骨折非平衡牽引與骨折移位關(guān)系數(shù)學(xué)模型的初建與應(yīng)用

葉丹丹，張 飛，陳 偉，鄭占樂，李 升，張英澤(河北醫(yī)科大學(xué)第三醫(yī)院創(chuàng)傷急救中心，河北省骨科研究所，河北省骨科生物力學(xué)重點實驗室，河北 石家莊 050051)

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骨折非平衡牽引與骨折移位關(guān)系數(shù)學(xué)模型的初建與應(yīng)用

葉丹丹，張 飛，陳 偉，鄭占樂，李 升，張英澤*(河北醫(yī)科大學(xué)第三醫(yī)院創(chuàng)傷急救中心，河北省骨科研究所，河北省骨科生物力學(xué)重點實驗室，河北 石家莊 050051)

骨折；牽引術(shù)；數(shù)學(xué)模型

牽引是臨床常用的骨折復(fù)位方法[1-3]。骨折遠(yuǎn)端牽引針的角度、方向與骨折復(fù)位，包括旋轉(zhuǎn)移位、重疊移位、側(cè)方移位，有著直接關(guān)系。牽引針的方向會影響到肢體機(jī)械軸線和骨折周圍軟組織的運行軌跡，若牽引針的角度不正常，則移位的骨折端難以達(dá)到正確的復(fù)位。本研究通過生物力學(xué)實驗并建立數(shù)學(xué)模型來觀察遠(yuǎn)端牽引針角度與骨折遠(yuǎn)端的移位關(guān)系。

1 理論基礎(chǔ)

剛體變換是指一個剛性幾何體在三維空間中作旋轉(zhuǎn)、平移的運動。 在運動學(xué)里，剛體在作一個位移的時候，剛體內(nèi)部至少有一點固定不動，則此位移等價于一個繞著包含那固定點的固定軸的旋轉(zhuǎn)。三維平移變換、比例變換可看成是二維情況的直接推廣。但旋轉(zhuǎn)變換則不然，因為我們可選取空間任意方向作旋轉(zhuǎn)軸，因此三維變換處理起來更為復(fù)雜。若以坐標(biāo)系的三個坐標(biāo)軸x、y、z分別作為旋轉(zhuǎn)軸，則點實際上只在垂直坐標(biāo)軸的平面上作二維旋轉(zhuǎn)。此時用二維旋轉(zhuǎn)公式就可以直接推出三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣。規(guī)定在右手坐標(biāo)系中，物體旋轉(zhuǎn)的正方向是右手螺旋方向，即從該軸正半軸向原點看是逆時針方向。

①繞z軸正向旋轉(zhuǎn)γ角，旋轉(zhuǎn)后點的z坐標(biāo)值不變,x、y坐標(biāo)的變化相當(dāng)于在xoy平面內(nèi)作正γ角旋轉(zhuǎn)。

②繞x軸正向旋轉(zhuǎn)α角，旋轉(zhuǎn)后點的x坐標(biāo)值不變，y、z坐標(biāo)的變化相當(dāng)于在yoz平面內(nèi)作正α角旋轉(zhuǎn)。

③繞y軸正向旋轉(zhuǎn)β角，y坐標(biāo)值不變，z、x的坐標(biāo)相當(dāng)于在zox平面內(nèi)作正β角旋轉(zhuǎn)。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 模型1 以股骨干骨折為例進(jìn)行建模，把股骨理想化為一個圓柱體，每次牽引針均經(jīng)過圓柱的軸，不考慮肌肉對最終牽引效果的影響。在這個模型里，骨折近端的矢狀面是一個平面α，牽引針是看作線段AB，作經(jīng)過骨折遠(yuǎn)端圓柱的軸且與平面α垂直的平面β。任取在骨折遠(yuǎn)端圓柱的軸上一點O為空間直角坐標(biāo)系的原點，以此圓柱的軸為x軸，在平面β過點O作垂直于x軸的直線為y軸，過點O作垂直于平面β的直線為z軸。點O1是骨折遠(yuǎn)端的切平面的圓心(圖1)。

圖1 立體模型1的空間直角坐標(biāo)系

證明：設(shè)骨折遠(yuǎn)端圓柱的軸OO1與牽引針AB的夾角為。在平面β上的牽引針AB在牽引力的作用下，繞z軸負(fù)向旋轉(zhuǎn)，這樣使在平面β上的牽引針AB與y軸平行。因為牽引針AB在冠狀面β上旋轉(zhuǎn)，所以骨折遠(yuǎn)端圓柱自身不會發(fā)生轉(zhuǎn)動。我們可以把骨折遠(yuǎn)端圓柱看作為線段OO1。設(shè)點O1的坐標(biāo)為(x0,0,0)，旋轉(zhuǎn)后點O1的坐標(biāo)為(x′,y′,z′)，則：

