平行軸圓柱副接觸分析

田紅亮,陳甜敏,鄭金華,余媛,張屹,趙春華

(三峽大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院,443002,湖北宜昌)

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平行軸圓柱副接觸分析

田紅亮,陳甜敏,鄭金華,余媛,張屹,趙春華

(三峽大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院,443002,湖北宜昌)

將古典赫茲理論與現(xiàn)代Majumdar-Bhushan模型相結(jié)合,建立了兩圓柱分形接觸模型。考慮結(jié)合部虛擬材料厚度,以及引入圓柱接觸面積比,對(duì)兩圓柱線高副矩形接觸面進(jìn)行了受力分析。數(shù)值仿真表明:圓柱接觸面積比不大于1;外接觸時(shí)圓柱接觸面積比小于內(nèi)接觸時(shí);增加總載荷或減小結(jié)合部虛擬材料厚度都將增大圓柱接觸面積比;外接觸時(shí)實(shí)際接觸面積小于內(nèi)接觸時(shí);實(shí)際接觸面積隨著分形粗糙度、材料硬度或結(jié)合部虛擬材料厚度的增加而減小;隨著分形粗糙度的增加,產(chǎn)生特定實(shí)際接觸面積所需要的總載荷增加,微凸體變形量增大;對(duì)于給定總載荷,當(dāng)分形維數(shù)從1.4增加到1.5時(shí),實(shí)際接觸面積相應(yīng)增大,但當(dāng)分形維數(shù)從1.5增加到1.9時(shí),實(shí)際接觸面積轉(zhuǎn)而減小;內(nèi)接觸時(shí)的赫茲應(yīng)力小于外接觸時(shí)的赫茲應(yīng)力。該研究結(jié)果可為進(jìn)一步研究圓柱齒輪傳動(dòng)的齒面接觸疲勞強(qiáng)度計(jì)算提供參考。

機(jī)械設(shè)計(jì);結(jié)合部;分形接觸;虛擬材料;圓柱;線高副

機(jī)械系統(tǒng)中各零件之間力的傳遞總是通過兩零件的接觸來實(shí)現(xiàn)的。當(dāng)前描述、表達(dá)與分析兩接觸物體接觸行為的2種主要解算方法,一種是側(cè)重考慮兩接觸物體宏觀因素的古典赫茲理論[1],另一種是重點(diǎn)考察兩接觸物體微觀因素的現(xiàn)代Majumdar-Bhushan模型[2](以下簡(jiǎn)稱MB模型)。

古典赫茲理論采用彈性力學(xué),考慮兩接觸物體的宏觀因素(如零件初始接觸線處的曲率半徑,球或圓柱的曲面形狀,外接觸或內(nèi)接觸的接觸方式),可以給出線接觸時(shí)的接觸壓應(yīng)力計(jì)算公式。接觸壓應(yīng)力是機(jī)械零件接觸疲勞強(qiáng)度計(jì)算的基礎(chǔ)應(yīng)力,古典赫茲理論首先解決了接觸壓應(yīng)力計(jì)算問題,但卻沒有考慮兩接觸物體的微觀因素(如接觸表面處的微觀幾何學(xué)形貌,表面粗糙度)對(duì)接觸壓應(yīng)力的影響,不能精確計(jì)算精密測(cè)試儀器的接觸壓應(yīng)力。

MB模型依據(jù)分形理論,計(jì)及了兩接觸物體的微觀因素(如接觸表面處的微觀幾何學(xué)形貌,分形維數(shù)D,分形粗糙度G),能夠推導(dǎo)出兩粗糙平面接觸時(shí)的總法向接觸載荷、實(shí)際接觸面積的計(jì)算公式,但MB模型沒有考慮兩接觸物體的宏觀因素(如零件初始接觸線處的曲率半徑,曲面形狀,接觸方式)對(duì)實(shí)際接觸面積的影響,也不能準(zhǔn)確計(jì)算兩曲面接觸后的實(shí)際接觸面積。目前尚未見到從理論上精準(zhǔn)計(jì)算兩粗糙曲面接觸時(shí)實(shí)際接觸面積的文獻(xiàn)。

