雷達關聯成像中的陣元位置誤差分析

徐先武，程永強，秦玉亮，周小利

(國防科技大學 電子科學與工程學院, 長沙 410073)

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·信號處理·

雷達關聯成像中的陣元位置誤差分析

徐先武，程永強，秦玉亮，周小利

(國防科技大學 電子科學與工程學院, 長沙 410073)

雷達關聯成像是一種全新的凝視高分辨成像方法，在軍事上有著廣闊的應用前景。文中針對陣列雷達普遍存在的陣元位置誤差問題，建立了存在陣元位置誤差下的雷達關聯成像模型，得到了泰勒展開下目標回波與陣元位置誤差的線性關系；推導了存在陣元位置誤差條件下雷達關聯成像的理論誤差限，準確預測了陣元個數、信號帶寬、成像單元尺寸和數目、目標散射系數和散射中心數目對成像誤差的影響。研究結果為雷達關聯成像系統參數的設置以及陣元位置誤差補償提供了一定的參考和依據。

陣列雷達；雷達關聯成像；陣元位置誤差；克拉美羅下界

0 引 言

成像雷達具備全天候、全天時、遠距離觀測的能力，在軍用領域的戰場偵察、目標識別和精確打擊以及民用領域的天體測繪、地形測繪和海洋觀測等應用中具有重要意義。經過多年研究，成像雷達在系統結構、成像方法和應用場景等方面得到很大的發展。目前，合成孔徑雷達和逆合成孔徑雷達在高分辨成像方面發展相對成熟[1]。然而，這些成像雷達大多基于距離-多普勒原理，其距離向分辨率取決于帶寬，方位向分辨率依賴于多普勒，在凝視/近凝視的非理想觀測幾何條件下以及非合作目標等情況下成像性能急劇惡化。

雷達關聯成像采用新的成像思路，通過陣列天線產生在時間和空間上隨機分布的二維隨機輻射場，依靠雷達信號本身的差異性實現對目標的高分辨成像。其方位向分辨率不再依賴于雷達與目標的相對運動，而是與輻射場的差異性有關，即輻射場中相鄰兩點信號的差異性決定了這兩點的分辨[2-4]。最終通過回波信號與輻射場參考信號的相關處理就能得到目標信息，如果結合稀疏重構理論以及各類參數化方法，則能得到更高分辨率的圖像。

雷達關聯成像模型要求準確已知的輻射場參考信號，這就意味著各陣元的相對位置要準確已知，但是在實際情況下，存在安裝誤差、測量誤差以及由陣列工作環境改變、工作平臺振動等引起的誤差[5]，這些誤差導致陣元位置存在偏差，影響延時信號推算的準確性，造成輻射場參考信號與實際回波信號失配，進而影響目標重構的效果。實際上，陣元位置誤差廣泛存在于陣列雷達中，對陣列雷達的性能都有較大影響[6-7]。

本文在陣列雷達普遍存在陣元位置誤差的背景下，以雷達關聯成像為基礎，著重分析陣元位置誤差對雷達關聯成像的影響。首先，簡要介紹雷達關聯成像基本原理；然后，在考慮陣元位置誤差情況下，建立雷達關聯成像線性模型以及推導目標散射系數估計的克拉美羅下界(CRLB)；最后，仿真分析帶寬等因素對成像誤差的影響及其原因，驗證理論分析的正確性。

1 雷達關聯成像原理

雷達關聯成像是從量子成像引入的一個概念，文獻[4]詳細介紹了雷達關聯成像的基本原理，建立了雷達關聯成像的數學模型并設計了相應成像算法。雷達關聯成像是通過雷達陣列發射一組時間不相關、且相互正交的信號，在成像區域形成具有時間-空間不相關的輻射場，并且根據已知發射波形和成像幾何關系推演輻射場參考信號，最終通過接收信號與輻射場參考信號的關聯處理實現目標信息的解耦，獲得目標的散射強度以及其空間分布[4]。其基本原理如圖1所示。

