兩道高考橢圓試題的和諧統(tǒng)一

福建省龍巖第一中學(xué) (364000)

胡寅年

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兩道高考橢圓試題的和諧統(tǒng)一

福建省龍巖第一中學(xué) (364000)

胡寅年

圖1

(Ⅰ)當(dāng)直線PA平分線段MN時(shí)，求k的值；

(Ⅱ)當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；

(Ⅲ)對任意k>0，求證：PA⊥PB．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是橢圓C的頂點(diǎn))．點(diǎn)D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸、y軸分別交于M,N兩點(diǎn)．

(ⅰ)設(shè)直線BD，AM的斜率分別為k1,k2，證明存在常數(shù)λ使得k1=λk2，并求出λ的值；

(ⅱ)求ΔOMN面積的最大值．

咋一看，上述兩道高考題似乎沒有多大的關(guān)聯(lián)性，然而畫出題2的圖形后，感覺它們的題面驚人的相似，深入探究后我們發(fā)現(xiàn)，題2第(Ⅱ)小題的第(ⅰ)問似在題1第(Ⅲ)小題基礎(chǔ)上(事隔三年之后)提出的一個(gè)嶄新問題．

以下，我們將上述兩道高考橢圓試題引申為更為一般的情形．

圖2 圖3