數(shù)學(xué)中的美學(xué)

姚寒青

純數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，同時(shí)也是一門藝術(shù)。

——法國(guó)詩(shī)人諾瓦利

“純數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，同時(shí)也是一門藝術(shù)”。如今的數(shù)學(xué)，已成為研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科，它已滲透到經(jīng)濟(jì)、歷史、建筑、音樂(lè)、美術(shù)、文學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域中。本文以數(shù)學(xué)的歷史為基礎(chǔ)，多角度展現(xiàn)數(shù)學(xué)美的外在與內(nèi)涵，提取數(shù)學(xué)中美的精彩內(nèi)容和片段，從藝術(shù)和思維的角度，來(lái)欣賞數(shù)學(xué)之大真、大善、大美。以求在美的熏陶下，感受數(shù)學(xué)別樣的美麗，并得到思維的啟迪與感情的共鳴，同時(shí)，期望對(duì)數(shù)學(xué)教育有所幫助。

馬克思說(shuō)過(guò)：“社會(huì)的進(jìn)步就是人類對(duì)美的追求的結(jié)晶。”數(shù)學(xué)，作為一門不斷推動(dòng)社會(huì)進(jìn)步，時(shí)代發(fā)展的學(xué)科，其中當(dāng)然存在著美。數(shù)學(xué)是一種獨(dú)特的邏輯，是自然科學(xué)的語(yǔ)言，在其內(nèi)容結(jié)構(gòu)方法上，都具有自身的某種美，就是數(shù)學(xué)美。正是數(shù)學(xué)美的存在，數(shù)學(xué)這門古老的學(xué)科，才符合事物生存和發(fā)展的原則，生存于久遠(yuǎn)。

數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家羅素贊道：“數(shù)學(xué)，如果正確地看它，則具有——至高無(wú)上的美——正像雕刻的美，是一種冷峻而嚴(yán)肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒(méi)有繪畫或音樂(lè)的那樣華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)，才能顯示的那種完美的境地。一種真實(shí)的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺(jué)得高于人的意識(shí)——這些是至善至美的標(biāo)準(zhǔn)，能夠在詩(shī)里得到，也能夠在數(shù)學(xué)里得到?！盵2]

是的，數(shù)學(xué)是一種精神，它永遠(yuǎn)選擇最簡(jiǎn)的、最美的，當(dāng)然也是最好的。數(shù)學(xué)通過(guò)人們對(duì)生活的需要而慢慢發(fā)展，它和面包一樣重要。數(shù)學(xué)是人類對(duì)生活經(jīng)驗(yàn)和對(duì)事物的觀察中得來(lái)的觀念，然后對(duì)其進(jìn)行抽象后產(chǎn)生的。數(shù)學(xué)是思考、想象甚至可以說(shuō)是幻想，數(shù)學(xué)的世界永遠(yuǎn)充滿著神奇。其思想精巧、驚人、迷人、有趣和美麗，是數(shù)學(xué)真正的精髓。

1 首先數(shù)學(xué)美在簡(jiǎn)單

數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化了思維過(guò)程并使之更可靠。

——弗賴伊（T.C.Fry）

華羅庚教授說(shuō)過(guò)：宇宙之大、微粒之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之迷、日用之繁……無(wú)不可用數(shù)學(xué)表述。數(shù)學(xué)之所以用途如此之廣，因?yàn)閿?shù)學(xué)的首要特點(diǎn)在于它的簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)單本身就是一種美。

數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單性在生活中屢見(jiàn)不鮮：

食堂餐券只需印上3角、5角兩種便可支付任何8角或8角以上的菜款而無(wú)須找錢。電子信息技術(shù)的日益發(fā)展，雖然現(xiàn)在很少還有食堂在采用餐券制，但較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單性。類似地，硬幣和紙鈔上面的面額更為人們所熟悉。

牛頓曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)家不但更容易接受漂亮的結(jié)果，不喜歡丑陋的結(jié)論，而且他們也非常推崇優(yōu)美雅致的證明，而不喜歡笨拙與繁復(fù)的推理。”簡(jiǎn)單即為美，以下將從符號(hào)美，公式美及統(tǒng)一美等方面來(lái)描述。

