一道函數與導數壓軸題的講評*

福建省廈門實驗中學 (361116)

黃耿躍

福建省泉州第一中學 (362000)

湯向明

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一道函數與導數壓軸題的講評*

福建省廈門實驗中學 (361116)

黃耿躍

福建省泉州第一中學 (362000)

湯向明

數學是思維的科學，對學生思維火花的敏感性來源于教師的數學素養.教師想引導學生的數學思考，其前提是他自己知道怎么想？教師想讓學生學會發現，首先他自己要成為一個發現者？基于這樣的理解，筆者認為要上好高中數學試卷壓軸題的講評，不僅要求教師具備較高的專業素養，還要求教師在課前充分備好引導學生思考與發現的素材？本文以2016年廈門市高二年期末考理科第22題的第(Ⅱ)問為例，就如何進行試題講評，談談自己的兩點做法：一是利用化歸與轉化的思想，把問題轉化成熟悉的問題，讓學生看清問題的本質；二是對試題的結論進行推廣，使結論更具一般性，進而培養學生解決問題的遷移能力.

1.試題呈現

問題1 已知函數f(x)=lnx-cx2(c∈R).

(1)討論函數f(x)零點個數；

(2)當函數f(x)有兩個零點x1,x2時，求證：x1x2>e.

評注：本題是2016年廈門市高二下學期期末考理科第22題，試題的條件與問題的設計，讓考生覺得很親近，語言表述簡潔，易于閱讀，與近幾年全國卷的特點極度吻合.但真正做起來，卻是數學味很濃，特別是第(2)問蘊含著數形結合、分類討論、化歸與轉化等數學思想方法，對考生的綜合能力要求比較高，突出利用導數研究函數性質的考查.

2.舊題再現

著名數學家華羅庚說過：“善于‘退’，足夠地‘退’，退到最原始而不失去重要的地方，是學好數學的一個訣竅．”這里所謂的“退”，當然不是逃跑，而是養精蓄銳、蓄勢待發，是在為“進”尋求途徑，即“以退為進”．它的實質是借助轉化的數學思想，把復雜的問題簡單化，陌生問題熟悉化，以便看清“廬山真面目”．

(1)當m=-2時，求函數f(x)的所有零點；

(2)若f(x)有兩個極值點x1,x2，且x1e2(e為自然對數的底數).

3.問題轉化

問題2第(2)問的本質為：函數f(x)=lnx-mx(m∈R)有兩個零點x1,x2，求證：x1x2>e2(為自然對數的底數).

評注：數學解題的本質就是把一個未解的問題轉化成一個已經解決的問題，這道題目采用這樣的講解方式，恰好是對數學解題本質的一個很好的詮釋，整道題目的求解過程已無需老師再重新板書了，只要再次指出問題的本質是極值點的偏移，剩下的事情可交由學生自主完成.這樣的講評方式既關注到老師的教，也關注到學生的學，對提高試卷講評課的效率是很有幫助的.

4.結論推廣

根據一類事物的部分對象具有某種性質，推出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理，叫做歸納推理.通過問題1、2，可推理得到如下命題：

命題1 若函數f(x)=nlnx-mx(n>0,m∈R)存在兩個零點x1,x2，且x1e2.

評注：《普通高中數學課程標準》指出：歸納推理具有猜測和發現結論，探索和提供思路的作用，有利于培養學生的創新意識.在本道試題的講評中，引導學生發現這個結論，有利于學生進一步認清問題的本質，提高解題能力.

5.類題鏈接

變式教學是指教師在引導學生學習時，變換問題的條件和結論，變換問題的形式，而不變換問題的本質的一種教學形式.

問題3 (2016年全國Ⅰ卷理科第21題)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍；

(2)設x1,x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2.

解：(1)a>0;(略)

(2)不妨設x1f(2-x2).令u(x)=f(x)-f(2-x)(x>1)，則u′(x)=f′(x)+f′(2-x)=(x-1)(ex+2a),∵u′(x)>0在(1,+∞)恒成立，且u(1)=f(1)-f(1)=0,∴u(x)>0在(1,+∞)恒成立，又x2∈(1,+∞)，∴f(x2)>f(2-x2)，即x1+x2<2.

評注：對函數u(x)進行求導時，若先把解析式寫出來，再進行求導，將會使運算量變得較大，不易操作，而是應直接根據抽象函數的求導法則，減小運算量.通過考前的作業(問題1)，考試題目(問題2)的教學，再拋出2016年全國1卷的函數與導數試題，有利于學生進一步鞏固極值點偏移問題的解法，有助于學生樹立求解壓軸題的信心.

6.教學反思

試卷講評課中對壓軸題講評存在的教學現狀有：(1)壓軸題是學生自己做出來而不是老師講出來的，所以講也是白講；(2)把答案印給學生，優秀學生自己對照答案進行研究，中等或中等以下的學生盡力而行；(3)老師講評時的思路，經常被參考答案牽著走；(4)教師舍不得花時間在壓軸題的講解上，導致對壓軸題的研究不深入.對這些教學現狀，相信很多老師在教學過程中是深有體會，筆者也不例外.但筆者深知，若要提高自身的專業素養，深入研究壓軸題是必不可少的，所以在教學過程中碰到數學壓軸題時，筆者一般都會先思考求解，而不急于看參考答案，同時把做過的相同類型的壓軸題整理在一起，所以才有這篇與試卷參考答案不同解法的文章.(限于篇幅，原卷參考答案無法附上)