機(jī)械加工工藝路線(如金屬的冷加工、熱加工、普通熱處理、表面熱處理、粗機(jī)械加工、精機(jī)械加工)、材料屬性(如彈性模量、泊松比、交貨狀態(tài)布氏硬度HB、最初屈服強(qiáng)度σy)及所受外載荷均相同的零部件互相接觸時(shí),如果零部件的微觀幾何學(xué)形貌、表面粗糙度、曲面弧的彎曲程度(用曲率度量)與接觸方式相異,則零部件的彈塑性變形與兩零件間接觸受力后的壓應(yīng)力亦皆相異。假如完全根據(jù)古典赫茲理論研究接觸問題,就無法區(qū)別微觀幾何學(xué)形貌與表面粗糙度相異的情況。假設(shè)純粹按照MB模型探討接觸問題,同樣不能區(qū)別曲面弧彎曲程度和接觸方式不同的情況。

早在1881年,赫茲首先用數(shù)學(xué)和彈性力學(xué)方法推導(dǎo)出了點(diǎn)接觸問題的計(jì)算公式。1882年,為解決線接觸問題,赫茲發(fā)表了經(jīng)典論文《論彈性固體的接觸》,隨后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了他的理論公式的正確性,從而開創(chuàng)了接觸力學(xué)這門學(xué)科。此后,人們從宏觀到微觀、從現(xiàn)象到本質(zhì),通過理論分析和試驗(yàn)測(cè)試,對(duì)機(jī)床系統(tǒng)中各種典型結(jié)合部的作用機(jī)理進(jìn)行了大量研究,并取得了相應(yīng)的研究成果。Majumdar等利用Weierstrass-Mandelbrot分形函數(shù),提出了具有尺度獨(dú)立性的粗糙表面彈塑性接觸分形模型,通過描述粗糙表面的2個(gè)重要表征參數(shù)和一些工程參數(shù),推導(dǎo)出了法向載荷的表達(dá)式[3],但是沒有考慮切向接觸,忽略了彈、塑性轉(zhuǎn)變帶來的加工硬化,硬度隨表面深度的變化,以及變形微凸體間的摩擦力。針對(duì)MB模型中最大彈性微接觸點(diǎn)的面積偏大的不足,Wang等做了相應(yīng)的改進(jìn):第一,提出了擴(kuò)展分形函數(shù);第二,區(qū)分了實(shí)際微接觸面積與微接觸截面積,給出了它們之間的關(guān)系式,通過定義一個(gè)擴(kuò)展非零域、一個(gè)域擴(kuò)展系數(shù)和一個(gè)域分開系數(shù),求得了更為合理的微接觸擴(kuò)展概率分布密度[4-7]。Horng建立了橢圓拋物面微凸體彈塑性接觸模型,推導(dǎo)出了彈性接觸面積、彈性接觸載荷、塑性接觸面積、塑性接觸載荷與干涉量、橢圓離心率的通用關(guān)系,以及臨界干涉量、塑性指數(shù)與橢圓離心率、橢圓平均有效半徑、橢圓等效半徑的關(guān)系[8]。但是,上述文獻(xiàn)[2-8]都有一個(gè)共同的問題,即均為主要針對(duì)兩平面接觸表面的載荷承載分析,而對(duì)于不同形狀的曲面接觸體的載荷,則不能正確分析。

古典赫茲理論與MB模型各有優(yōu)、缺點(diǎn),二者可以互補(bǔ)。本文對(duì)兩圓柱線高副接觸時(shí)形成的矩形接觸區(qū)域進(jìn)行受力分析,在分析過程中,試圖把古典赫茲理論與MB模型相結(jié)合,將兩平面接觸推廣到兩圓柱曲面接觸,使所建立的模型更具通用性與實(shí)用性。

1 兩圓柱接觸受力后的實(shí)際接觸面積

2個(gè)軸線平行的圓柱作外或內(nèi)接觸,圓柱的初始接觸線長(zhǎng)度為b。受力前,兩圓柱沿與軸線相平行的一條線相接觸。受力后,作用在軸向長(zhǎng)度b上的徑向壓縮均勻分布總載荷為F,則作用在單位軸向長(zhǎng)度上的壓縮載荷(稱為載荷集度)為

q=F/b

(1)

