特定抽樣下有效樣本量的性質研究

艾小青

（北京工業大學a.經管學院；b.首都社會建設與社會管理協同創新中心，北京 100124）

特定抽樣下有效樣本量的性質研究

艾小青a,b

（北京工業大學a.經管學院；b.首都社會建設與社會管理協同創新中心，北京 100124）

常見的放回抽樣等方法操作比較簡單，但缺點是有效樣本量是不確定的，而是取決于抽樣的隨機結果。文章對PPS抽樣和泊松抽樣下有效樣本量的性質進行了研究，通過數理推導和統計模擬揭示了有效樣本量的分布特征，給出了特定條件有效樣本量的置信區間。

有效樣本量；PPS抽樣；泊松抽樣

0 引言

很多抽樣方法都存在有效樣本量不能事先確定的問題，最終的有效樣本量往往取決于抽樣的結果，所以是隨機的[1]。比如群規模不相等時的整群抽樣，當抽出群的規模較大時，最終樣本單元就多，反之就少；比如各種放回抽樣，在依次抽取時都將已抽出的樣本單元放回抽樣總體再重新抽取，導致有些單元可能會重復抽到，抽出的有效樣本量小于等于抽取的次數。

PPS抽樣和泊松抽樣是現實中兩種應用較多的抽樣方法，它們都存在有效樣本量非確定性的問題[2]，但少有文獻深入研究其有效樣本量的具體性質到底是怎樣的[3]，本文將對此問題進行深入探討，通過數理推導和統計模擬揭示有效樣本量的分布特征。對有效樣本量性質的準確把握，能夠更好地指導實際的抽樣設計。

1 理論基礎

有限總體包含N個單元，單元變量取值分別為Y1，Y2，…，YN，總體總量為

任何概率抽樣的關鍵是了解總體單元的入樣概率。一階入樣概率πi表示單元i被抽出的概率；二階入樣概率πij表示不同兩個單元i和 j都被抽出的概率。

定義一階示性函數：

二階示性函數：

單元i在最終的樣本中則一階示性函數取值為1，否則為0。因為總體單元中抽出了n個有效樣本單元，意味著必有n個單元的一階示性函數值為1，所以，有效樣本量與一階示性函數值的關系是：

示性函數具有如下性質：

有效樣本量n的期望即總體所有單元的入樣概率之和：

有效樣本量n的方差為：

2 PPS抽樣下有效樣本量的性質

設存在一個規模輔助變量，總體N個單元的規模分別為X1，X2，…，XN，總體規?？偭繛閱卧猧的規模比重為Pi=Xi/X。

以規模變量作為輔助信息，進行PPS抽樣：設樣本量為T，即獨立重復進行T次放回抽取，每次抽取時單元i被抽到的概率都為Pi。單元i的一階入樣概率為：

單元i，j(i≠j)的二階入樣概率：

特別注意的是，這里的樣本量T，實質是抽取的次數，而實際抽出的有效樣本量n必然小于等于T，因為在放回抽取下有些單元會重復抽到。

根據式（9）和式（10），有效樣本量n的期望和方差為：

當總體單元數N較大且各單元的規模比重都接近為0時，單元被重復抽到的概率很小，有效樣本量n的期望值接近T。

n的理論取值范圍為1到T之間，P(n)，n≤T表示T次抽取后，有效樣本量為n的概率，其概率分布比較復雜，根據全概率公式，其理論表達式為：

當N較大于T且總體單元沒有規模比重極大的個體時，單元被重復抽到的概率很低，有效樣本量n一般接近T。當抽取次數T較大或者總體單元中存在規模比重極大的個體時，單元被重復抽到的概率較大，有效樣本量n將小于T。

使用R軟件進行了PPS抽樣的統計模擬，其中規模比重輔助變量根據均勻分布生成，總體單元數N確定為1000。模擬次數為10萬次，考察了不同抽取次數T下，不確定性有效樣本量的分布（直方圖）以及特征值（期望和標準差等）。

