非線性Mohr-Coulomb破壞準則下邊坡可靠度上限

賀志軍，曹吉，趙煉恒，瞿召乾，楊勝博

(中南大學 土木工程學院，長沙 410075)

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非線性Mohr-Coulomb破壞準則下邊坡可靠度上限

賀志軍，曹吉，趙煉恒，瞿召乾，楊勝博

(中南大學 土木工程學院，長沙 410075)

傳統邊坡可靠度分析往往在巖土參數服從線性Mohr-Coulomb(簡稱線性M-C)破壞準則的假設條件下進行，并且常常采用極限平衡法或有限元法計算安全系數。然而，巖土介質破壞準則具有一定的非線性。為能更加實際地描述巖土破壞機理和得到嚴格精確的解，基于非線性Mohr-Coulomb(簡稱非線性M-C)破壞準則，結合極限分析上限法和蒙特卡洛法，進行邊坡可靠度上限分析。當非線性參數m=1時，與等效的線性M-C破壞準則進行對比計算，驗證了方法的可行性。同時，將初始粘聚力、內摩擦角arctan(c0/σt)和非線性參數作為隨機變量且服從截斷正態分布，進行了參數變異性和敏感性影響分析。研究表明：非線性M-C破壞準則下，邊坡可靠度隨初始粘聚力、內摩擦角arctan(c0/σt)和非線性參數變異性的增大而減小；邊坡可靠度隨初始粘聚力和內摩擦角arctan(c0/σt)的增大而增大，隨非線性參數的增大而減小。

邊坡；可靠度；破壞準則；極限分析；蒙特卡洛法

邊坡穩定性問題一直是巖土工程的一個重要研究內容[1]。目前，邊坡穩定性分析主要有兩大體系：確定性體系與不確定性體系(可靠度體系)。確定性體系使用極限平衡法、數值模擬法或極限分析法等方法分析邊坡的穩定性，求得邊坡最小安全系數，以此作為邊坡穩定性評價指標。然而,邊坡是一個極其復雜的系統，巖土參數具有明顯的隨機性，采用確定性體系分析邊坡穩定性不符實際。文獻[2-3]也指出：由于安全系數沒有考慮參數隨機性和離散型對結果的影響，導致實際工程中很多結構在滿足安全系數的條件下依然出現了破壞現象。以概率論為基礎的可靠度體系可考慮邊坡系統內部的隨機關系，可給出邊坡穩定程度，因而可以彌補用單一安全系數分析邊坡穩定性的局限性。

邊坡可靠度分析主要有兩大步驟：一是構建計算邊坡穩定性安全系數的模型(功能函數)；二是使用可靠度分析方法計算邊坡可靠度(失效概率或可靠度指標)。在構建模型方面，目前應用最廣泛的是極限平衡法，該方法理論簡單、易于實施，但所作假設較多，根據塑性理論可知,該方法所獲解答不是嚴格的上下限解。另一應用廣泛的方法是數值方法[4-5]，該方法將有限元技術應用到邊坡穩定性分析中，可以考慮土體與其中結構物的共同作用，但其所得到的極限荷載值仍不夠精確。相比上述兩種方法，極限分析法可以得到邊坡極限荷載的嚴格上限解，在此基礎上進行可靠度分析，可以得到嚴格邊坡可靠度上限值，這對于分析邊坡穩定性可能具有重要意義。在可靠度分析方法方面，常用的分析方法有一次二階矩法[6-7]、JC法[8]、Monte Carlo法[9-10]等。其中，Monte Carlo法被認為是一種相對精確的方法[11]，根據大數定律，只要抽樣次數足夠大，其精度就能足夠高。目前，眾多學者應用可靠度分析理論對邊坡穩定性進行研究均是在線性M-C破壞準則假設下進行的。而事實上，巖土介質服從非線性破壞準則，線性破壞準則只是一種特例：將更為符合實際的略微彎曲巖土材料強度線簡化成直線形狀，該方法雖簡單易于分析，但無法準確表述巖土強度特性。因此，考慮巖土破壞準則為非線性情況下的邊坡可靠度研究顯得十分必要。1987年，Zhang等[12]提出了冪函數非線性破壞準則，爾后,大量學者[13-18]對基于該破壞準則下的邊坡穩定性問題進行了深入研究，非線性M-C破壞準則得到快速發展且已較為成熟。但多年來，鮮見基于非線性M-C破壞準則下邊坡可靠度的深入研究。

基于以上考慮，在非線性Mohr-Coulomb破壞準則下，結合外切線技術和強度折減技術計算邊坡安全系數上限解，進一步運用蒙特卡洛法計算邊坡可靠度。通過與基于線性M-C破壞準則的計算結果進行對比，驗證了方法的可行性。并視初始粘聚力c0、內摩擦角arctan(c0/σt)與非線性參數m為隨機參數且服從截斷正態分布，研究非線性M-C破壞準則下各參數變異性、敏感性對均質各向同性邊坡可靠度的影響。

