EGARCH-M模型在證券時間序列分析中的應用

楊世康，鄧世權，童汝超，龍見遠，吳巧霞

（凱里學院，貴州 凱里 556011）

EGARCH-M模型在證券時間序列分析中的應用

楊世康，鄧世權，童汝超，龍見遠，吳巧霞

（凱里學院，貴州 凱里 556011）

證券綜合指數的對數收益率的折線圖反映收益率的波動呈現出在一段時間內波動比較大，一段時間波動比較小，方差隨著時間的變化而變化。在對時間序列數據進行研究的時候，通常假設隨著時間的變化方差不會發生變化。但是在關注預測的精確程度時，需要了解方差的大小。文章用Eviews軟件對上證綜指日收盤價的對數收益率建立EGARCH-M模型，對收益率序列呈現出的波動聚集性，杠桿效應、風險與收益的關系等特征進行了分析，最終對波動率進行預測，結果表明EGARCH-M模型充分描述了波動性聚類的特點，只用很少的參數就可以把實際數據擬合得很好。該模型形式簡單，容易估計，提高了對方差的預測精度，對收益率波動率建立模型對于宏觀經濟理論和金融理論有重要的意義。

對數收益率；風險；聚類；EGARCH-M；杠桿效應

1986年Bollerslev[1]提出了廣義的ARCH模型（Generalized ARCH Model, GARCH）GARCH模型在實際中有廣泛的應用。金融資產的收益率應當與風險成正比，將收益率的條件方差或者條件方差的其他形式加入到其均值方程中，在GARCH模型的基礎上，出現了均值GARCH模型（GARCH-M）。相關研究表明，金融資產價格的下跌比相同幅度的價格上漲對資產價格波動的沖擊影響更大，即“杠桿效應”，所以人們提出了非對稱ARCH模型,指數GARCH模型（Exponential GARCH,EGARCH）就是其中的一種[2]。本文融合了GARCH-M模型和EGARCH模型，在GARCH-M模型中加入非對稱項，建立EGARCH-M模型對我國上證綜合指數的日對數收益率進行了分析。

1 EGARCH-M模型

1.1 ARCH效應

（1）ARCH效應的描述。金融資產價格或者收益率等高頻數據表現出在一個大的波動后面常常會跟著另一個大的波動，而在一個小的波動后面常常會跟著另一個小的波動現象。這種現象稱之為ARCH效應[3]。

（2）殘差平方相關圖。殘差平方相關圖可以用于檢測殘差序列是否存在ARCH效應，如果殘差在所有滯后階數上的自相關函數和偏自相關函數統計上都顯著地異于零，而且其相應的Q統計量也顯著，說明存在ARCH效應，否則說明不存在ARCH效應[4]。

1.2 GARCH-M模型[5]

（1）GARCH模型。當檢測到ARCH效應時可以建立GARCH模型來擬合原序列。在GARCH系列模型中一個形式簡單且應用廣泛的是GARCH（1，1）模型，其形式如方程（1）所示。

其中第一個方程稱為均值方程，第二個方程為條件方差方程。

（2）GARCH-M模型。在一般的GARCH模型中，假設金融序列的條件均值是不變的。但在很多情況下，金融資產的收益率常常與投資風險緊密相連。GARCH-M模型，在GARCH模型的均值方程中加入衡量風險的GARCH項。GARCH-M模型的表達式如方程（2）所示。

1.3 EGARCH-M模型[6]

為了能夠解釋金融時間序列經常存在的“杠桿效應”即資產價格的下跌比同樣程度的價格上漲產生的波動更大，人們提出了非對稱的GARCH模型，EGARCH模型就是其中的一種。EGARCH-M模型即指數GARCH-M模型，其方差等式分析的不是σt2而是1n σt2。

2 實證分析

2.1 建立隨機游走模型

首先生成SZZS的自然對數序列。把上證綜指序列用“SZZS”表示。求SZZS的自然對數公式為：

對SZZS建立如方程（4）隨機游走模型：

對方程（4）進行估計，方程估計 結 果 顯 示， F 統 計量顯著表明方程整體上是顯著的，R2=0.998 177，表明方程擬合效果比較好。

首先生成殘差序列，其折線圖回歸方程的殘差表現出波動聚集性，大的波動后面伴隨著較大波動，小的波動后面伴隨著較小的波動，該特征表明存在ARCH效應。

2.3 建立EGARCH-M模型

在本文中用SZZS的對數收益率建立模型。在研究過程中，不直接對SZZS建立模型，而是對其對數收益率建立模型，因為人們發現上證綜指的日收盤價的序列是不平穩的，但它的對數收益率是平穩的，便于建立模型來進行研究。本文中用rt來表示SZZS的對數收益率。如方程（5）所示：

