涉及圓錐曲線焦點三角形旁(內)切圓的一個性質及引申

江蘇省蘇州第十中學 (215006)

徐 青

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涉及圓錐曲線焦點三角形旁(內)切圓的一個性質及引申

江蘇省蘇州第十中學 (215006)

徐 青

有關圓錐曲線焦點三角形旁(內)切圓的性質很多，筆者借助超級幾何畫板，得到了一個新性質，并對其作了探究引申，現介紹如下，供同行參考.

圖1

(1)A,P,D三點共線；

(2)延長PF2交橢圓于另一點Q，設直線APD與橢圓的右準線l交于點R,則Q,B,R三點共線.

由焦半徑公式，m+n=2a,m-n=2ex0，得

在證明過程中得xE=a,說明圓E與x軸切于橢圓頂點，這是我們非常熟悉的結論.

對性質1(1)逆向探究易得：

證明留給讀者.

在圖1中，通過幾何畫板作圖發現，當準線上的點R移動時，若R、P、A三點不共線，則R、Q、B三點也不共線，但仍有如下性質：

圖2

(1)A,D,P三點共線；

(2)延長PF2交雙曲線于點Q，設直線ADP與雙曲線的右準線l交于點R,則Q,B,R三點共線.

上述性質的證明與橢圓性質證明完全一樣，這里從略.

如果把無窮遠點看成是拋物線的另一焦點，上述性質還可以類比到拋物線中，限于篇幅，不再贅述.