受力后,因?yàn)椴牧习l(fā)生了彈性變形,接觸線變成寬度為2a、長(zhǎng)度為b的一個(gè)矩形面。半接觸寬度a的表達(dá)式[9]為

(2)

式中:E為綜合彈性模量,r為綜合曲率半徑,并且滿足

(3)

(4)

其中E1、E2分別為小圓柱和大圓柱材料的彈性模量,μ1、μ2分別為小圓柱和大圓柱材料的泊松比,r1、r2分別為小圓柱、大圓柱初始接觸線處的曲率半徑,±表示接觸方式,正號(hào)用于外接觸,負(fù)號(hào)用于內(nèi)接觸。

上述矩形面的面積即為實(shí)際接觸面積,計(jì)算公式為

Ar=b2a

(5)

將式(2)代入式(5)得

(6)

將式(1)代入式(6)得

(7)

將式(4)代入式(6)得

(8)

2 圓柱接觸面積比

圓柱表面包括圓柱面、頂面和底面。兩圓柱面的面積和差為

MΣ=M2±M1=2π(r2±r1)b

(9)

式中:M1、M2分別為小圓柱面和大圓柱面的面積。

Mandelbrot在研究地球表面的幾何形貌時(shí)發(fā)現(xiàn),面積A超過一定值a的海洋面上的島嶼數(shù)N與a之間滿足冪律關(guān)系[10]

N(A>a)～a-D/2

(10)

式中:符號(hào)“～”表示正比。

在MB模型中,島嶼數(shù)

(11)

式中:aL為最大島嶼的面積。

接觸點(diǎn)的概率分布密度為

(12)

文獻(xiàn)[10]指出:在MB分形模型中,n(a)的求解需要假設(shè)兩接觸體在無限平面里接觸,或相對(duì)各個(gè)微突體來說為無限接觸。很顯然,當(dāng)接觸的2個(gè)曲面為非無限接觸時(shí),接觸時(shí)所形成的接觸點(diǎn)的總數(shù)N將有所變化。假設(shè)隨著接觸面的增大,兩接觸體的接觸點(diǎn)數(shù)會(huì)增加,但其值小于或等于a-D/2(正確的表達(dá)式應(yīng)為(aL/a)D/2,由式(10)與式(11)知文獻(xiàn)[10]將符號(hào)“～”等同于符號(hào)“=”)。因此,兩接觸體的理論接觸面積對(duì)N的大小有影響。

當(dāng)兩曲面完全內(nèi)接觸時(shí),為式(11)所描述的情況。當(dāng)兩曲面一般接觸時(shí),N滿足

(13)

式中:λ為圓柱接觸面積比?？梢?式(13)與文獻(xiàn)[10]中的式(4)——N(A>a)=λa-D/2不同。

文獻(xiàn)[10]認(rèn)為,由于接觸數(shù)N是指數(shù)函數(shù)形式(正確的說法應(yīng)為冪函數(shù)形式,因?yàn)橛墒?12)知a是變量),因此設(shè)λ亦為指數(shù)函數(shù)形式(正確的說法亦應(yīng)為冪函數(shù)形式)。多數(shù)文獻(xiàn)都假定結(jié)合部的質(zhì)量為0,即結(jié)合部的厚度為0,但是結(jié)合部的厚度對(duì)結(jié)合部的特性是有影響的[11-12]。設(shè)結(jié)合部虛擬材料的厚度為h,考慮兩圓柱的半徑與接觸方式,可構(gòu)建圓柱接觸面積比

(14)

將式(9)和式(7)代入式(14)得

(15)

式中:λ0為圓柱初始接觸面積比,并且有

(16)

將式(4)代入式(16)得

(17)

可見,式(17)不同于文獻(xiàn)[10]中的式(10)

將內(nèi)接觸形式中的式(4)代入式(15)得

(18)

(19)

將右極限

(20)

代入式(19),可得內(nèi)接觸時(shí)

(21)

