采用自適應遺傳算法的機床公差分配研究

劉鵬,洪軍,劉志剛,郭俊康,周強

(西安交通大學機械制造系統工程國家重點實驗室,710049,西安)

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采用自適應遺傳算法的機床公差分配研究

劉鵬,洪軍,劉志剛,郭俊康,周強

(西安交通大學機械制造系統工程國家重點實驗室,710049,西安)

針對當前機床幾何精度建模忽視裝配過程中的調整量,以及機床公差分配時缺乏科學可行的方法問題,利用狀態空間模型描述機床實際裝配過程,考慮裝配過程中的調整控制量,建立了更加準確的機床裝配精度模型,并引入種群多樣性指標,構建了用于機床公差分配的自適應遺傳算法。以TGK46100精密臥式坐標鏜床為研究對象,建立了裝配精度要求與基礎大件角度誤差之間的映射關系,以零件加工總成本最小為目標函數,采用構建的自適應遺傳算法,完成了該機床基礎大件角度公差的分配。結果表明:與不考慮裝配調整量的偏差累積方法相比,該方法放寬了零件加工精度,最大放寬幅度達到了36.4%,平均放寬幅度為12.0%,從而在滿足最終裝配精度要求的前提下,降低了零件加工制造成本,為機床公差分配提供了更加準確的精度建模方法和可行合適的公差分配方法。

公差分配;狀態空間模型;自適應遺傳算法

機床公差分配主要研究在一定裝配精度約束下,同時保證一定的裝配率,合理地分配各組成零件的公差,使得機床組成零件的加工成本達到最低[1]。進行機床公差分配首先需要建立機床精度模型,國內外學者對機床精度建模進行了廣泛而深入的研究。Hocken用矩陣變換法建立了三坐標測量機的誤差模型[2]。Kiridena等用D-H法建立了TTTRR、RTTTR、RRTTT形式的五坐標機床的空間幾何誤差模型,研究了定位誤差與體積誤差之間的映射關系[3]。Rahman等基于齊次坐標矩陣建立了多軸數控機床的準靜態誤差綜合空間誤差模型[4]。國防科技大學李圣怡等基于變分法與多體系統運動學,建立了多軸機床的通用精度模型,以三軸、五軸機床為例給出了理想運動模型、有誤差運動模型和空間誤差模型等的具體表達式[5-8]。2011年,Liu等詳細討論了數控機床各項幾何誤差特征之間的關系[9]。Zhu等于2012年基于多體系統模型,提出了一種面向數控機床幾何誤差辨識與補償的綜合建模方法[10]。2014年,Tian等借鑒機器人機構學中旋量理論提出了一種機床幾何誤差的構建方法[11]。2015年,Fu等基于運動微分矢量,提出了一種五軸機床的幾何誤差建模、辨識與補償方法[12]。Zhong等基于多體系統理論和齊次坐標變換,對一種大型五軸加工中心的幾何誤差建模、變形及補償方法進行了研究[13]。但是,這些精度模型不符合機床實際裝配過程,忽略了裝配過程中的修配刮研等調整量和裝配過程中測量誤差等因素[14]。

具體實現機床精度分配問題是一多元非線性函數在約束條件下求極值問題。在理論上往往把多元非線性極值問題歸結為多元非線性方程組的求根問題,然后采用迭代法求解。但是,傳統的求解算法,如牛頓迭代、最速下降法,需要將問題線性化,或者求解偏導數等,在某種程度上復雜化了問題,并增加了結果的不準確性,甚至在許多時候無法得到問題的最優解[15]。

因此,本文利用狀態空間方法[14]對機床實際裝配過程進行描述,使用最優控制方法獲取機床裝配過程中最優調整量,進而獲得機床裝配精度指標與組成零件誤差之間的函數關系;然后,構建了基于浮點數編碼的自適應遺傳算法,實現對機床公差的最優分配;最后,使用該技術方案,對TGK46100精密坐標鏜床進行了基礎大件角度公差的分配。

1 機床裝配精度與零件誤差關系建立

1.1 機床裝配過程的狀態空間模型

在機床實際裝配過程中,關注的是當前裝配體的誤差狀態。該誤差狀態受到零件誤差、調整刮研等影響,同時為了了解當前裝配體的誤差狀態,會進行測量操作,而在測量時也會引入測量誤差。機床裝配過程中的誤差狀態變化如圖1所示。

圖1 機床裝配過程中誤差狀態轉移情況

裝配過程的狀態空間方程[16]為

X(k+1)=A(k)X(k)+B(k)u(k)+F(k)ω(k)

y(k)=C(k)X(k)+ν(k)

