森林火災SIR模型及仿真模擬

尹楠

（南京曉莊學院商學院，南京211171）

森林火災SIR模型及仿真模擬

尹楠

（南京曉莊學院商學院，南京211171）

文章借鑒傳染病研究中的SIR模型，并結合森林火災發生的特點，建立森林火災SIR模型并對森林火災燃燒擴散狀態進行仿真模擬，根據模擬仿真結果及分析結論，得出了有效預防和控制森林火災的手段。

SIR模型；森林火災；仿真模擬

0　引言

SIR模型是傳染病研究模型中最經典的模型，該模型中S表示易感者，I表示感染者，R表示移出者。利用該SIR模型，可以研究某種傳染病的傳播擴散機制，并建立數學模型去模擬其傳播過程。而對于森林火災的發生及擴散，類似于傳染病傳播過程，因此也可以應用SIR模型去進行分析。本文正是基于傳染病的SIR模型，并結合森林火災的發生特點，建立森林火災SIR模型，并進行模型的仿真模擬實現過程。利用該火災模型，可以對森林火災發生的狀態進行預測，并有效預防和控制森林火災的發生或蔓延。

1　森林火災SIR模型的建立

1.1森林火災發生的特點

森林火災的發生具有蔓延快、感染性強的特點。在一片森林區域，如果一棵樹木著火，會導致周邊樹木的著火，并引起火勢迅速向四周蔓延，最終會影響整片森林區域。其主要特征表現為在一個固定區域內，個體間相互作用的模擬。與傳統的傳染病研究SIR模型的特點相類似，因此可以借鑒傳染病SIR模型去研究森林火災的發生及蔓延。

1.2森林火災模型的假設條件

（1）在森林火災發生期內所考察的地區范圍不考慮樹種的生長、死亡、遷移等種群動力因素。總樹種數N(t)不變，樹種始終保持一個常數N。樹種群分為以下三類：易觸火者(未燃燒)，其數量比例記為s(t)，表示t時刻未燃燒但有可能被大火觸及的樹種數占總樹種數的比例；觸火者(燃燒中)，其數量比例記為i(t)，表示t時刻已被燃燒成為觸火樹種而且具有傳染力的樹種數占總樹種數的比例；移除者(熄滅)，其數量比例記為r(t)，表示t時刻已從燃燒樹種中移出的樹種占總人數的比例。

（2）假設時間以小時為計量單位，樹種的每小時觸火率為λ，每小時熄滅率為μ，觸火期接觸數為

1.3森林火災模型的構成

在以上三個基本假設條件下，易觸火者（未燃燒）從觸火到移除的過程圖表示如下：

根據假設（1）可以得出：

s(t)+i(t)+r(t)=1

需要建立s(t)，i(t)，r(t)的兩個方程組，如下所示：

N[i(t+△t)-i(t)]=λNs(t)i(t)△t-μNi(t)△t

N[s(t+△t)-s(t)]=-λNs(t)i(t)△t

對于移除體(熄滅)的數量應為：

假設初始時刻的易觸火者(未燃燒)，觸火者(燃燒中)，移除者(熄滅)的比例分別為[s0]（[s0]＞0），[i0]（[i0]＞0），[r0]=0。于是得到SIR模型為如下微分方程組初值問題：

而由s+i+r=1有dr/dt=-di/dt-ds/dt，于是上式的第三個方程變為恒等式，從而模型可以簡化為：

i0+s0≈1(通常r(0)=r0很小）

可以得出相軌線：

相軌線i(s)的定義域為：D={(s，i)|s≥0，i≥0，s+i≤1}，可以作出相軌線i(s)的圖形進行分析。

圖1　相軌線i(s)

當s(t)單調減趨向于相軌線i(s)的方向，s=1/σ，i=im，

圖1中P1為s0＞1/σ→i(t)先升后降至0，表示森林火災會蔓延。P2為s0＜1/σ→i(t)單調降至0，表示森林火災不蔓延。可以得出預防森林火災蔓延的條件，即為s0＜1/σ。因此可以通過提高閾值1/σ達到降低s(=λ/μ)的目的，即降低觸火率λ，提高熄滅率μ。