即當(dāng)兩圓柱大小相同、內(nèi)接觸時(shí),兩圓柱完全接觸,式(13)退變成式(11),此時(shí)的情況與MB模型的建模條件相同。

3 兩圓柱接觸受力后的壓縮總載荷

由式(14)易見

λ≤1

(22)

在總法向接觸載荷P作用下,兩粗糙表面為平面接觸時(shí),產(chǎn)生實(shí)際接觸面積Ar。若將這2個(gè)粗糙表面彎曲成2個(gè)圓柱,當(dāng)這2個(gè)圓柱為線接觸時(shí)如果也產(chǎn)生相同的實(shí)際接觸面積Ar,則此時(shí)兩圓柱受徑向壓縮均勻分布總載荷F。通過平面接觸構(gòu)成平面低副,通過單一線接觸形成線高副,故下面不等式成立

P≤F

(23)

分析式(22)與式(23),可令

P=λF

(24)

將式(15)代入式(24)得

(25)

MB模型可求解兩粗糙表面為平面接觸時(shí)的總法向接觸載荷P,P的歸一化形式即是兩粗糙平面接觸理論中的改進(jìn)MB模型載荷公式[13-17]

(26)

將式(26)代入式(25),可得F的歸一化形式為

(27)

4 兩圓柱接觸受力后的赫茲應(yīng)力

作用在-a≤x≤a長(zhǎng)條上的法向壓應(yīng)力為

(28)

首先注意到法向壓應(yīng)力在整個(gè)接觸區(qū)必須是非負(fù)的,即

(29)

-a≤x≤a

(30)

為使不等式(30)恒成立,且兩圓柱不被壓潰而使連接失效,q或F(見式(1))不可能取值太大,再根據(jù)式(15),能保證不等式(22)成立,故可選較小值

(31)

式(31)與式(2)一致。由式(31)得

(32)

將式(32)代入式(28)得

(33)

函數(shù)p(x)在區(qū)間[-a,a]上的平均值(即平均法向壓應(yīng)力)為

(34)

將式(1)代入式(34)得

(35)

可見,兩圓柱接觸受力后,由于材料的彈性變形,接觸區(qū)域是長(zhǎng)為b、寬為2a的一個(gè)矩形。由式(33)可看出,接觸表面上所承受的法向壓應(yīng)力是處處不相同的,其分布呈半橢圓柱形。初始接觸線處的法向壓應(yīng)力最大,以此最大法向壓應(yīng)力代表兩零件間接觸受力后的應(yīng)力,稱為接觸應(yīng)力或赫茲應(yīng)力,表示為

(36)

將式(36)除以式(34)得

(37)

將式(2)代入式(36)得

(38)

將式(1)代入式(38)得

(39)

5 兩圓柱接觸受力的數(shù)值模擬

2個(gè)圓柱的材料均為含碳質(zhì)量分?jǐn)?shù)0.45%的中碳調(diào)質(zhì)45鋼,彈性模量E1=E2=206GPa,泊松比ν1=ν2=0.3,最初屈服強(qiáng)度σy=550MPa,交貨狀態(tài)布氏硬度HB=700MPa,初始接觸線長(zhǎng)度b=50mm,大圓柱半徑r2=100mm(文獻(xiàn)[10]中大圓柱半徑R1為1 000N有誤,此外,取G=10×10-5也不合理)。

5.1 圓柱接觸面積比的變化

圖1給出了圓柱接觸面積比的演化規(guī)律。圖1a～1e都反映出2個(gè)共性規(guī)律:①圓柱接觸面積比總是小于或等于1;②外接觸時(shí)圓柱接觸面積比小于內(nèi)接觸時(shí)的比率。

(a) h=1 mm與F=1 kN時(shí)小圓柱 (b) h=1 mm與r1=60 mm時(shí)總載荷 (c) h=1 mm與r1=r2時(shí)總載荷 半徑對(duì)接觸面積比的影響 對(duì)接觸面積比的影響 對(duì)接觸面積比的影響

(d) F=1 kN與r1=60 mm時(shí)結(jié)合部虛擬 (e) F=1 kN與r1=r2時(shí)結(jié)合部虛擬 材料厚度對(duì)接觸面積比的影響 材料厚度對(duì)接觸面積比的影響