1.1 符號(hào)美

數(shù)學(xué)是上帝用來(lái)書寫宇宙的文字。

——伽俐略

數(shù)學(xué)是思維的體操，同時(shí)又是一種符號(hào)“游戲”。歷史告訴我們，采用合理的符號(hào)，能使數(shù)學(xué)學(xué)科得到迅速發(fā)展，相反，若沒(méi)有一套合理的符號(hào)，其進(jìn)展就會(huì)十分緩慢。古代數(shù)學(xué)的漫長(zhǎng)歷程、今日數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展，17、18世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)的興起，我國(guó)幾千年數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程的緩慢，這些在某種程度上歸咎于數(shù)學(xué)符號(hào)的運(yùn)用是否恰當(dāng)。

萊布尼茲說(shuō)：“數(shù)學(xué)符號(hào)節(jié)省了人們的思維?！睌?shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的記錄與表現(xiàn)，可使人們擺脫數(shù)學(xué)自身的抽象與約束，集中精力在主要環(huán)節(jié)，增加人們的思維能力。數(shù)學(xué)是一個(gè)符號(hào)的世界，數(shù)學(xué)思維必須有一套嚴(yán)格的符號(hào)系統(tǒng)。數(shù)學(xué)符號(hào)的產(chǎn)生發(fā)明、使用流傳，經(jīng)歷著一個(gè)十分漫長(zhǎng)的過(guò)程，并且仍在繼續(xù)。這個(gè)過(guò)程始終貫穿著人們對(duì)自然、和諧與美的追求。

① 從各國(guó)古代不同的記數(shù)符號(hào)，至阿拉伯?dāng)?shù)字的創(chuàng)造、改進(jìn)、流傳與通用；從四則運(yùn)算符號(hào)加（+）、減（-）、乘（×）、除（÷）和乘方（ak）、等號(hào)（=）、未知數(shù)（x， y， z）等符號(hào)的產(chǎn)生、演化；從各國(guó)各異的“方程”符號(hào)至現(xiàn)今方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式的統(tǒng)一， 無(wú)不表現(xiàn)著人們追求數(shù)學(xué)和諧、簡(jiǎn)潔、方便、明晰的審美過(guò)程。

② 數(shù)學(xué)在發(fā)展，人們對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)也在不斷深化，當(dāng)原有的符號(hào)對(duì)新的概念感到無(wú)能為力時(shí)，人們也隨之創(chuàng)新。

如用希臘字母？仔表示圓周率這個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；

③ 數(shù)學(xué)中還有許多運(yùn)算符號(hào)，這些符號(hào)均有其獨(dú)特含義，使用它們不僅方便而且簡(jiǎn)潔。

比如用“！”號(hào)表示階乘：n！=n×（n-1）×…×2×1。

數(shù)學(xué)符號(hào)具有高度的概括性和精確性，它是數(shù)學(xué)特有的美感。數(shù)學(xué)中同一個(gè)概念開始往往用不同的符號(hào)表示，人們?cè)谑褂眠^(guò)程中不斷對(duì)其進(jìn)行鑒別以確定優(yōu)劣（實(shí)用性、方便性、簡(jiǎn)潔性等），這里面也蘊(yùn)涵著一個(gè)審美過(guò)程。“一種合適的符號(hào)要比一種不良的符號(hào)更能反映真理。更合適的符號(hào)帶著自己的生命出現(xiàn)，并且它又創(chuàng)造出新的生命來(lái)?！?/p>

數(shù)學(xué)思維借助于符號(hào)系統(tǒng)來(lái)展現(xiàn)，也正是符號(hào)成為了數(shù)學(xué)世界通用的語(yǔ)言，把數(shù)學(xué)建立在穩(wěn)固的基石上。伽俐略的一段話頗為流傳經(jīng)典；“宇宙是永遠(yuǎn)放在我們面前的一本大書，哲學(xué)就寫在這本書上。但是，如果不首先掌握它的語(yǔ)言和符號(hào)，就不能理解它。這本書是數(shù)學(xué)寫的，它的符號(hào)是三角形、圓和其他圖形，不借助它們就一個(gè)字也看不懂，沒(méi)有它們就只會(huì)在黑暗迷宮中踟躇?！?/p>

1.2 公式美

這個(gè)世界可以由音樂(lè)的音符組成，也可以由數(shù)學(xué)的公式組成。

——愛(ài)因斯坦

如果說(shuō)數(shù)學(xué)符號(hào)是人類創(chuàng)造的，那么公式就是大自然乃至宇宙本身所蘊(yùn)涵的真理，是人類的智慧發(fā)現(xiàn)了它們，然后用符號(hào)表述出來(lái)。自然界的現(xiàn)象與事物千姿百態(tài)，經(jīng)過(guò)人類的觀察、思維、分析與實(shí)踐，抽象得到了很多表面現(xiàn)象后內(nèi)在的東西，公式則就是內(nèi)在實(shí)質(zhì)（眾多數(shù)學(xué)定理、命題）的外在表現(xiàn)。

