貫注方法引導 發展數學思維

史阿蘭

摘 要：數學教師需要具備這樣的能力，能夠把學生內心的想法真正引導出來，幫助學生生成恰當的解題過程。“啟發性”是衡量教師教學水平的重要方面。初中數學教學中，面對學生錯誤的回答或解題時，教師應幫助學生對錯誤原因進行研究和分析，找出問題所在，貫注方法引導，以培養學生的創新性思維、發散性思維、邏輯性思維。

關鍵詞：數學教學；方法引導；學生思維

中圖分類號：O226文獻標志碼：A文章編號：2095-9214（2016）11-0072-02

教師給學生示范正確的解題過程固然重要，但教師在分析學生解題思路的基礎上，結合教學重難點，對解題方法進行引導，使學生能動地生成恰當的解題過程，發展學生的思維能力就更為重要了。學生的錯誤解題是數學教學的重要資源，充分挖掘利用，可以使教學思路清晰同時使學生對題目有充分的認識，數學思維能力有所提高。本文通過一道運動討論試題的解答為例來做些研究與反思。

題目（蘇科版《義務教育教科書，數學》七年級下冊試題）：如圖1，已知AB∥CD，C在D的右側，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直線交于點E，∠ADC=70°.（1）則∠EDC的度數為；（2）若∠ABC=n°，求∠BED的度數（用含n的代數式表示）；（3）將線段BC沿DC方向平移，使得點B在點A的右側，其他條件不變，若∠ABC=n°，求∠BED的度數（用含n的代數式表示）。

一、引導鼓勵，探尋答案的多種可能

問題（1）比較容易，根據角平分線的性質，可知∠EDC=12∠ADC=35°。問題（2）可以用三角形內角和以及對頂角的知識來解決，抓住∠EBC+∠BED=∠EDC+∠BCD，求得∠BED=12n°+35°；或者過點E作EF∥AB，即可得到AB∥CD∥EF，結合平行線的性質和角平分線的性質，即可求出結果。在問題（3）的解答中，發現班里有位同學是分兩種情形進行思考的：

情形一：如圖2，∠BED=∠EDF+∠EFD，根據角平分線的性質可得∠EDF=12∠ADC=35°，∠ABF=12∠ABC=12n°，再根據平行線的性質可得∠EFD=180°-∠ABF=180°-12n°，所以∠BED=35°+180°-12n°=215°-12n°。

情形二：如圖3，∠BED=∠BFC-∠FDE，由角平分線的性質，可得∠ABF=12∠ABC=12n°，∠GDC=12∠ADC=35°，根據平行線的性質，∠BFC=∠ABF=12n°，因為∠FDE=∠GDC，所以∠FDE=35°，所以∠BED=12n°-35°。

第三小題是一道運動討論問題，這類題是運用運動變化的觀點分析幾何圖形的變化規律。通過平移、翻折、旋轉等方法，帶動圖中一些元素（點、線、角等）發生變化。這類題綜合了函數、方程、不等式等方面知識，蘊含著分類討論、數形結合等數學方法。運動討論問題對學生的思想能力要求比較高，需要學生對圖形運動過程做整體分析。這位同學分兩種情形進行分析，探尋答案的多種可能，首先是要鼓勵的。當學生從多種角度對問題進行分析時，對這道題的認識會越來越深刻。做一道題，不僅是鞏固題中包含的知識方法，更重要的是培養學生思維的廣闊性、邏輯的嚴謹性。雖然這位同學的解答最終是扣分的，但是這種解題思路還是值得鼓勵的，這種探究精神以及體驗成功的愿望是值得尊重的。反思這道題做錯的原因，更是讓教與學都有收獲，學生的思維得到了鍛煉，教師的教學有了著力點。

數學教學不僅僅是教會學生解題，更重要的是貫注方法引導，發展學生數學思維。方法引導首先是尊重學生的思路、方法，無論正確與否，都是一種思考，有了思考，數學思維就得到鍛煉。與此同時，教師能夠了解教與學的效果，改進教學方式，思考如何給予方法引導。為了讓教學更順暢而撇開學生的想法，學生的想法將得不到鼓勵，學習會少了份動力。在課堂上如果學生的思路一時半會兒難說清楚，我們在課后也須要一同分析，這是對數學思維的尊重，也是發展數學思維的途徑。尊重之后再談方法引導，不然不會知道哪走偏了，也就不會知道如何引導。

如何才能調動學生思考的積極性，首先想到的可能是“你說我聽”，耐心聽學生的思路，無論學生想到哪我都尊重著聽，可是這也會和課堂效率有矛盾，畢竟數學課堂時間是有限的。所以數學課堂上應該做些有意義的事情，尊重并不等于隨便說。要真正的調動學生思考的積極性，關鍵還在于當學生的思路出現問題時教師如何引導讓學生的思路得以完善，在于當學生一點主意都沒有時教師如何引導讓學生逐漸想到些什么。尊重的基礎上引導學生發現問題解決問題。