從圖1a可見:λ隨著r1的增加而增大;當(dāng)r1→0時(shí),λ→0,因?yàn)榇藭r(shí)沒有物體與從動(dòng)大圓柱接觸;當(dāng)r1→r2且兩圓柱為外接觸時(shí),λ<1;當(dāng)r1→r2且兩圓柱為內(nèi)接觸時(shí),λ→1,因?yàn)榇藭r(shí)兩圓柱處處徹底內(nèi)接觸。

從圖1b可見:λ隨著F的增加而增大;當(dāng)100N≤F≤1 000N時(shí),在此大范圍內(nèi)λ收斂于某一定值,外接觸時(shí)λ→0.770 9,內(nèi)接觸時(shí)λ→0.950 1;當(dāng)0≤F≤100N時(shí),在此小范圍內(nèi)λ很快從0增加到該定值。

圖1c的演化規(guī)律與圖1b類似,但內(nèi)接觸時(shí)的λ恒等于1,因?yàn)榇藭r(shí)r1=r2,對(duì)于內(nèi)接觸是一種極限情況,兩圓柱處處完全內(nèi)接觸,只要提供很小的外載荷F,λ就會(huì)立即從0增大到1。

從圖1d可見,λ隨著h的增加而線性衰減,當(dāng)h=0時(shí),λ=1。圖1e的演化規(guī)律與圖1d相似,但在內(nèi)接觸時(shí)λ恒等于1。

由圖1b與1c可以看出, 當(dāng)F=0時(shí),

λ始終等

于0,因?yàn)閷?duì)于任一正數(shù)x,0x=0,由式(15)可知F=0時(shí)λ=0,這不同于文獻(xiàn)[10]中的結(jié)論“當(dāng)F→0時(shí),不論在外接觸或內(nèi)接觸時(shí),λ都達(dá)到最小值,但并不等于0,原因是盡管此時(shí)兩接觸體間的接觸應(yīng)力為0,但由于接觸實(shí)體的存在,接觸系數(shù)亦是存在的”。

5.2 實(shí)際接觸面積的變化

圖2給出了當(dāng)h=1mm時(shí)實(shí)際接觸面積的演化規(guī)律。圖2a～2e皆能夠說明以下3個(gè)共性規(guī)律:①本文的圓柱模型曲線位于MB模型曲線的下方;②在相同總載荷下,圓柱模型的實(shí)際接觸面積比MB模型的小;③在產(chǎn)生相同實(shí)際接觸面積的情況下,圓柱模型需要施加的總載荷比MB模型的大。

從圖2a可見:不論是外接觸還是內(nèi)接觸,同種接觸方式的實(shí)際接觸面積隨著r1的增加而增加;外接觸時(shí)的實(shí)際接觸面積比內(nèi)接觸時(shí)的小。

從圖2b可見:實(shí)際接觸面積隨著分形粗糙度的增加而減小;隨著分形粗糙度的增加,產(chǎn)生特定實(shí)際接觸面積所需要的總載荷增加,這是因?yàn)榉中未植诙仍黾訒r(shí)法向變形量增加,因此總載荷增加。

(a) D=1.5與G*=10-8時(shí)小圓柱 (b) D=1.5與r1=15 mm時(shí)分形 (c) G*=10-10與r1=15 mm時(shí)分形 半徑對(duì)實(shí)際接觸面積的影響 粗糙度對(duì)實(shí)際接觸面積的影響 維數(shù)對(duì)實(shí)際接觸面積的影響

(d) D=1.5、G*=10-10與r1=15 mm時(shí) (e) D=1.5、G*=10-8與r1=15 mm時(shí)結(jié)合部 硬度對(duì)實(shí)際接觸面積的影響 虛擬材料厚度對(duì)實(shí)際接觸面積的影響

從圖2c可見:對(duì)于給定的總載荷,當(dāng)分形維數(shù)從1.4增加到1.5時(shí),實(shí)際接觸面積相應(yīng)增加,而當(dāng)分形維數(shù)從1.5增加到1.9時(shí),實(shí)際接觸面積轉(zhuǎn)而減小。

