基于重要方法應用的微專題復習——以“高考中的構造法應用”為例

江蘇省如皋市第一中學 (226500)

潘 佩

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基于重要方法應用的微專題復習
——以“高考中的構造法應用”為例

江蘇省如皋市第一中學 (226500)

潘 佩

基于數學重要方法進行應用是微專題設置的一種重要方式．數學復習有兩條線：一條是明線，即數學知識的復習；一條是暗線，即數學思想方法的復習．而數學思想方法是數學的精髓，是學生形成良好認知結構的紐帶，是學生把知識轉化為能力的橋梁，是培養學生良好數學觀念和創新思維的載體，是衡量數學核心素養和數學能力的重要標志．下面，以“高考中的構造法應用”為例，談談筆者對基于重要方法應用的微專題復習的認識．

本專題用時為1課時．本節課的教學對象是江蘇省四星級高中如皋市第一中學的學生，學生數學基礎掌握較扎實、思維能力較強，有一定的自主探究的意識和合作交流的能力．本節課的教學實錄如下：

一、教學片斷實錄

師：著名數學家G·波利亞(George Polya,1887.12.3—1985.9.7)說：“構造一個輔助問題是一項重要的思維活動”，而這一重要的思維活動就是我們通常所說的構造法.所謂“構造法”是指在解題時，我們常常會通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而找到解決問題的思路、方法．此法重在“構造”，它體現了數學中發現、類比、化歸等思想，滲透著猜想、試驗、探索、概括等重要方法，是一種富有創造性的解決問題的方法.

師：歷史上有不少著名的數學家，如歐幾里得、歐拉、高斯、拉格朗日等人，都曾經用“構造法”成功地解決過數學上的難題.近幾年來，構造法及其應用又逐漸為數學教育界所重視，在數學高考中有著一定的地位.(激發學生的求知欲)(小組討論5＇)

圖1

師：下面請一位同學談一談該題應如何解.

學生1：(另配圖)教師板書

師：除此之外，是否還有其他解法？請大家再次認真審題.

(教師巡視3分鐘之后，部分同學喜上眉梢，仍有不少同學眉頭緊鎖.)

師：從剛才大家的表現來看，可能一些同學已經有了思路，下面以小組為單位，對剛才的思考進行交流，看看能否擦出思維的火花.

(教師巡視5分鐘之后，討論漸息，大部分同學似乎有些收獲.)

師：哪個小組派出代表交流體會，可以是成功的解法，請將其所以然道明，當然也可以是困惑，那么直擊你的困惑.

圖2

(教室內學生不由自主掌聲響起)

師：哪位同學來評價一下？

生3：這種圖形構造很巧妙，看來要構建直角坐標系，除了有垂直、等腰等條件之外，特殊角如出現60°,45°，也可以創造性構建直角坐標系.

師：(適時點撥)這樣我們可以把定性問題轉化為定量問題，或由一般定量問題轉化為更精準的定量問題.

師：(趁熱打鐵)向量數量積的求法在這兒已經有了兩席，即：基底轉化(化未知向量為已知向量)，坐標化構造法，想想是否還可以有其它的破題角度嗎？

生4：(跑到講臺，在黑板上也畫了個圖)

圖3

(此時又是一陣掌聲)

師：哪位同學談談對這個解法的思考？

生5：有點意外，又合乎情理！

師：此話怎講？

生5：有點意外的意思是平時不太自覺地運用向量數量積的幾何意義來解題，但從剛才的過程可以看出，還是很方便的.合乎情理的意思是向量數量積的幾何意義是向量數量積定義的幾何解釋，也是一種重要的處理手段，又應該向這個方向去思考.

師：我在批閱時也發現有同學有這樣的想法，可能受到原題中圖形形狀的影響，直觀性得不到體現，解題過程受阻.因此將圖形轉換到合適的狀態下，進而構造出相似三角形.

師：看來收獲不小呢！再接再厲，還有其它想法沒有？

(沉默了好一會兒)

生6：老師我們小組有個想法，圖形轉換到合適狀態，將圖形特殊化，構造成兩個特殊圖形，如圖4，圖5，仿生2的做法即可.(解答與生2類似，坐標法略)

圖4 圖5

師：你是怎么想到的呢？

圖6

師：了不起的想法，與生2比較，圖形特殊化，運算簡單，解法優化.點個贊！

師：這叫什么方法？

生：(眾)極限構造法

師：(追問)你是怎么想到的？

(一陣驚嘆，一陣掌聲)

師：太好了！我們一起為該同學點贊！

師：同學們，今天大家從多角度對該題進行了剖析，讓一道解法單一的向量小題精神煥發、活力四射，讓我們體驗了對答題深入細致的剖析、積極主動的交流、充滿靈性的思維帶來的真正價值.下面我們趁熱打鐵，對原題進行適當的引申拓展：

(同學們靜靜地在紙上演算著…，不一會兒，就有了答案，筆者經過查看，上述幾種解法都有，限于篇幅，此處僅舉一種解法，其余不再一一贅述.)

生8：我是按極限的觀點來思考的(配圖).

圖7

圖8

生10：按生5、生6、生7的思考：

圖9

師：(總結)在運用構造法時，一要明確構造的目的，即以什么目的而構造；二要弄清楚問題的特點，以便依據特點確定方案，實現構造．

構造法解題過程的程序框圖：

圖10

二、實踐反思

1.在解題練習中培養數學思想方法

在問題解決中運用思想方法，增強了學生自覺運用數學思想方法的意識.解題的過程就是在數學思想的指導下，合理聯想提取相關知識，調用一定數學方法加工、處理題設條件及知識，逐步縮小題設與所求結論間的差異的過程.用數學思想方法，進行一題多解的練習，有助于培養思維的發散性，靈活性，敏捷性；對習題靈活變通，引伸推廣，有助于培養思維的深刻性，抽象性.

2.在復習小結基礎知識中培養思想方法

在基礎知識的復習小結中要注重知識的內在聯系，要揭示數學思想方法在知識互相聯系、互相溝通的關系，充分展現知識形成發展過程，揭示其中蘊涵的豐富的數學思想方法.本題是關于平面向量的基礎知識的考查，本身難度不大，屬于中檔題，可以依靠向量本身的運算性質到相應的結論.但是如果采用向量的幾何運算，就可以使運算得以簡化，有思維量而少計算量，而且整個思維過程充滿技巧，小巧而有趣，充分反應了平面幾何和平面向量交匯點試題巧妙的特點.另外，構造法的威力不可小覷，數形結合的思想是創新解題中永恒的主題.

總之，“微專題”實施，不是標新立異，不是對傳統經典專題的否定和顛覆，而是有機穿插，“以小見大”，旨在一改以往復習課的沉悶、枯燥和低效，力求把學生帶進復習的“場”中，促其主動地學，有效地學.當然“微專題”的實施，對教師自身也提出了更高的要求，促使教師不斷走進生本和文本的更深處，充分駕馭課堂和學生，這樣的課堂才充滿生機和無限魅力.