世界上的圓無(wú)窮無(wú)盡，有大有小，但惟有數(shù)學(xué)幾何上的圓最標(biāo)準(zhǔn)、純粹、完美，因?yàn)樗闹荛L(zhǎng)與直徑之比精確等于一個(gè)無(wú)理數(shù)π，即有C=π D。這是一個(gè)簡(jiǎn)潔的公式，其所反映的又是一種十分奇妙而和諧的關(guān)系，且有學(xué)者稱它為“宇宙間的第一等好詩(shī)。”

正、余弦定理概括了三角形邊、角的一般關(guān)系。直角三角形中三邊關(guān)系a2+b2=c2更是古代人們智慧的結(jié)晶。

數(shù)學(xué)公式不是天生的，當(dāng)有人找到現(xiàn)實(shí)事物間的客觀聯(lián)系，并賦予它每個(gè)字母每個(gè)符號(hào)的涵義，它才變得富有生機(jī)，它是某些數(shù)學(xué)知識(shí)的精華。也只有具有一定數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人才能從中讀出豐富的內(nèi)涵（數(shù)學(xué)的“至高無(wú)上”）。

2 其次數(shù)學(xué)美在和諧

所謂“數(shù)學(xué)的和諧”不僅是宇宙的特點(diǎn)，原子的特點(diǎn)，也是生命的特點(diǎn)，人的特點(diǎn)。

——高爾泰

宇宙是和諧的，許多中外哲人都把宇宙的和諧比擬為音樂(lè)的和諧，也比擬為我們聽不到的一首詩(shī)。和諧的事物向來(lái)給人以美的外觀與一致的內(nèi)涵。中國(guó)傳統(tǒng)文化里有“中庸之美”這一說(shuō)，和諧就是“中庸”，是美得雅致，美得協(xié)調(diào)，美得恰到好處，是一種最佳狀態(tài)。

2.1 和諧美

我指的是本質(zhì)的美，它來(lái)自自然的各個(gè)部分的和諧秩序，并且純智力能夠領(lǐng)悟它。

——龐加萊

在數(shù)學(xué)中，畢達(dá)哥拉斯首先提出“美是和諧與比例”，和諧是人們追求數(shù)學(xué)美的準(zhǔn)則。為了追求和諧，史上的數(shù)學(xué)家們一直努力，以消除一些不和諧的東西——比如悖論。很大程度上，悖論對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起著舉足輕重的作用，它們正是數(shù)學(xué)理論之間不和諧所引起的，但通過(guò)消除這些不和諧的事物，更是促進(jìn)了數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。

數(shù)學(xué)的和諧首先表現(xiàn)在它能為自然界的和諧找到極佳的論證。

“蜂房結(jié)構(gòu)”問(wèn)題[4]，是一個(gè)生物進(jìn)化選擇最優(yōu)、最和諧的例子。 蜂房的構(gòu)造，乍看上去是一些并排且規(guī)則擺放的正六邊形的“筒”，再仔細(xì)觀察便會(huì)看到：每個(gè)筒底由三塊同樣大小的菱形搭成（如圖1）。有學(xué)者測(cè)量了蜂房底面三塊菱形的角度：鈍角？琢=109°28，銳角？茁=70°32，證實(shí)了其實(shí)蜂房的如此構(gòu)造，能使建造同樣大的容積所用材料最省。

這些事實(shí)不得不讓人贊嘆，造物主真是一個(gè)數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)論證了自然界的和諧。

數(shù)學(xué)還能解釋自然的和諧，甚至能讓它為人類所用。

最典型的一個(gè)例子是：數(shù)學(xué)家們依據(jù)人口增減過(guò)程，研究建立了人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型。并求得了人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，式中N表示當(dāng)初人口數(shù)，N表示t時(shí)間后的人口數(shù)，c、k為待定常數(shù)（它們依據(jù)不同地區(qū)、不同國(guó)家、不同時(shí)期情況而變化）。公式表明人口增長(zhǎng)是按幾何級(jí)數(shù)增加的，人口的迅速增長(zhǎng)若不加控制，人類生存所必需的一切條件將處于危險(xiǎn)中。這一實(shí)例說(shuō)明了數(shù)學(xué)與人類生存世界的和諧相聯(lián)系。

