“似是而非”的幾個不等式模型

浙江省紹興魯迅中學 (312000)

洪建松 虞關壽

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“似是而非”的幾個不等式模型

浙江省紹興魯迅中學 (312000)

洪建松 虞關壽

在近幾年的各省市的高考試題與各地市的模擬試題中，我們經常碰到一些在語言描述中極為相似，但意義又不近相同的不等式形式，如“…任意x1∈[a,b]，任意x2∈[c,d]，有f(x1)≤g(x2)成立…”與“…任意x1∈[a,b]，存在x2∈[c,d]，有f(x1)≤g(x2)成立…”；又如“…對于x∈[a,b]，不等式k≤f(x)恒成立…”與“…對于x∈[a,b]，不等式k≤f(x)能成立…”等.對于這些問題的解決需要我們進行有效的等價轉化，如何轉化？轉化之后所產生的不等式是不是一樣的？本文想歸類這些不等式模型，并通過對具體的案例分析，嘗試找到解決這些問題的策略，為各位考生備考之用，不當之處謹請批評指正.

一、“任意、任意”型

若對任意x1∈[a,b]，任意x2∈[c,d]，使f(x1)g(x2))成立，求實數a的取值范圍?f(x)maxg(x)max).

1.同一函數同一區間中的任意x1，x2型

例1 (2015年全國新課標Ⅱ卷理科 2)設函數f(x)=emx+x2-mx.

(1)證明：f(x)在(-∞,0)單調遞減，在(0,+∞)單調遞增；

(2)若對于任意x1,x2∈[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，求m的取值范圍.

解析：(1)f′(x)=m(emx-1)+2x.若m≥0，則當x∈(-∞,0)時，emx-1≤0,f′(x)<0;當x∈(0，,+∞)時，emx-1≥0，f′(x)>0.若m<0,則當x∈(-∞,0)時，emx-1>0,f′(x)<0;當x∈(0，,+∞)時emx-1<0，f′(x)>0. ∴f(x)在x∈(-∞,0)單調遞減，在x∈(0，,+∞)單調遞增.

g(-m)≤0,即不等式成立；當m>1時，由g(t)的單調性，g(m)>0,即em-m>e-1;當m<-1時，g(-m)>0,即e-m+m>e-1.綜上,m的取值范圍為[-1,1].

2.不同函數同一區間中的任意x1，x2型

解析：∵|f(x1)|-|f(x2)|

3.不同函數不同區間中的任意x1，x2型

二、“任意、存在”型

若對任意x1∈[a,b]，存在x2∈[c,d]，使f(x1)g(x2))成立，求實數a的取值范圍?f(x)maxg(x)max).

三、“存在、存在”型

若對存在x1∈[a,b]，存在x2∈[c,d]，使f(x1)g(x2))成立，求實數a的取值范圍?f(x)ming(x)min).

四、“不等式恒成立”型

1.若x∈[a,b]，不等式k≤f(x)(k≥f(x))恒成立，求實數k的范圍?k≤f(x)min(k≥f(x)max)或構造h(x)=f(x)-k，h(x)min≥0(h(x)max≤0).

2.若不等式f(x)>g(x)在區間D上恒成立，等價于在區間D上函數y=f(x)的圖像在函數y=g(x)圖像上方.

一般采取四種處理手段：處理1：化歸函數最值問題；處理2：分離參數法(欲求某個參數的范圍，就把這個參數分離出來)；處理3：變更主元(新函數)；處理4:數形結合.

解析：由題意可知f(x)=(log3x)2+2log3x+3,g(x)=log3x-2,令t=log3x∈[0,1],得m(t2+2t+3)+n(t-2)-4m>0,∴(t2+2t-1)m+n(t-2)>0對任意的t∈[0,1],m∈[-1,2]恒成立.

(★)處理1.分離參數法

(★)處理2.

綜上，n<-2.

五、“不等式能成立”型

若x∈[a,b]，不等式k≤f(x)(k≥f(x))能成立，求實數k的范圍?k≤f(x)max(k≥f(x)min).

例7 (2015年全國新課標Ⅰ卷理科12).設函數f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1，若存在唯一的整數x0，使得f(x0)<0，則a的取值范圍是( ).

圖1

解析：(法1)數形結合，如圖1,設g(x)=ex(2x-1),h(x)=ax-a,由題意問題轉化為：存在唯一的整數x0,使得g(x0)在直線h(x)=ax-a的下方.

六、“不等式恰好成立”型

若x∈[a,b]，不等式k≤f(x)(k≥f(x))恰好成立，求實數k的范圍?k≤f(x)(k≥f(x))的解集為x∈[a,b].

例8 (2015年江蘇省吳中區期末題)已知函數f(x)=x2-3x+m,g(x)=2x2-4x,若f(x)≥g(x)恰在x∈[-1,2]上成立，求實數m的取值范圍.

解析：由題意問題即為x2-3x+m≥2x2-4x,即x2-x-m≤0的解集是[-1,2]，∴-1,2是方程x2-x-m=0的兩根，∴-m=-1·2,∴m=2.

以上這些“似是而非”的幾個不等式模型是近幾年高考或各地模擬考的一個熱門題型，往往與函數的恒成立、能成立等問題聯系在一起，與函數的單調性、極值、最值等知識有關，考查學生的轉化能力、分類討論能力、數形結合等能力.