基于數學運算核心素養的試題評析

福建省南安市教師進修學校 (362300)

陳俊斌

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基于數學運算核心素養的試題評析

福建省南安市教師進修學校 (362300)

陳俊斌

2014年3月,《全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》提出著力推進關鍵領域和主要環節改革，研究制訂學生發展核心素養體系和學科核心素養體系，提出數學六大核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象，數據分析；同時貫徹德育為先、能力為重、全面發展的教育理念.本文結合自身的認識，談談如何從“數學運算素養”的角度進行試題講評，以達拋磚引玉的效果.

一、理解運算對象，邊算邊思

數學概念的復習要準確到位，要通過具體問題的分析來理清概念的內涵、外延，明確它們在學科知識系統中的地位和作用，從而正確地使用它們來解決有關數學問題.如求函數最值問題，教師常常利用導數法來研究，而缺乏運算素養的培育，即根據問題的條件探求合理、簡捷的運算途徑，求得運算結果.

例1 (2013年高考全國Ⅰ卷理科第16題)若函數f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖像關于直線x=-2對稱，則f(x)的最大值是 .

解法一采用的是求函數最值的通法：先求導后借助單調性求最大值.解決本題對學生運算能力要求很高，須先進行基本的代數式運算(兩個二次式相乘)，對函數求導后，又須求解一元三次方程(要根據圖像的對稱性判斷出-2為f′(x)的一個零點)，后在判斷兩個極大值大小關系時運算量仍不小，最后才得出f(x)的最大值是16.若教師在日常教學過程中能注意學生運算素養的培養，提醒學生解題時要“邊算邊思”則學生在本題求出a、b值后，便能根據f(x)表達式的特點進行簡單的變形，從而得出如下的便捷解法.

此外，根據f(x)特點我們也還可以采用換元的方法轉換成求二次函數最值的方法等等.

二、關注數學本質，柳暗花明

有關函數奇偶性研究問題上，我們常常是借助對稱性由其一側性質研究另一側性質，卻較少關注對稱性的本質(如奇函數最大值、最小值互為相反數等).上題求解函數最大值的過程中，利用導數法求解時，雖說運算量大，不好求，但仍然可以求出.下述例子也是有關函數的最值問題，如果仍采用此法，則會碰到極值點求不出的情況，這時我們可根據函數解析式的特殊情況，進行適當的代數變形，便可把最值關系與對稱性結合起來研究.

例2 (2012年高考全國Ⅱ卷文科第16題)

點評：數學運算素養是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的過程.本題講解有兩個關鍵點：一是對所給函數關系式進行分拆式的運算(類似于分離變量法);一是從數量關系運算中推導出奇函數對稱性的本質：最大值與最小值互為相反數.因此通過本題的講解，學生能夠進一步發展數學運算能力，促進數學思維發展，培養數學運算核心素養，從而在后續學習中更容易抓住函數概念的本質.

三、“心求通而未得”，追本溯源

解析幾何的本質是用代數的方法研究幾何，很多師生似乎有同感：解析幾何試題是數學考試難中之難.在數學學習的過程中，學生常會碰到一些背景熟悉、解法思路很常規的解析幾何試題，這種情況下，他們心里有想法，也樂于進行嘗試，但由于種種原因，卻無法正確解答，這時可以讓學生追本溯源，回歸定義，比如下面的例題.

分析：本題要求雙曲線的漸近線方程，關鍵是求出a、b之間的關系.

圖1

圖2

點評：本解法先是從雙曲線的定義出發得到兩個關系式，后根據PQ、QF長度關系引入參數m，并在Rt△QPF2中據勾股定理列式，最后才在焦點△PF1F2求解a、c的關系.比對上述常規解法，不僅解答更為簡潔明快，更是巧妙地避開了復雜的運算量及繁雜的關系代換.整個解法過程中，算得有方向，算得有思路，本試題既有效地關注了學生的運算素養，又十分注重圖形性質的運用以及數形結合思想的滲透(直觀想象核心素養).當然此法對學生運算素養的要求不低，要求學生引進參數，活用平幾知識.

數學核心素養是數學學習者在學習數學或學習數學某一個領域所達成的綜合性能力，是廣大數學教育工作者在數學學科的教與學過程應當特別關注的基本素養.《普通高中數學課程標準(實驗)》在課程總目標中指出：“高中數學課程應該使學生在九年義務教育數學課程的基礎上,進一步提高作為未來公民所必要的數學素養,以滿足個人的發展與社會的進步的需要.”數學課程標準如此強調數學素養的重要性,因此，本文僅以三道試題評析談談我對“數學運算”素養的認識，筆者認為，從“三大能力”中的“計算”到五大能力“運算求解、數據處理”，再到教育部《高中數學課程標準》研制組組長、首都師范大學博士生導師王尚志教授提出的“數學運算素養”，數學始終離不開數學運算，運算素養是學生適應未來社會一個最基本的素養.只要我們在平時的教學過程中多關注運算素養的培養，學生的數學素養必將有所提升.