2　森林火災SIR模型改善及模擬仿真

森林火災模型的主要特點表現在火災的發生對空間個體相互作用的模擬。基于已建立的森林火災SIR模型，觸火者(燃燒中)只能觸及與其相鄰的易觸火者(未燃燒)。因此定義點(x,y)的8個相鄰點分別為：(x-1,y-1)，(x-1,y)，(x-1,y+1)，(x,y-1)，(x,y+1)，(x+1,y-1)，(x+1,y)，(x+1,y+1)。利用離散化的步驟改善模型。在每一步中，每個觸火個體以概率λ觸及與其相鄰的易觸火者(未燃燒)。令x表示與一個易觸火者(未燃燒)相鄰的觸火者(燃燒中)總數，則該易觸火者(未燃燒)以概率(1-λ)x保持未被觸火。在觸及其他個體被觸火后，每個觸火者(燃燒中)以概率μ被移除。

假設森林火災限制在一個空間為二維的矩陣網格中，令Xt表示在時刻t時的一個二維矩陣，并且令Xt(i，j)=

在數據分析軟件中模擬森林火災模型的模擬仿真實驗，得出如下的輸出結果散點圖。

圖2　λ=0.2，μ=0.7的森林火災模擬擴散圖

假設在二維矩陣圖中，在網格中心位置存在單一的著火點，在5，10，15，20小時模擬森林火災的擴散，圖2為在觸火率λ=0.2，熄滅率μ=0.7的模擬森林火災的兩個狀態。圖中深色和淺色點分別表示觸火者(燃燒中)和移除者(熄滅)。

圖3　λ=0.4，μ=0.6的森林火災模擬擴散圖

從圖3可以看出，當λ=0.4，μ=0.6，模擬森林火災的擴散速度和面積變大，可以得出這樣的結論，隨著λ的增加或者μ的減少，森林火災擴散，即發生大型火災的概率將大大增加。

3　結論

本研究根據SIR模型建立森林火災發生的模擬仿真，在一個空間為二維的矩陣網格中模擬森林火災的發生狀態。結論表明，當觸火率λ增加，或者熄滅率μ減小時，森林發生大型火災的概率將會增加。同時，根據該森林火災模型能夠很好的模擬火災發生的演變狀態，文中限于篇幅僅列出了四種狀態。從火災模擬的演變過程可以看出，火災的擴散并不是直線型的，而是屬于一種不規則的變動，如果假設火災的發生是沿著直線方向燃燒，那么每一個未燃燒樹木，即易觸火者(未燃燒)都與三個燃燒的樹木，即觸火者(燃燒中)相鄰，該樹木著火的可能性為1-(1-λ)3,考慮到樹木，即每個觸火者(燃燒中)以概率μ被移除，因此1-(1-λ)3＞μ，火災將會變大。

根據上述建立的森林火災SIR模型的模擬仿真結果及分析結論，可以看出，為預防和控制森林火災的發生或蔓延，只有通過降低觸火率λ和提高熄滅率μ兩個基本途徑，其中降低觸火率可以通過禁止森林區域內的一切火源，例如禁止吸煙、禁止燃燒等途徑降低觸火率，達到預防或者控制火災的目的。提高熄滅率可以通過研制新型防火滅火工具等手段去更好的控制森林火災的發生或蔓延。

[1]馮麗萍,王鴻斌,馮素琴.改進的SIR計算機病毒傳播模型[J].計算機應用,2011,(7).

[2]馬源源,莊新田,李凌軒.股市中危機傳播的SIR模型及其仿真[J].管理科學學報,2013,(7).

[3]李可嘉,王義康.改進SIR模型在社交網絡信息傳播中的應用[J].電子科技,2013,(8).

（責任編輯/易永生）

S762

A

1002-6487（2016）19-0076-02

尹楠（1982—），男，江蘇鎮江人，博士，講師，研究方向：管理信息系統。