2.3.1 對數收益率序列特征分析

（1）對數收益率序列相關圖。rt.的自相關函數和偏自相關函數絕大多數都在95%的置信區域內時Q統計量的值也不顯著，因此可以認為rt不存在自相關。

（2）對數收益率序列的直方圖和基本統計量信息。可以看到rt是不對稱的，而且其左尾拖得比較長，序列rt的偏度為-0.097 798，也表明序列rt呈左偏分布的。序列rt的峰度為6.961 026，其峰度值大于正態分布假設的3，從而表明其分布呈“尖峰、厚尾”的特點。序列rt的J-B統計量非常大，其相應的概率值非常小，所以可以認為rt不服從正態分布。序列rt的均值為0.000 697，非常接近于0。

2.3.2 EGARCH-M模型估計

均值方程：

其中假定誤差項ut服從t分布，自由度為5.297 290，z統計量為9.388 465。

條件方差方程：

AIC準則=-5.632 146，SC準則=-5.619 789

從所估計的均值方程可以看到，的系數為0.032 455，表明當市場中預期風險增加1%時，會導致預期收益率也相應增加0.032 455%。

條件方差方程中非對稱項的估計值為-0.030 663，小于零且顯著，從而表明壞消息對波動有杠桿效應。EGARCH-M的信息影響曲線可以看到在0的左邊（z＜0）曲線的斜率的絕對值比較大，而在0的右邊（z＞0）曲線斜率的絕對值比較小，從而說明負的沖擊比正的沖擊對波動性影響更大。

3 結語

本文用ARCH模型的變形即EGARCH-M模型對SZZS的波動聚集性、杠桿效應、收益率與風險的關系等進行了很好的描述與分析，可以在時間序列的預測方面有較好的表現。借助EViews軟件，可將ARCH模型應用于金融的時間序列問題的研究和預測。然而ARCH模型有很多變形，根據樣本的不同，需要選擇合適的模型和參數，有時對模型參數的選擇得反復嘗試，最終選擇正確的模型。

[1]BOLLERSLEV T, MEDDAHI N. Realized volatility forecasting and market microstructure noise[J]. Econometrics,2011（160）：220-234.

[2]潘紅宇.金融時間序列模型[M].北京：對外經濟貿易大學出版社，2008.

[3]張成思.金融計量學：時間序列分析視角[M].北京：中國人民大學出版社，2012.

[4]彭作祥.金融時間序列建模分析[M].成都：西南財經大學出版社，2006.

[5]易丹輝.時間序列分析：方法與應用[M].北京：中國人民大學出版社，2011.

[5]吳懷宇.時間序列分析與綜合[M].武漢：武漢大學出版社，2004.

[6]任英華.EViews應用實驗教程[M].長沙：湖南大學出版社，2008.

Application of EGARCH-M model in the stock time series analysis

Yang Shikang, Deng Shiquan, Tong Ruchao, Long Jianyuan, Wu Qiaoxia
（Kaili University, Kaili 556011, China）

From the line chart of Logarithmic yield of stock composite index, it can be seen that the fluctuation of yields shown relatively large in a period of time and relatively small in another period, which shows that the variance changes with time changes. In the study of time serious data, it is usually assumed that the variance will not change as time changes. But when we concern about the degree of accuracy of the forecast, we need to know the size of the variance. The article use Eviews software to build EGARCH-M model for the logarithm yield of Shanghai composite index day closing price, to analyze features of volatility clustering showed in yield sequence, leverage effects, the relationship between risks and returns, and finally make a forecast to volatility. The results show that the EGARCH-M model adequately describes the characteristics of volatility clustering. With only a few parameters that can fit the actual data well. The form of the model is simple, easy to estimate, which improves the forecast accuracy of variance. It has a great importance in the building of model of yield volatility and macroeconomic theory and financial theory.

logarithmic yield; risks; clustering; EGARCH-M; leverage effects

楊世康（1988— ），男，貴州凱里，碩士；研究方向：無線通信，個人通信以及認知無線電頻譜分配等。