此時，牽引針AB與線段OO1在平面xoy上，所以我們可以轉(zhuǎn)換到二維空間上計算(圖2)。

圖2 牽引針在冠狀面上旋轉(zhuǎn)變化的平面直角坐標(biāo)系

在圖2中，點O1的坐標(biāo)為(x0,0)，旋轉(zhuǎn)后點O1的坐標(biāo)為(x′,y′)，則：

即x′=cos((。直線OO1與直線的夾角為。

2.2 模型2 在模型1的基礎(chǔ)上，作垂直于骨折遠(yuǎn)端圓柱的軸的平面γ，O是骨折遠(yuǎn)端圓柱的軸與平面γ的垂足，牽引針是看作在平面γ上的過點O的線段AB。以O(shè)為空間直角坐標(biāo)系的原點，以此圓柱的軸為x軸，在平面γ上，過點O作垂直于x軸的直線為y軸，過點O作垂直于y軸的直線為z軸。點O1是骨折遠(yuǎn)端的切平面的圓心，線段EF是一個在y軸上的線段(圖3)。

圖3 立體模型2的空間直角坐標(biāo)系

證明：設(shè)在水平面上的y軸與牽引針AB的夾角為。在平面γ上的牽引針AB在牽引力的作用下，繞x軸負(fù)向旋轉(zhuǎn)，這樣使在平面γ上的牽引針AB與y軸重合。因為牽引針AB在平面γ上旋轉(zhuǎn)，所以骨折遠(yuǎn)端圓柱自身發(fā)生轉(zhuǎn)動，整體不會發(fā)生移動。此時，牽引針AB與骨折遠(yuǎn)端圓柱自身在平面yoz上，所以我們可以轉(zhuǎn)換到二維空間上計算(圖4)。

圖4 牽引針在水平面上旋轉(zhuǎn)變化的平面直角坐標(biāo)系

此時，若是牽引針AB與y軸重合，則牽引針AB需要旋轉(zhuǎn)角，即是股骨沒有發(fā)生位移的變化，只是自身發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，使骨折處的吻合度發(fā)生變化。

3 討 論

牽引是糾正骨折移位最常用的方法。但如果牽引針的角度和方向與肢體的機(jī)械軸線不一致，違背了肌肉的正常運行軌跡，牽引會使骨折端發(fā)生旋轉(zhuǎn)、成角或側(cè)方移位等[4]。許多骨科醫(yī)生在臨床實踐中已經(jīng)認(rèn)識到了平衡牽引的重要性。目前，平衡的改變與骨折端移位的關(guān)系，特別是生物力學(xué)性能、肌肉的運行軌跡與骨折遠(yuǎn)端的移位關(guān)系尚未建立數(shù)學(xué)模型。本研究通過對新鮮整具尸體標(biāo)本進(jìn)行生物力學(xué)實驗，初步建立了數(shù)學(xué)模型。

以股骨骨折為例建立數(shù)學(xué)模型，該模型將股骨理想化為一根直徑均一的圓柱體，牽引針經(jīng)過該圓柱的軸，不考慮肌肉及重力的影響。通過系統(tǒng)計算發(fā)現(xiàn)，若牽引針AB在冠狀面與股骨成角，則牽開后遠(yuǎn)端骨折塊在冠狀面上最終發(fā)生的旋轉(zhuǎn)。若牽引針在水平面上與冠狀面成角，則牽開后遠(yuǎn)端骨折塊在水平面上最終將發(fā)生角旋轉(zhuǎn)。

[1] 王娟,李升,臧硯超,等.應(yīng)用四肢長骨骨折快速復(fù)位器治療股骨骨折[J].河北醫(yī)科大學(xué)學(xué)報,2014,35(2):220-221，封三.

[2] 楊宗酉,陳偉,劉勃,等.應(yīng)用四肢長骨骨折髓內(nèi)復(fù)位器治療股骨干骨折[J].河北醫(yī)科大學(xué)學(xué)報,2014,35(11):1339-1340，封三.

[3] 魏俊強(qiáng),劉利蕊,潘進(jìn)社,等.仰臥位與側(cè)臥位閉合復(fù)位髓內(nèi)釘內(nèi)固定治療股骨干骨折的療效比較[J].中華創(chuàng)傷骨科雜志,2013,15(8):660-665.

[4] Chen W,Zhang T,Wang J,et al. Minimally invasive treatment of displaced femoral shaft fractures with a rapid reductor and intramedullary nail fixation[J]. Int Orthop,2016,40(1):167-172.

(本文編輯：劉斯靜)

2016-10-24；

2016-11-14

葉丹丹(1989-)，女，江蘇宿遷人，河北醫(yī)科大學(xué)第三醫(yī)院實習(xí)研究員，理學(xué)碩士，從事骨科相關(guān)數(shù)學(xué)模型研究。

*通訊作者。E-mail：yzling_liu@163.com

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1007-3205(2016)11-1356-03

10.3969/j.issn.1007-3205.2016.11.032