數(shù)學(xué)解題讓人縝密而聰慧——以直線與圓錐曲線的關(guān)系為例

江蘇省錫山高級中學(xué) (214174)

錢桂榮

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數(shù)學(xué)解題讓人縝密而聰慧
——以直線與圓錐曲線的關(guān)系為例

江蘇省錫山高級中學(xué) (214174)

錢桂榮

縝密，意思是嚴(yán)謹(jǐn)而周密，聰慧是聰明而智慧.縝密是聰慧的表現(xiàn)，是認(rèn)識的高級階段，屬于理性認(rèn)識，反映出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇跃窈土己玫目茖W(xué)素養(yǎng).

問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)活動的基本形式.數(shù)學(xué)解題能夠考查“四基”(基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn))，能夠創(chuàng)造問題情境很好地考查“四能”(從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力).通過數(shù)學(xué)解題可以提升學(xué)生的具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的關(guān)鍵能力與必備品質(zhì)，即數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).事實(shí)上，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，通俗地講就是把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(數(shù)學(xué)公式、定理、解題方法等)都排出或忘掉后所剩下的東西.這個(gè)東西總體來說就是縝密與聰慧，就是能從數(shù)學(xué)角度看問題，有條理地進(jìn)行理性思維、嚴(yán)密求證、邏輯推理和清晰準(zhǔn)確地表達(dá)的意識與能力；就是個(gè)體面對復(fù)雜的、不確定的情境時(shí)，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、觀念、方法解決實(shí)際問題所表現(xiàn)出來的關(guān)鍵能力與必備品質(zhì).

直線與圓錐曲線問題解決能很好地培養(yǎng)學(xué)生考慮問題的縝密，體現(xiàn)解決問題的聰慧.但是經(jīng)常聽老師說：“不繁就不叫解析幾何”，對于直線與圓錐曲線學(xué)生習(xí)慣于套用解題的固有套路與程式死算硬推，運(yùn)算求解不講“算理”，“韌”性有余而“靈”性不足.不僅錯(cuò)失了培養(yǎng)學(xué)生縝密思維、提高聰慧水平的良機(jī)，而且增加了學(xué)生對解析幾何的畏懼與厭煩心理！下面就以一道常規(guī)的直線與圓錐曲線問題為例說明數(shù)學(xué)解題如何讓人縝密而聰慧.

圖1

一、縝密地考慮問題

二、聰慧地選擇方法

三、超出縝密的“大聰慧”

本題的解法既考慮到直線斜率存在與否，在直線斜率存在時(shí)，由于兩條直線互相垂直，又討論斜率是否為0，考慮問題可謂縝密全面.在求直線截圓和截橢圓所得弦長時(shí)，能夠緊扣本題的特點(diǎn)，不死搬硬套通性通法，而且在求目標(biāo)函數(shù)最大值時(shí)的換元法也是簡單有效、耳目一新，整個(gè)解題過程縝密而聰慧.

四、使人縝密而聰慧的解題教學(xué)建議

1.在討論中查漏補(bǔ)缺，增強(qiáng)解題的縝密性

每個(gè)人都有自己的思維習(xí)慣，時(shí)間長了往往就形成一定的思維定式，考慮問題可能會有失偏頗，會漏掉一些細(xì)節(jié)，使得解題過程不夠嚴(yán)謹(jǐn)，這樣不利于培養(yǎng)解題的縝密性，而師生之間互相討論交流往往可以使問題水落石出，如上述問題中直線斜率存在與否的討論，如果讓學(xué)生到講臺展示，其他學(xué)生討論，問題很快就會被發(fā)現(xiàn)并得到很好的解決.解題的縝密性要注意以下幾個(gè)方面：問題所涉及的數(shù)學(xué)概念需不需要分類(如絕對值的定義)；問題所涉及的定理、公式、運(yùn)算性質(zhì)與法則有沒有條件限制(如等比數(shù)列求和公式中公比q=1與否的討論)；數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)是不是分類給出的(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性)；圖形位置的不同是否會引起結(jié)論形式或處理方法的不同等等.

2．在實(shí)踐操作中甄別算法，提升運(yùn)算能力

運(yùn)算求解貫穿于數(shù)學(xué)解題的始終，運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合.提高運(yùn)算求解能力的關(guān)鍵不僅僅是細(xì)心，更重要的是算理，要讓“思”在“算”之前，“算”在“思”之后.通過“思”，明確運(yùn)算的方向，優(yōu)化解題的方法，并對運(yùn)算的結(jié)果有一定的預(yù)見性.一些常見的方法，如換元法、代入法、分離變量法等能有效的簡化運(yùn)算，提高運(yùn)算效率，這些必須在解題的過程中親身去體驗(yàn)，去思考.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要重視計(jì)算，涉及到計(jì)算問題，務(wù)必去做一做，算一算，尤其解析幾何問題，注意算理，比較算法，最終提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性和速度.

3．在反思比較中體驗(yàn)解題策略，培養(yǎng)創(chuàng)新意識

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程與解題密切相關(guān)，數(shù)學(xué)能力的提高不僅在于解題的數(shù)量，更在于解題的質(zhì)量.通過反思，明確解題思路、知識背景、方法背景等；通過比較，明確問題的一般思維出發(fā)點(diǎn)和問題的不同切入點(diǎn)，守住通法，如山之穩(wěn)重；也要催生巧法，如水之靈動.真正做到舉一反三，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，提高解決新問題的能力，最終使學(xué)生變得縝密而聰慧.