]傅世球著數學教學藝術導論（M）西安陜西人民教育出版社2000年5月p156

[2]戴再平著數學習題理論（M）上海上海教育出版社1997年版