上面各種事例可見(jiàn)，對(duì)數(shù)學(xué)和諧美的追求，可啟迪人們的思維，指明人們研究的方向與方法。怪不得有人稱“數(shù)學(xué)是一門萬(wàn)用的并具有絕對(duì)真理的藝術(shù)”。

2.2 對(duì)稱美

秩序和對(duì)稱是美的重要因素，而這兩者都能在數(shù)學(xué)里找到。

——亞里士多德

著名德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家外爾（H. Weyl）說(shuō)：“美和對(duì)稱是緊密相連的。”“對(duì)稱”在生活、藝術(shù)、自然界、各門科學(xué)中的例子屢見(jiàn)不鮮。從日常生活用品到建筑物，從生物細(xì)胞的構(gòu)造到動(dòng)植物外貌，從分子晶體的排布到化合物的組成……其中皆蘊(yùn)含著對(duì)稱。

“對(duì)稱”最初源于幾何。我們平面幾何中的對(duì)稱有軸對(duì)稱和中心對(duì)稱。比如圓（畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為，圓是平面上最完美的圖形）、正方形，它們既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形。立體幾何中的對(duì)稱除了上述兩種外，還有平面對(duì)稱。立方體、球等都是點(diǎn)、線、面對(duì)稱的圖形。

除了圖形上能看到的直觀對(duì)稱外，有一些公式和概念中也存在著對(duì)稱的思想。

如牛頓萬(wàn)有引力公式：F=k，這個(gè)公式中m，M是空間互相吸引的兩個(gè)物質(zhì)的質(zhì)量，顯然在式中處于同等地位，這也是一種對(duì)稱。

從更廣泛的意義上講，“數(shù)論”中的奇數(shù)和偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)，“代數(shù)”中的正數(shù)與負(fù)數(shù)，“三角”中的正弦與余弦、正切與余切、正割與余割等等，也可看作是對(duì)稱。

數(shù)學(xué)多種概念也是成對(duì)出現(xiàn)的：函數(shù)與反函數(shù)，象與原象，增函數(shù)與減函數(shù)，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)，開區(qū)間與閉區(qū)間，收斂與發(fā)散，連續(xù)與離散，由一般到特殊的演繹法和由特殊到一般的歸納法，它們都體現(xiàn)著對(duì)稱的思想。

可以這樣說(shuō)：數(shù)學(xué)中不少概念與運(yùn)算，都是人們對(duì)于“對(duì)稱”問(wèn)題的探討派生出來(lái)的，數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美除了作為數(shù)學(xué)自身的屬性外，也可看成啟迪人們思維及研究問(wèn)題的方向。

3 結(jié)束語(yǔ)

人類用同一種語(yǔ)言建造了精神的巴比塔，那就是數(shù)學(xué)。它是生活，也是藝術(shù)。數(shù)學(xué)真正的核心不是一些讓人生畏的公式，而是隱藏在其中的優(yōu)秀的人類思想。數(shù)學(xué)科學(xué)作為幾千年來(lái)人類智慧的結(jié)晶，其巧妙和諧的體系，嚴(yán)密而無(wú)懈可擊的說(shuō)服力，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的神奇力量，使許許多多的人為之傾倒。這神奇的力量正是來(lái)自數(shù)學(xué)中的美。

數(shù)學(xué)美是人們對(duì)現(xiàn)實(shí)美的反映，經(jīng)過(guò)人們思想情感影響著人們的數(shù)學(xué)實(shí)踐、科學(xué)實(shí)踐。對(duì)美的追求是數(shù)學(xué)創(chuàng)造最主要的動(dòng)力，對(duì)美的追求推動(dòng)著自然科學(xué)、人文科學(xué)的發(fā)展，對(duì)美的追求也推動(dòng)著數(shù)學(xué)本身和數(shù)學(xué)教育的發(fā)展。

最后，以某位名家的話總結(jié)全文：“數(shù)學(xué)的世界是一個(gè)圈，沒(méi)有所謂的起點(diǎn)與終點(diǎn)，在這個(gè)純美的地方，我們只要走得夠遠(yuǎn)，總能到達(dá)某個(gè)地方。”

[責(zé)任編輯：張濤]