硬度是定量表征材料軟硬程度的一種物理參量,通常材料的硬度會(huì)隨著距表面的深度而改變,不是一個(gè)恒定值。材料的布氏硬度HB對(duì)實(shí)際接觸面積的影響如圖2d所示,可見實(shí)際接觸面積隨著材料硬度的增加而減小。

結(jié)合部虛擬材料厚度對(duì)實(shí)際接觸面積的影響如圖2e所示,可見實(shí)際接觸面積隨著結(jié)合部虛擬材料厚度的增加而減小。

5.3 赫茲應(yīng)力的變化

圖3給出了當(dāng)h=1mm、P=1kN時(shí)赫茲應(yīng)力的演化規(guī)律:在同種接觸方式下,本文方法計(jì)算的赫茲應(yīng)力大于赫茲理論的計(jì)算值;隨著r1的增加,赫茲應(yīng)力下降;內(nèi)接觸時(shí)的赫茲應(yīng)力小于外接觸時(shí)的赫茲應(yīng)力。

圖3 小圓柱半徑對(duì)赫茲應(yīng)力的影響

6 結(jié) 論

(1)用術(shù)語“小圓柱面的面積”取代術(shù)語“公稱接觸面積”,更能直觀表達(dá)圓柱的幾何特征。

(2)圓柱接觸面積比不大于1,外接觸時(shí)的圓柱接觸面積比小于內(nèi)接觸時(shí)的。圓柱接觸面積比隨著總載荷的增加或結(jié)合部虛擬材料厚度的減小而增大。

(3)外接觸時(shí)的實(shí)際接觸面積比內(nèi)接觸時(shí)的小。實(shí)際接觸面積隨著分形粗糙度、硬度、結(jié)合部虛擬材料厚度的增加而減小。對(duì)于給定總載荷,當(dāng)分形維數(shù)從1.4增加到1.5時(shí),實(shí)際接觸面積相應(yīng)增大;當(dāng)分形維數(shù)從1.5增加到1.9時(shí),實(shí)際接觸面積轉(zhuǎn)而減小。

(4)內(nèi)接觸時(shí)的赫茲應(yīng)力小于外接觸時(shí)的赫茲應(yīng)力。

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(編輯 葛趙青)

Contact Analysis of Cylindrical Pair with Parallel Axes

TIAN Hongliang,CHEN Tianmin,ZHENG Jinhua,YU Yuan,ZHANG Yi,ZHAO Chunhua

(College of Mechanical and Power Engineering, China Three Gorges University, Yichang, Hubei 443002, China)

A fractal contact model between two cylinders was set up through combining classic Hertzian theory and modern Majumdar-Bhushan model. The force acting on the linear higher pair rectangular contact plane of two cylinders was analyzed considering the virtual material thickness of joint interface and introducing the cylindrical contact area ratio. Numerical simulation shows that the cylindrical contact area ratio is not greater than one, and the ratio of outer contact is less than that of inner contact. This cylindrical contact area ratio can be increased by increasing the total load or reducing the virtual material thickness of joint interface. The real contact area in exterior contact is less than that in interior contact. As the fractal roughness, material hardness or virtual material thickness of joint interface increases, the real contact area decreases. When the fractal roughness is increased, the total load required to produce a particular real contact area also increases, which results from the fact that an increase in fractal roughness implies an increase in asperity deformation, hence a higher load is required. As the fractal dimension is increased from 1.4 to 1.5, the real contact area first increases under a given total load. However, if the value of fractal dimension is increased from 1.5 to 1.9, the real contact area decreases. The Hertzian stress in internal contact is less than that in external contact. These results may provide a basis for the fatigue strength computation of gear surface contact in cylindrical gear transmission.

machine design; joint interface; fractal contact; virtual material; cylinder; linear higher pair

2015-08-03。 作者簡(jiǎn)介:田紅亮(1973—),男,博士,副教授;張屹(通信作者),男,教授。 基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275273)。

時(shí)間:2015-11-03

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20151103.1744.006.html

10.7652/xjtuxb201601002

TH113.1

A

0253-987X(2016)01-0008-08