圖1 雷達關聯成像示意圖

圖1中雷達關聯成像采用N個發射陣元，1個接收陣元，接收信號表示為Sr(t)，第n個發射陣元的信號表示為Stn(t)，則發射信號矢量為St(t)=[St1(t),St2(t), …,StN(t)]，其中n∈{1,2,…,N}。以成像平面中心建立直角坐標系，r是成像區域內某點的位置矢量，Rn是第n個發射陣元的位置矢量，R0是接收陣元的位置矢量。假定各發射信號滿足相互正交性和時間不相關性，即其自相關函數為

δ(t1-t2)·δ(m-n)

(1)

如考慮到各陣元信號到成像區域的延時，可將成像平面中r位置處的輻射信號表示為

(2)

式中：c表示光的傳播速度。由文獻[4]可知輻射場信號的自相關函數為

Nδ(r-r′;τ-τ′)

(3)

式中：r′和r表示兩個不同的位置矢量，τ和τ′表示兩個不同的延時。綜上可得：多個陣元發射時間不相關且相互正交的信號，可在成像區域形成空間-時間不相關的隨機輻射場。

若考慮成像區域到接收陣元的時延，可將接收回波信號表示為

Sr(t)=∫Iσr·S(r,t)dr

(4)

把回波信號Sr(t)與r′處的輻射場參考信號S(r′,t)做關聯處理(稱為相關法)，可得

(5)

根據信號形式、陣列構型等系統設置可靈活的求出成像平面中任意一點的輻射場參考信號，再依據式(5)把回波信號與輻射場參考信號做關聯處理，就可以精確獲得成像區域的目標散射信息，從而重構目標圖像。

圖2 成像區域單元化

將時間離散化，得t=[t1,t2,…,tM]T；對成像平面進行成像單元劃分(如圖2所示)，得[r1,r2,…,rL]。代入式(4)得

(6)

因此，雷達關聯成像的數學模型可表示為

Sr=S·σ

(7)

式中：Sr表示回波矢量；S表示輻射場參考信號矩陣；σ表示目標散射系數矢量。

由于輻射場信號具有時間-空間不相關性，而回波信號是各散射點處的輻射場信號的線性疊加，所以rank(S)=rank(S,Sr)=rank(Sz)=min(M,L),其中Sz=(S,Sr)表示S的增廣矩陣。由線性代數理論中可知，如果min(K,L)=L，即時間采樣點個數不少于成像單元的個數，此方程有唯一解σ=S-1·Sr(稱為偽逆法)。

2 存在陣元位置誤差下的雷達關聯成像模型

為了研究陣元位置誤差對雷達關聯成像的影響，本節首先在二維平面內建立如圖3所示的模型，以接收陣元為原點建立直角坐標系。實心圓代表實際的陣元位置，空心圓代表理論陣元位置，即測量所得陣元位置；(xn,yn)表示第n個陣元的坐標，n∈{0,1,…,N}；(xcl,ycl)表示第l個成像單元的坐標，l∈{0,1,…,L}；且令第n個發射陣元的位置誤差矢量為ΔPn=(Δxn,Δyn)，接收陣元的位置誤差矢量為ΔP0=(Δx0,Δy0)。

圖3 存在陣元位置誤差的成像模型

設發射信號為

Stn(t)=Anexp[j·(2πfn(t)·t+φn)]

(8)

式中：下標n表示第n個發射陣元；A表示振幅；f(t)表示隨采樣時間跳變的頻率；φ表示初始相位。

定義S(tm,cl)表示tm時刻第l個成像單元對應的輻射場參考信號，則有

(9)

式中：m∈{1,2,…,M}，M表示樣本數；τnl表示發射陣元n到成像單元l再到接收陣元的時延

(10)

因此，可得理論回波為

Sr(tm)= [S(tm,c1), S(tm,c2), …, S(tm,cL)]·

[σ1,σ2,…,σL]T

(11)

(12)

式(12)由一階泰勒公式在τnl處展開且去除高階項得

(13)

