雙分數Vasicek利率下重置期權定價

薛 紅，董瑩瑩

(西安工程大學理學院，陜西 西安 710048)

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雙分數Vasicek利率下重置期權定價

薛 紅，董瑩瑩

(西安工程大學理學院，陜西 西安 710048)

假定股票價格滿足雙分數布朗運動驅動的隨機微分方程，利率滿足雙分數Vasicek利率模型，根據雙分數布朗運動隨機分析理論及保險精算方法，討論了重置期權的定價問題，建立相應的金融市場模型并獲得了雙分數Vasicek利率下重置期權定價公式.

雙分數布朗運動；Vasicek利率；保險精算；重置期權

重置期權是現代金融市場中廣泛應用的一種新型期權[1],其敲定價格可以按照一定的規則作出調整,以便使持有者擁有更多的獲利機會，深受投資者喜愛重視.文獻[2-5]是在常數利率下對重置期權進行研究得到的結果.但大量實證研究表明，在實際金融市場中，利率具有均值回復的特征，長期利率的波動會小于短期利率的波動，在利率水平較高時，其波動也較大.文獻[6]假設股票價格滿足布朗運動，利率滿足擴展的Vasicek模型，運用鞅理論及Gisanov定理，獲得了重置看漲期權的定價公式.文獻[7]假設股票價格滿足布朗運動，利率滿足Vasicek模型，借助多元正態分布函數與無套利理論，得到了重置期權的一組顯示定價公式和近似計算方法.文獻[8]假設股票價格遵循幾何布朗運動，利率滿足Vasicek模型，利用偏微分方程方法，獲得了重置期權的定價公式.近幾年，不少學者提出了雙分數布朗運動，文獻[9-12]給出了雙分數布朗運動的定義、性質及其在期權定價中的應用.文獻[13-17]是隨機利率下幾種金融衍生產品的定價.本文是在股票價格服從雙分數布朗運動、利率滿足Vasicek模型、建立雙分數布朗運動環境下的金融市場數學模型，利用保險精算方法推導出重置期權的定價公式.

1 金融市場數學模型

考慮如下模型(A):利率rt和股票價格St分別滿足如下隨機微分方程：

(1)

(2)

(3)

(4)

引理3 {St,t≥0}在[t,T]上的期望回報率滿足βu=μ,u∈[t,T].

證明 由引理2可知

由定義2可得

再由

2 隨機Vasicek利率下重置期權定價

定理1 標準歐式看漲期權在t時刻保險精算價格為

證明 由定義3得

綜上，定理得證.

定義5 重置看漲期權在t(t

定理2 用CRS(t,T1,T)表示重置看漲期權在時刻t的價格，重置時間為T1的重置看漲期權在時刻t的保險精算定價為

1)當t∈[T1,T]時，CRS(t,T1,T)=C(t,T,Y)I{ST1≥Y}+C(t,T,ST1)I{ST1

2)當t∈[0,T1]時，有

證明 1)當T1≤t≤T時，根據定理1易得結論.

由引理1，引理2和引理3可知，

再由A∩B={η1-η2>d1,η2+η4d3,η2+η4>d2},

合并上述Π1,Π2,Π3,Π4的計算式即證定理2.

注1 1)當K=1時，可得分數布朗運動環境下重置期權定價公式(見文獻[5])；

2)當T1=T時，可得雙分數布朗運動環境下標準歐式看漲期權的保險精算定價公式(見定理1).

3 結 論

本文將重置期權定價理論作了進一步的推廣.由于雙分數布朗運動是一種比分數布朗運動更一般的高斯過程，它不僅無獨立增量性，也不具有平穩增量性，即雙分數布朗運動可以描述分數布朗運動描述不了的股價變化非平穩的情形，所以雙分數布朗運動較之于幾何布朗運動和分數布朗運動能更好地描述股票價格的波動；而且隨機Vasicek利率較常數利率更貼近實際的金融市場環境.故本文在雙分數Vasicek利率下對重置期權進行研究得到的定價公式更具有實際意義，同時豐富了重置期權定價研究的理論.

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Reset Option Pricing in Bi-fractional Vasicek Rate Environment

XUE Hong, DONG Yingying

(School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

Assume that stock price follows the stochastic differential equation driven by bi-fractional Brownian motion, and interest rate satisfies Vasicek rate model which driven by bi-fractional Brownian motion, the pricing problem of reset option is discussed using the stochastic analysis theory of bi-fractional Brownian motion and the actuarial approach. The mathematical model of financial markets in the bi-fractional Vasicek rate environment is established. The pricing formula of reset option in bi-fractional Vasicek rate environment is obtained.

bi-fractional Brownian motion; Vasicek rate model; actuarial approach; reset option

2016-03-08

陜西省自然科學基金項目(2016JM1031)；陜西省自然科學基礎研究計劃資助項目(2015JM1034)；西安工程大學研究生創新基金項目(CX201613)；陜西省教育廳專項科研基金項目(14JK1299).

薛 紅(1964—),男,教授,博士,主要從事隨機分析及金融工程等研究.E-mial:xuehonghong@sohu.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2016.06.016

O211 MSC2010: 91G20; 91G30; 91G80

A

1674-232X(2016)06-0650-06