1 非線性M-C破壞準則及抗剪強度參數引入方法

非線性Mohr-Coulomb破壞準則的指數形式簡單實用，能較為真實地呈現非線性的Mohr圓包絡線，因而被廣泛使用，其表達式為

τ=c0·(1+σn/σt)1/m

(1)

式中：τ和σn分別為破壞面上的切向應力和法向應力；c0(≥0)為初始粘聚力；σt(≥0)為單軸拉伸強度；m為控制強度曲線參數(簡稱非線性參數)。m決定了曲線的彎曲程度，當m=1時，式(1)變為線性M-C破壞準則

(2)

式中：c0等同于線性M-C強度理論中的粘聚力c(c0=c)；c0/σt等同于線性M-C強度線中的斜率tanφ(c0/σt=tanφ)。

將式(1)繪成曲線，如圖1所示。

圖1 非線性M-C破壞準則示意圖Fig. 1 Diagram of nonlinear M-

結構上限分析時，提高材料的屈服強度不會降低結構的極限荷載。因而對非線性破壞準則下的邊坡上限分析可采用“外切線法”[12]，以提高巖土材料強度為手段來分析結構物的上限解。圖1中，在破壞面上某切點G處作切線，以此切線來確定巖土非線性強度參數。切線方程為

τ=ct+tan φt·σn

(3)

式中：ct和tan φt分別表示切線的截距和斜率，其表達式為

σt·tan φt

(4)

(5)

2 基于強度折減技術的邊坡極限分析上限法

邊坡可靠度分析中，安全系數計算式表示了邊坡安全系數與土工參數之間的關聯關系，作為功能函數的構建主體至關重要。極限分析上限法基于虛功率原理推導，根據外力做功和內部耗能相等原理獲得目標函數并根據能量耗散最小化原理獲得極限荷載的最小值，進一步結合強度折減技術可獲得嚴格精確的安全系數上限解。

圖2 對數螺旋面破壞機構Fig.

選取符合簡單邊坡的對數螺旋面破壞機構作為破壞模式[19-20]，以通過坡趾下的對數螺旋線旋轉間斷機構為例進行分析，如圖2。剛性塊體ABC′CA繞旋轉中心O相對對數螺旋面BC′以下的靜止材料作剛體旋轉，BC′是速度間斷面。ABC′CA區重力做功率為外荷載功率；間斷面BC′上滑面耗損率為內能耗散率。根據上限法能耗計算過程，使外荷載功率等于內能耗散率，可求得邊坡的臨界高度Hcr。結合外切線技術，通過引入強度折減技術[21]，原始非線性抗剪強度指標變為

(6)

令折減后的邊坡臨界自穩高度等于原始高度(Hcr=H)，可得邊坡安全系數表達式

(7)

式中：θ0、θh、β′和r0為幾何變量，詳見圖2；γ為巖土容重；H為邊坡高度；f1、f2、f3和f4分別為OBC′O、OABO、OAC′O、ACC′A區土重所做功率相關參數，詳見文獻[14]，不再贅述。

在已知邊坡幾何尺寸及巖土材料參數條件下，邊坡安全系數Fs可由θh、θ0、β′、φt等4個未知參數確定，且安全系數計算公式是Fs的隱函數。將Fs作為目標函數，通過非線性數學規劃方法，利用Matlab軟件，可求得邊坡最小安全系數Fs。

3 基于非線性M-C破壞準則的邊坡可靠度上限計算

3.1 巖土隨機參數的選定及其分布類型

線性M-C破壞準則下巖土參數分布類型已有大量研究成果。馬建全等[22]認為不同環境下巖土參數具有不用分布類型，同時，比較了巖土參數服從正態分布、對數正態分布等不同分布類型下的邊坡可靠度大小；張繼周等[23]從概率分布類型的產生背景、所描述對象的物理意義入手，研究各分布類型對可靠度分析的影響，得出正態分布和對數正態分布較為合理的結論；其他眾多邊坡可靠度研究[24-27]亦在巖土參數服從正態分布下進行。因此，筆者也選取正態分布作為巖土隨機參數的分布類型。

線性M-C破壞準則下，巖土參數c與φ服從正態分布。由式(2)可知，當m=1時，非線性M-C破壞準則指數型表達式中的參數c0與無量綱參數c0/σt的反正切值arctan(c0/σt)服從正態分布。當m≠1時，假設參數c0與內摩擦角arctan(c0/σt)服從正態分布，并進一步考慮非線性參數的變異性，假設m亦服從正態分布。由此，選取初始粘聚力c0、內摩擦角arctan(c0/σt)與非線性參數m作為隨機參數。

桂勇等[24]在邊坡穩定二元體系的建立中，采用同時考慮材料指標的統計分布和區間分布的方法，即截斷分布；Johari等[25]在基于畢紹普法的地震邊坡穩定概率模型建立中，采用截斷正態分布作為隨機變量的概率分布。截斷分布可以考慮巖土參數具體變化范圍，更符合工程實際。選取截斷的正態分布作為巖土隨機參數的分布類型，隨機參數概率密度函數為