式中：Δτnl表示時延誤差，具體如式(14)所示

(14)

此時，實際輻射場參考信號為

(15)

式(15)可用一元一階泰勒公式在S(tm,cl)處進行展開，去除高階項得

(16)

式中：ΔS(tm,cl)表示輻射場誤差，具體如式(17)所示

(17)

綜合可得，實際回波信號為

Sr(tm)+ΔSr(tm)

(18)

式中：ΔSr(tm)表示回波誤差，具體如式(19)所示

Q(tm)·Δx0+P(tm)·Δy0

(19)

其中

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

因此，可將存在陣元位置誤差下的雷達關聯成像方程寫為

(25)

3 雷達關聯成像的理論誤差限

參數估計的CRLB 是無偏估計量方差的下界，也是描述參數估計極限性能的一個指標[8]。本節將陣元位置誤差當作隨機變量，推導目標散射系數估計的CRLB。首先，假設陣元位置誤差服從高斯分布，設其均值為0，方差為η2，即

Δxn～N(0,η2), Δyn～N(0,η2)

n∈(0,1,…,N)

(26)

由概率論可知若干高斯分布經過線性運算后同樣服從高斯分布，因此可得實際回波信號也同樣服從高斯分布，令μ(σ)表示其均值向量，C(σ)表示其協方差矩陣，即得

(27)

根據高斯情況下的CRLB理論可得[8]

(28)

進一步分析，顯然有

μ(σ)=S·σ

(29)

(30)

由于不同陣元的發射信號是相互正交的，跳頻信號的每一個頻點都有一個持續時間，且成像距離一般遠大于成像區域，因此式(30)中的均值部分可進一步近似并化簡為式(31)所示

(31)

現采用帶寬為B、載頻為fc的隨機跳頻信號，則其自相關函數為

綜上可得，協方差矩陣為

(32)

因此，將式(28)和式(32)代入式(27)中的第一項可得

(33)

同理，代入第二項為

(34)

綜合式(33)和式(34)可得Fisher信息矩陣為

[I(σ)]ij=

(35)

將Fisher矩陣求逆取對角元素，就可得到陣元位置誤差下各散射系數估計的CRLB，即理論誤差限。初步分析可得，陣元位置誤差對成像的影響與很多因素有關，包括：陣元位置誤差的大小(η)、陣元數目(N)、成像單元數目(L)、目標散射系數和散射中心數目(σ)、信號載頻和帶寬(fc,B)、樣本數(M)以及與延時(τ)有關的成像單元尺寸、陣元位置間距、目標距離等。

4 仿真分析

鑒于Fisher矩陣比較復雜而無法直接求逆，本節采用數值仿真的方法求CRLB，并對比同等條件下模擬實驗的目標重構方差，分析系統各個參數與陣元位置誤差對雷達關聯成像的影響。

4.1 參數和場景設置

表1 基本參數設置

另外，在[0, 0.001] (m)范圍內，設置步長為0.000 1(m)，依次取11個不同的位置誤差均方差值，產生零均值高斯分布的陣元位置誤差進行仿真。CRLB仿真和系統仿真都以圖3作為基本場景，圖4作為原始目標。

圖4 原始目標圖像

由于仿真實驗結果具有一定的隨機性，所以采用500次蒙特卡羅。另外定義目標估計方差為

(36)

圖5 陣元位置誤差均方差為0.5 mm時相關法目標重構圖像

圖6 陣元位置誤差均方差為0.5 mm時偽逆法目標重構圖像

4.2 仿真結果與分析

在以上基本參數的基礎上，分別改變陣元數、帶寬、成像單元尺寸、目標散射系數、目標散射中心數以及成像單元數進行仿真，得到圖7～圖12的實驗結果。初步觀察可知：(1)估計方差隨著陣元位置誤差的增大而增大；(2)偽逆法的方差曲線始終在CRLB曲線之上，即驗證了成像理論誤差限的正確性。其中，圖例“CRLB# **”表示在**條件下CRLB的仿真曲線；相應的，“LS法# **”表示在**條件下偽逆法的估計方差曲線。