(1)

式中:X(k)為第k-1步裝配后的裝配體誤差狀態;X(k+1)為第k步裝配完成后的裝配體誤差狀態;u(k)為在第k步裝配時,刮研、修配等調整量;ω(k)為第k步裝配引入的零件誤差;v(k)為測量時的噪聲;A(k)為裝配體特征矩陣;B(k)將u(k)從第k個零件的局部坐標系轉換到基礎坐標系;C(k)為輸出矩陣,與所關心的特定特征面相關;F(k)將第k步裝配時引入的零件誤差從第k個零件的局部坐標系轉換到基礎坐標系。

1.2 機床裝配精度成本函數

機床裝配的目的之一是要在滿足最終裝配精度要求條件下,花費盡可能少的經濟代價。結合裝配過程中的測量、調整等,可以采用裝配精度成本函數來表達,即

uT(k)R(k)u(k)]

(2)

式中:S表示最終裝配精度對應的成本系數矩陣;yT(N)Sy(N)表示該裝配精度需要的經濟成本;Q(k)表示第k步裝配時的裝配精度對應的成本系數矩陣;yT(k)Q(k)y(k)表示第k步裝配時,為了達到該精度需要的成本,權重矩陣R(k)為調整單位零件誤差的成本系數矩陣;uT(k)R(k)u(k)為調整零件誤差的成本,S、Q(k)與誤差狀態相關。

1.3 機床裝配最優調整序列

根據式(1),可以將裝配過程中的最優調整序列u(k)問題轉化為離散隨機線性系統最優輸出問題。可以通過以下方法得到裝配過程中第k步最佳調整量,即最優的裝配調整序列為

(3)

K(k)=[R(k)+BT(k)P(k+1)B(k)]-1·

BT(k)P(k+1)A(k)

(4)

P(k)=Q(k)+AT(k)P(k+1)·

[I+B(k)R-1(k)BT(k)P(k+1)]-1A(k)

(5)

且有S=P(N)=Q(N),所以只要指定成本系數矩陣R、S、Q,就可以獲得一組最優裝配調整序列。

1.4 機床裝配精度與零件誤差關系建立

根據1.2、1.3節的方法,機床裝配體誤差的狀態空間方程可以改寫為

Xi(k)=A(k)X(k)+F(k)ω(k)

X(k+1)=[I-B(k)T(k)K(k)]Xi(k)

(6)

式中:T(k)是調整特征選擇矩陣,非對角線元素均為0,通過給定對角元素為1表示對應幾何特征在第k步可以進行調整,為0則表示對應特征不能被調整;隨機變量Xi(k)的概率密度函數由ρ(k)=E[X(k)]以及D(k)=D(X(k))確定,D(k)表示機床裝配精度的公差帶,即誤差狀態的變化范圍。

利用式(6),可獲得公差帶的表達式為

Di(k)=AT(k)D(k)A(k)+F(k)V(k)FT(k)

D(k+1)=[I-B(k)T(k)K(k)]·

Di(k)[I-B(k)T(k)K(k)]T

(7)

式中:V(k)表示零件誤差ω(k)的協方差,ω(k)被定義為均值為0,且互不相關的零件誤差向量

E[ω(k)]=0

(8)

初始的D(0)=0。

通過上述方法,便完成了機床裝配精度指標與零件公差之間的函數關系建立。

2 自適應遺傳算法構建

機床裝配精度與零件公差的函數關系在忽略高階項之后,形式變為

(9)

式中:m為每個零件考慮的精度項目個數;kij為第i個零件的第j項誤差值系數;tij為第i個零件的第j項誤差值,在本文所構造的自適應遺傳算法中,tij為第i條染色體上第j個基因。

在實際加工制造中,零件角度公差越小,那么加工成本越高。本文通過調研昆明機床廠,發現該廠零件公差與加工成本在一定范圍內近似為一反比例函數。這種公差成本函數是文獻[1]中負冪成本函數的特殊情況。以機床裝配體零件加工總成本W為目標函數,在上述情況下可以表示為

(10)

式中:n表示機床裝配體零件個數;Cij為反比例函數系數,根據機床廠零件加工制造能力確定。

此時機床公差最優化分配問題轉化為了一多元非線性尋優問題,傳統的拉格朗日乘子法、變尺度搜索等方法已經不再適用。這里采用一種基于浮點數編碼的自適應遺傳算法來獲得一組tij,既能滿足機床裝配精度要求,又能使得零件加工總成本最小。

