賞析兩組形似質同的高考試題

江蘇省徐州市侯集高級中學 (221121)

李培穎

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賞析兩組形似質同的高考試題

江蘇省徐州市侯集高級中學 (221121)

李培穎

歷年高考中，形似質異的試題很多，即題面相似，實質不同．但題面相似，本質相同的試題卻鮮有．筆者研究近幾年高考試題，從形似質同的題目中找出兩組典型，與大家共賞．

題1 (2015年高考重慶卷(理)第16題，填空題壓軸題)若函數f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值為5，則實數a= .

分析一:本題涉及的是由兩個一次函數加絕對值復合而成的函數最值問題，處理絕對值問題最常用的方法是找零點(使絕對值為0的變量的值)分區間分類討論法.即通過分類討論將絕對值函數化為一個分段函數，求出其最小值(用參數a表示)，再建立關于a的方程求出a的值.

解法一:當a=-1時，f(x)=3|x+1|≥0，不滿足題意；當a<-1時，

綜上可知，實數a的值為-6或4.

分析二:由絕對值幾何意義，函數y=|x-a|+|x-b|表示數軸上的點(x,0)到點(a,0)、(b,0)的距離之和，易知其最小值為|a-b|，當ab)時，在x∈[a,b]([b,a])時取得；當a=b時，在x=a=b時取得.在本題中，將函數f(x)的表達式進行適當變形，就可以用絕對值的幾何意義進行求解.

解法二:f(x)=|x+1|+2|x-a|可以變形為f(x)=|x+1|+|x-a|+|x-a|①，又f(x)=|x-a|+|x-a|+|x+1|②，①+②可得2f(x)=(|x+1|+|x-a|)+(|x-a|+|x-a|)+(|x-a|+|x+1|)≥|1+a|+0+|a+1|=10，當且僅當x=a時取等，解得a=-6或4.

點評:解法一中運用分段函數的圖像，函數的單調性等知識，結合分類與整合、轉化與化歸、數形結合等思想解題.解法二則是對函數解析式進行合理變形，巧妙地利用絕對值的幾何意義，使問題輕松獲解.

2014年高考安徽卷(理科)第9題就是與其形似質同的試題．

題2 (2014年高考安徽卷(理)第9題，選擇題倒數第二題)若函數f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值為3，則實數a的值為( ).

(A)5或8 (B)-1或5

(C)-1或-4 (D)-4或8

ai|(ai為常數，且a1

|2011x-1|的最小值，則法二的優勢就會體現的淋漓盡致，有興趣的讀者不妨一試．

上兩道題是小題、客觀題，無獨有偶，大題、主觀題中也有這樣的“重題”.

圖1

(1)當直線PA平分線段MN時，求k的值；

(2)當k=2時，求點P到直線AB的距離d；

(3)對任意k>0，求證：PA⊥PB.

本題主要考查直線的方程、點到直線的距離公式、橢圓的標準方程和幾何性質等知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質和數形結合的思想，考查運算能力和推理能力．第(1)(2)問較簡單，略去，此處僅談第(3)問．本問中要證明PA⊥PB，即證明二者的斜率之積為定值-1．

分析一:聯立方程組解交點，是解決解析幾何問題的通性通法，此解法思路簡單，常規自然，但解題過程中運算較為復雜.第三問中要得到定值-1，可以首先解出P、A、B的坐標(用k表示)，再用k表示直線PA、PB的斜率，最后消去參數k出現定值.

分析二:除了解方程組以外，還可以根據題意選擇點的坐標作為參變數,搭建未知和已知之間的橋梁，而未知數本身并不需要求出它的值.這種“設而不求”的解題思路,可以幫助我們簡化解題過程，減少運算量.

題3是橢圓方程已知，證明PA⊥PB．我們自然地聯想到它的逆向問題：已知PA⊥PB，求橢圓的方程或離心率等，這與題3并沒有實質上的區別.2012年高考湖北卷(理科)第21題就是題3的逆向問題.

題4 (2012年高考湖北卷(理)第21題)設A是單位圓x2+y2=1上的任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1).當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求焦點坐標；

(2)過原點且斜率為k的直線交曲線C于P、Q兩點，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H，是否存在m，使得對任意的k>0，都有PQ⊥PH?若存在，求m的值；若不存在，請說明理由.

如圖2、3，設P(x1,y1),H(x2,y2)，則x1>0,x2

>0,x1≠x2，Q(-x1,-y1),N(0,y1).

圖2 圖3

題3、4(僅指最后一問)的題面、解法、背景基本一致，這在高考解析幾何壓軸題中實屬罕見．

年年歲歲花相似，歲歲年年題不同．從命題角度來說，高考試卷中的高檔題出現“重題”與高考命題要創新的理念相悖，是美玉有暇，應該避免．但換個角度，說明試題經典，倍受命題者青睞．但是，我們不應存有“押題”、“猜題”的僥幸心理，而應該潛心研究，剖析經典考題，揭示命題背景，探索解題規律，讓高考題在復習課中發揮它應有的教學價值．