圖7 不同陣元數的方差曲線

圖8 不同帶寬的方差曲線

圖9 不同成像單元尺寸的方差曲線

圖7、圖8和圖9分別給出了不同陣元數、不同帶寬、不同成像單元尺寸下的仿真結果。其中，陣元數分別取3和4，帶寬分別取0.8 GHz和1.2 GHz，成像單元尺寸分別取0.4 m×0.4 m和0.5 m×0.5 m。由這三幅圖可知，估計方差與陣元數、帶寬以及成像單元尺寸成反比。因為雷達關聯成像是依靠信號的差異性來分辨目標的，因此信號的不相關性對其成像質量具有很大影響。此處陣元數、帶寬的增加會使整個輻射場信號更為隨機，而成像單元尺寸的增大也會減弱相鄰成像單元輻射場信號的相關性，進而提高了對誤差的容忍度。所以在實際系統中可以適當增大陣元數、提高帶寬以及增大成像單元來減少陣元位置誤差對雷達關聯成像系統的影響。

圖10 不同散射系數的方差曲線

圖10、圖11和圖12分別給出了不同目標散射系數、不同散射中心數、不同成像單元數下的仿真結果。其中，目標散射系數分別取1和3，散射中心數分別取4和8，成像單元數分別取64和144。由這三幅圖可知，估計方差與目標散射系數、散射中心數以及成像單元數成正比。因為陣元位置誤差直接影響信號時延，進而造成輻射場信號的推演誤差，通過目標作用后，這種誤差最終體現在回波信號里面。如果將實際回波與輻射場參考信號進行關聯處理，這種誤差會造成原本目標信號的能量泄漏，即目標信號能量散布于整個成像平面，最終重構圖像中目標區域信號減弱，而其他成像區域出現虛假散射點。此處目標散射系數的增大、散射中心數的增多直接增強了回波信號的能量，提高了非目標區域的方差，而成像單元數的增多則增大了誤差區域，從而提高了整體方差。此處值得指出的是，在圖10中目標散射系數的增大，雖然提高了估計方差，但并沒有降低其成像效果，原因在于虛假散射點與目標散射點的信號相對強度并沒有實質性改變。

圖12 不同成像單元數的方差曲線

5 結束語

陣元位置誤差是陣列雷達中一個普遍存在的問題，本文針對雷達關聯成像這一全新成像體制，研究了陣元位置誤差的影響，得到了存在陣元位置誤差下的雷達關聯成像模型，導出了目標散射系數估計的CRLB，著重分析了陣元數、帶寬等對成像誤差的影響，使得雷達關聯成像中各種因素之間的關系逐步清晰，對陣元位置誤差的補償具有一定的指導意義。

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徐先武 男，1991年生，碩士研究生。研究方向為雷達成像、雷達信號處理等。

Analysis of Array Position Error in Radar Coincidence Imaging

XU Xianwu，CHENG Yongqiang，QIN Yuliang，ZHOU Xiaoli

(College of Electronic Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

As a novel high-resolution staring imaging technique, radar coincidence imaging (RCI) shows the great potentials in military applications. In this paper, the array position error which exists in array radar generally is considered; the RCI model in the presence of array position error is established. To obtain the analytic result, the nonlinear relationship between the echo and array position error is approximated linearly by the first-order Taylor expansion, thus the theoretical error bound of RCI with array position error is derived. Then the influences of several factors on imaging error are precisely predicted, including the number of array elements, signal bandwidth, the size and number of imaging cells, the coefficients and number of scattering centers. The conclusions and results could provide references for the parameter setup of RCI system and compensation of array position error.

array radar; radar coincidence imaging; array position error; CRLB

10.16592/ j.cnki.1004-7859.2016.03.007

國家自然科學基金資助項目(61302149, 6117133)

徐先武 Email：xianwu_xu@sina.com

2015-10-18

2015-12-20

TN957

A

1004-7859(2016)03-0032-06