2.1 初始零件誤差種群產生方法

結合零件實際加工過程,組成機床的各個零件的可加工精度范圍是不一致的,即遺傳算法中染色體上各個基因片段的初值范圍應該根據實際情況確定。每個基因的產生通過方程實現,即

(11)

式中:bt,ij、bl,ij分別為第i條染色體第j個基因取值的上下限;r表示一隨機數;c為一常數。

2.2 優選零件誤差操作

機床公差分配問題受到裝配精度要求Pi的約束,故首先需要將該問題轉換為無約束問題。本文采用外點法實現轉換。對于本文所述問題,外點法可定義為

(12)

式中:μ為懲罰系數;h(ti)為懲罰函數;ti為第i條染色體所有基因片段(ti1,ti2,…,tim)構成的向量,即第i個零件所有誤差構成的零件誤差向量。在公差分配過程中,h(ti)定義為

(13)

式中:δi為利用tij(j=1,2,…,m)計算得到的Ps與裝配體要求的精度項目的差值;ci為一給定的常數。

(14)

式中:fl為第l個個體的適應度值;M是種群中個體的數目。

將這些概率映射到輪盤上,然后通過產生一隨機數,即可實現選擇操作。

2.3 零件誤差染色體的交叉運算

假設用于交叉的兩個基因為ta、tb,它們分別位于兩條不同的零件誤差染色體上,交叉運算之后變為新的基因

(15)

式中:α∈(0,1)為一常數,可以通過隨機方法產生。

2.4 零件誤差染色體的變異方案

采用非一致性變異方法,即在演化初期,變異范圍相對較大,而隨著演化的推進,變異范圍越來越小。設某染色體上基因為ti=(ti1ti2,…,tik,…,tim),m為每條染色體上基因的個數,此時基因tik會發生變異,變異的規則為

(16)

Δ(ξ,y)=y[1-rξb]

(17)

2.5 自適應的交叉概率及變異概率

采用王成棟等提出的使用種群多樣性的指標ξ[17]來動態調整交叉概率和變異概率,即當種群進化的多樣性程度下降時,交叉概率和變異概率適當增大,以增加新個體的產生概率,克服早熟問題。自適應交叉與變異概率具體計算公式為

(18)

(19)

本文實現機床公差最優化分配的詳細技術路線如圖2所示。

圖2 機床公差最優化分配技術路線

3 機床公差分配實例

本文以昆明機床廠生產的TGK46100精密臥式坐標鏜床為例,對該機床完成基礎大件角度公差的分配。該坐標鏜床主要由床身、立柱、滑鞍,主軸箱、托板、工作臺等6大基礎部件構成,如圖3a所示,機床的簡化結構如圖3b所示,主要裝配精度指標如表1所示。

表1 TGK46100主要裝配精度指標

(a)TGK46100精密臥式坐標鏜床簡圖

0～6:裝配特征面;A:床身;B:立柱;C:滑鞍;D:主軸箱;E:托板;F:工作臺(b)TGK46100簡化結構圖圖3 TGK46100精密臥式坐標鏜床

假設該坐標鏜床的裝配順序為:將床身A安裝到地面上;將立柱B裝到床身A上;將滑鞍C裝到立柱B上;將主軸箱D裝到滑鞍C上;將托板E裝到床身A上;將工作臺F裝到托板E上。

裝配完成之后,角度偏差可以表達為

(20)

式中:δi(N)(i=1,2,3,4,5,6)代表的是特征面1～6的偏差狀態;ΔθA～F代表了零件A～F的零件誤差。

(21)

式中:k表示裝配過程中的第k步。

在裝配第1步的時候,調整特征矩陣為

定義權重矩陣R來表征消耗的經濟成本系數。注意到,該系數矩陣的取值與機床廠調整單位零件誤差的難易程度密切相關。本文例子中所有R矩陣的取值是根據昆明機床廠實際調研分析所得。因為此時只有床身已經進入到裝配,所以給未進入裝配的零件分配一個較大的成本系數,取為500,所以

在第2步裝配的時候,立柱裝到床身上,所以調整矩陣和權重矩陣為

在第3步裝配的時候,將滑鞍裝到立柱上,調整起來相對困難,所以調整矩陣和權重矩陣為

在第4步裝配的時候,主軸箱裝到滑鞍上,此時調整矩陣和權重矩陣為

在第5步裝配時,將托板裝到床身上,調整起來相對困難,所以調整矩陣和權重矩陣為

第6步裝配的時候,將工作臺裝到托板上,此時的調整矩陣和權重矩陣為

假設在裝配過程中,不關心誤差狀態的變化,那么觀測矩陣為零矩陣,根據該臥式坐標鏜床的精度指標要求(見表1),裝配完成后的觀測矩陣為

Q1～Q6為零矩陣,Q7為機床裝配精度成本系數矩陣,與機床廠的裝配能力密切相關。通過調研昆明機床廠得到對角陣

Q7=diag([0.3,0.3,0.3,0.20,0.20,0.20,0.20,0.32,0.32,0.20,0.20])