（1）由表1可以看出，抽取次數T較小時，有效樣本量n分布比較集中，基本上等于或稍小于抽取次數T，差值一般不超過2。T越小，n=T的概率值就越大，有效樣本量n的期望值與抽取次數T也越接近，抽取次數小于40時，兩者的絕對差值不超過1，相對差值不超過0.03。

表1 不同抽取次數下有效樣本量的概率值和特征值

（2）由圖1可以看出，隨著抽取次數T的增加，有效樣本量n分布將更為分散，并且趨于正態化。當抽取次數等于100時，有效樣本量近似為正態分布。這樣就能給出當抽取次數T較大時，有效樣本量的95%的置信區間為：

圖1 不同抽取次數下有效樣本量的分布特征

3 泊松抽樣下有效樣本量的性質

泊松抽樣是嚴格的不放回不等概率抽樣，總體單元i的入樣概率πi事先確定。針對總體的各個單元分別獨立抽取，每個單元可能抽出也可能沒抽出，這是它最特別的性質。

每個單元是否抽出是隨機的，服從0,1結果的二項分布，單元i抽出的概率即為事先確定的πi，而最終抽出的單元數量（有效樣本量）必然也是隨機的。

單元之間的抽取都是相互獨立的，所以二階入樣概率為：

根據式（9）和式（10），有效樣本量n的期望和方差為：

n的概率分布相對比較簡單，總體的N個單元有n個單元抽出來了，相應單元被抽出的概率為πi，有N-n個單元沒被抽出來，相應單元沒被抽出的概率為( ) 1-πj，不同單元的抽取是相互獨立的，所以根據全概率公式，有效樣本量n概率分布的理論表達式為：

根據中心極限定理可知，當總體單元數N較大時（N＞30），在這現實中一般都是滿足的，有效樣本量n近似服從正態分布[4]。

入樣概率確定后，有效樣本量n的期望和方差根據式（18）和式（19）可以直接計算出來。再通過R軟件統計模擬（模擬次數為10萬次），其中各單元的入樣概率根據均勻分布隨機賦值，展示在不同總體單元數N下有效樣本量n的分布特征。

由圖2可以看出，有效樣本量的分布基本都是對稱的，尤其是當總體單元數N越大時，越近似于正態分布。這樣就能給出總體單元數N較大時，有效樣本量的95%的置信區間為：

4 結論

圖2 不同總體單元數下有效樣本量的分布特征

PPS抽樣和泊松抽樣在實際抽樣調查中有著廣泛的應用，但它們的有效樣本量實質上無法事前確定，而是取決于抽取結果的隨機變量。本文對兩種抽樣下有效樣本量的性質進行了深入研究，通過數理推導給出了有效樣本量的概率分布，以及相應的特征值（期望和方差），通過統計模擬給出了有效樣本量的分布特征，特別是給出了一定條件下有效樣本量的置信區間，這樣雖然無法事前確定有效樣本量的最終結果，但可以有概率層面的推斷和了解。

本文研究結果有著一定的理論和現實意義，一方面有助于我們更加深入理解抽樣設計的原理和抽樣結果的特征，另一方面對有效樣本量有了更準確的事前預判，能夠更好地指導抽樣的方法設計以及調查的組織開展。

[1]Antal E,Tille Y.A Direct Bootstrap Method for Complex Sampling De?signs From a Finite Population[J].Journal of the American Statistical Association,2011,16(494).

[2]Rao C R,Rubin H.On a Characterization of the Poisson Distribution[J]. Sankhyā the Indian Journal of Statistics,1964,(32).

[3]Antal E,Tillé Y.Simple Random Sampling With Over-replacement[J]. Journal of Statistical Planning and Inference，141.

[4]金勇進，杜子芳，蔣妍.抽樣技術（第二版）[M].北京：中國人民大學出版社，2008.

（責任編輯/易永生）

C811

A

1002-6487（2016）23-0012-03

北京市社會科學基金基地項目（14JDJGC040）；北京工業大學日新人才項目；北京工業大學首都社會建設與社會管理協同創新中心項目

艾小青（1982—），男，湖南邵陽人，博士，副教授，研究方向：抽樣調查、經濟統計。