二、認清變量，明確分類討論的依據

分類是一種重要的數學思想，學習數學的過程中經常需要分類討論。數學中的分類包含了數的分類、圖形的分類、代數式的分類、函數的分類等。在一些數學問題中，會因為變量的取值不同而導致結果不同，這時需要進行分類討論。在運用分類思想進行分類討論時，要根據學生已有經驗和認知規律，認清運動討論問題中隱含的變量，對問題結論進行動態研究，得出結論。培養學生由特殊到一般、運動變化等學習數學的基本素養，培養學生思維的連貫有序。認清變量，是做到對此類問題分類討論時不重復、不遺漏的基礎。

例題中學生想到了第二種情形，是因為他有運用分類討論思維方法的意識，∠ABC的平分線與∠ADC的平分線的交點好像不一定在兩條平行線之間，情形二好像可以存在。在這里就要引導他認清題中的變量。圖形是給定的，題中∠ADC=70°是給定的，兩條平行線之間的距離是給定的，點B在點A的右側是給定的，線段BC的斜率也是給定的，那么，在平移BC的過程中，我們要考慮的變量就只剩點B與點A之間距離這一變量。能夠推翻情形二最直截了當的方法是看AD與BE的斜率，也就是看∠ABE的大小有沒有大于70°，如果大于70°，射線BE就不會與線段AD相交。而題中平移后∠ABC的度數不變大約150°，所以∠ABE大于70°，情形二不會出現。

參考答案就是情形一這一種情況，但是我們繼續研究點B與點A之間距離這一變量可以發現雖然學生解題中的情形二不會出現，但是當點B繼續向右移動時會出現圖4這種情形，此時∠BED=∠ABF-∠EGB=12n°-35°。借助幾何畫板我給學生做了演示，然后我變動兩條平行線之間的距離進一步探索了這道題的奧秘。認清主導圖形運動的變量，找到使問題發生質變的節點，鼓勵學生質疑、探究，層層深入，培養學生敏銳的觀察力以及抽象概括能力。

順著學生的思路，我對題目本身的嚴密性有了質疑，比如直線BC的斜率應該有個范圍，也就是說圖中n應該是有范圍的；順著學生的思路，我們糾正了錯誤得到了新的情形；順著學生的思路，我們增加了變量，一起玩起來。

分類討論思想是一種重要的數學思想，厘清問題中的變量，找準引起分類的原因，列出所有可能的情況，再一一求解，最后對求解做出歸納。在日常教學中訓練數學分類討論思想，首先應當是靜下心來分析問題的變量，摸索由量變到質變的過程。

三、以靜制動，注意前后方法的類比

類比法是通過對某一事物的認識來認識與它在某方面具有相似屬性的另一事物。相似的兩道題他們的解題思路可能也會相似，那么由特殊情況拓展到一般情況的題目，其中的解題方法往往是類似的。類比這一推理方法可以使我們的思路清晰，提高解題效率。例題中的第（3）小題也可以像第（2）小題那樣過點E作EG∥AB，利用平行線的性質來求解。思路：如圖5，過點E作EG∥AB，因為AB∥CD，所以EG∥CD，根據平行線的性質可得∠BEG+∠ABE=180°，∠GED=∠EDF，所以∠BEG=180°-∠ABE=180°-12n°，∠GED=12×70°=35°，于是∠BED=∠BEG+∠GED=180°-12n°+35°=215°-12n°。

數學家拉普拉斯說過：類比和歸納一樣，是探索數學真理、發現數學真理的主要工具之一。運動討論問題給人的感覺就是復雜，我們需要以靜制動，觀察每種狀態之間的內在聯系以及解題方法的相似性。鎖定我們需要考慮的元素，撇開一些干擾的元素，將復雜的問題簡單化。

要進行分類討論的數學題，它的每一種情形在求解上往往有著很多的相似之處。注重方法的類比，可以使解答方便。這就需要我們引導學生在平時有意識的去歸納總結。

四、獨立思考，著重讀題能力的提高

鏈接中考，越來越注重學生讀題能力，從題目中提煉出有用信息和關鍵信息，甚至從題目中讀懂解題方法。作為數學教師，交給學生最重要的是數學思維方式。讓學生自己獨立思考，是獲得數學思維方式的重要途徑，是培養理性、務實、邏輯性強等品質的方法。在數學學習中，獨立思考就是從讀題開始的。我們經常碰見學生在做應用題時沒經過思考就把題目中出現的阿拉伯數字通過運算符號串聯起來，這正是沒有好好讀題，忽略了好好讀題，是因為缺乏獨立思考的經驗。通過獨立思考，我們發現案例中的題目注重的是圖形的內涵和拓展，只是在問題的呈現方式上有一些不嚴密。在后期的學習中，有一天學生拿著一道題目欣喜地跑到我身邊，這是一道和案例中類似的題，而出題人給定了一幅圖，在題目中加了“如圖”二字，將題目限定在“情形一”中，比較妥當。我和學生看到這“如圖”二字很是觸動，因為我們獨立思考過了，我們真正讀懂了這道題，感覺和出題人找到了共鳴。

引導鼓勵，探尋答案的多種可能；認清變量，明確分類討論的依據；以靜制動，注意前后方法的類比；獨立思考，著重讀題能力的提高。在教學過程中，貫注方法引導，發展數學思維，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，培養學生的創新意識和科學態度。

（作者單位：蘇州市吳江區桃源中學）

參考文獻：

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