在此基礎上,設床身的角度誤差為t1,立柱的角度誤差為t2,滑鞍的角度誤差為t3,主軸箱的角度誤差為t4,托板的角度誤差為t5,工作臺的角度誤差為t6。這六大基礎部件的角度誤差由3項組成,即

將這些數據引入到式(7)進行迭代,其中式(7)中矩陣A為單位矩陣,矩陣B與矩陣F相等,均為式(20)中的系數矩陣。忽略高階項,得到該精密臥式坐標鏜床裝配精度指標與零件公差項目之間的函數映射關系為

(22)

建立零件加工總成本函數,其中m=3,n=6,代表TGK46100的6個基礎部件,且每個基礎部件有3項角度公差。設置遺傳算法的基本參數如表2所示。

表2 自適應遺傳算法參數取值

采用Matlab編寫求解代碼,實現該公差分配方案,自適應遺傳算法的收斂情況如圖4所示。

可以發現,本文所構建的自適應算法收斂性良好,得到的分配結果如表3所示,利用該結果,根據式(22)計算得到的裝配精度指標均滿足表1所列的裝配精度要求。表3中第4列是采用李圣怡等提出的基于變分法與多體系統運動學的機床精度建模方法[8],構建了TGK46100偏差傳遞精度模型,然后利用本文提出的自適應遺傳算法進行計算,采用相同算法參數得到了分配結果。從表3中可以發現,不考慮裝配調整量的偏差累積方法對零件加工精度提出的要求高,制造難度加大,而本文方法則放寬了零件精度要求,最大放寬幅度達到了36.4%,平均放寬幅度為12.0%,在同樣滿足裝配精度要求的前提下,大大降低了零件制造成本。

4 結 論

本文建立了機床裝配精度的狀態空間模型,考慮了實際裝配過程中多種影響裝配精度的因素,與傳統偏差累積傳遞模型相比,更加符合機床裝配實際;在引入種群多樣性指標的基礎上,構建了用于機床公差分配的自適應遺傳算法,且算法收斂速度快,為多元非線性函數在約束條件下尋優提供了一種可行快捷的思路;通過精密機床公差分配實例,驗證了狀態空間法構建的精度模型的正確性以及自適應遺傳算法的有效性,分配結果與依靠多體系統偏差累積方法得到的結果相比,零件精度要求得到放寬,最大放寬幅度達到了36.4%,平均放寬幅度為12.0%,在滿足裝配精度要求的前提下,實現了降低制造成本的目標。

表3 TGK46100基礎大件公差分配結果

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(編輯 趙煒 杜秀杰)

Research on the Tolerance Allocation of Machine Tools Based on Adaptive Genetic Algorithm

LIU Peng,HONG Jun,LIU Zhigang,GUO Junkang,ZHOU Qiang

(State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

The current modeling methods of machine tool’s geometric precision often ignore the effects of adjustment, lacking of scientific and feasible approaches to allocate the tolerance of machine tools. This paper adopts the state space model to describe the actual assemble process of a machine tool, and the adjustments in the assemble process are considered. Thus a more accurate model is set up. By introducing the index of the species diversity, an adaptive genetic algorithm for tolerance allocation is built up. The method was applied in the tolerance distribution of the angular tolerance in TGK46100. Firstly, the relationship of assembly accuracy requirements and angle error of large parts is constructed. Then taking the total cost of parts machining as the objective function and using the adaptive genetic algorithm, the optimal angle tolerance is obtained. The results show that, compared with the deviation accumulation method without considering the assembly adjustment, the machining accuracy of parts is relaxed and the maximum relaxation rate reaches 12%, with an average of 36.4%. Hence the parts manufacturing cost is reduced when the final assembly accuracy requirements are met. This research provides an accurate modeling method for machine tools’ tolerance distribution.

tolerance allocation; state space model; adaptive genetic algorithm

2015-06-19。 作者簡介:劉鵬(1992—),男,碩士生;洪軍(通信作者),男,教授,博士生導師。

時間:2015-11-04

網絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20151104.2222.004.html

10.7652/xjtuxb201601018

TH161

A

0253-987X(2016)01-0115-09