(c0)min≤c0≤(c0)max

(8)

(9)

mmin≤m≤mmax

(10)

式中：

(11)

由式(11)可知，隨機參數落在該范圍內的概率達99.994%。實際工程中，巖土材料參數不會出現負值；非線性參數m取值范圍為1～2[28]。因此，隨機參數還需滿足條件

(12)

3.2 邊坡可靠度上限計算

非線性M-C破壞準則下，邊坡安全系數上限解Fs如式(7)，則相應的功能函數為

Z=Fs-1

(13)

相應的工作狀態可表示為

(14)

失效概率與可靠指標分別表示為

pf=P{G(X)<0}=P{Fs<1}=∫Dff(X)dX

(15)

β=Φ-1(1-pf)

(16)

式中：X={x1，x2，…，xn}T是具有N維隨機變量的向量；f(X)=f(x1，x2，…，xn)是基本隨機變量X的聯合概率密度函數；G(X)是結構的極限狀態函數；Df是與G(X)相對應的失效區域；Φ-1(·)為標準正態分布函數的反函數。

與其他可靠度計算方法相比，Monte Carlo模擬法具有不受分析條件限制、計算精度高等優點，得到廣泛應用。采用蒙特卡洛法直接計算非線性破壞準則下邊坡可靠度上限值。

1)根據各隨機參數的分布，對c0、arctan(c0/σt)和m產生N組樣本，分別為{(c0)1，(c0)2，…，(c0)N}、{(arctan(c0/σt))1，(arctan(c0/σt))2，…，(arctan(c0/σt))N}和{m1，m2，…，mN}。

2)計算參數σt

(n=1,2,3,...,N)

(17)

3)以(c0)n、(σt)n和mn作為巖土材料參數，由式(4)與式(5)解得非線性抗剪指標(ct)n與(φt)n，由式(6)與式(7)求得安全系數上限值(Fs)n。

4)重復步驟3)，得到N個安全系數{(Fs)1，(Fs)2，…，(Fs)N}，統計其小于1的數量為M個。

5)根據蒙特卡洛原理，得到失效概率為

(18)

可靠指標可由式(16)求解。工程中，為滿足一定的精度，得到可靠估計，抽樣數目N須滿足

(19)

4 對比分析

目前，鮮有非線性M-C破壞準則方面的邊坡可靠度研究。為驗證方法的可行性，基于線性M-C破壞準則將邊坡可靠度上限解與Johari等[25]、蔡寧等[26]及呂楊[27]的計算結果進行對比分析。參數信息如表1所示，對比結果如表2所示。

表1 參數信息

Table 1 Parameters information

來源隨機參數固定參數Johari等[25]μc=10．0kPa，σc=2．0kPa；μφ=28．0°，σφ=2．8°；μγ=18．0kN/m3，σγ=0．9kN/m3。H=12．0m，β=45°。服從正態分布蔡寧等[26]μc=10kPa，σc=1．5kPa；μφ=10°，σφ=1．5°。γ=17．64kN/m3，H=5m，β=26．6°。服從正態分布呂楊[27]μc=10kPa，σc=3kPa；μφ=21．72°，σφ=6．516°；μγ=20kN/m3，σγ=1．2kN/m3。H=8m，β=33．7°。服從正態分布

表2 不同安全系數計算方法下邊坡可靠度對比

Table 2 Comparisons of the slope reliability with different safey factors calculation method

來源安全系數計算方法其他文獻Pf/%β本文Pf/%增大/%β減小/%Johari等[25]Bishop16．430．97716．862．620．95971．77蔡寧等[26]Morgenstern?price0．752．4320．795．332．41350．76呂楊[27]Bishop14．421．07014．550．901．05591．32呂楊[27]M?P14．411．06214．550．971．05590．57

由表2可知，線性M-C破壞準則下本文結算結果與Johari等[25]、蔡寧等[26]及呂楊[27]的計算結果失效概率Pf最大相差5.33%。最小相差0.90%，平均相差2.455%；可靠指標β最大相差1.77%，最小相差0.57%，平均相差1.105%，表明該方法可行。

5 算例分析

選取一典型邊坡作為研究對象，如圖3所示。研究依據文獻[12]確定巖土材料參數c0和σt，獲得參數c0與內摩擦角arctan(c0/σt)的均值，分別為90 kN/m2與20°(σt為247.3 kN/m2)。并假設坡角α=60°，坡高H=25 m，巖土容重γ=20 kN/m3，非線性參數均值μm=1.6。隨機參數變異系數取值情況為：1)參數c0與內摩擦角arctan(c0/σt)沿用Johari等[25]的c與φ的變異系數，分別為0.20與0.10。2)非線性參數m對于不同巖土材料有一定變化范圍[29-32]，因此，非線性參數m取較小變異系數符合實際工程，取值為0.05。截斷的正態分布隨機參數如表3所示。

圖3 典型邊坡Fig. A typical slope

Table 3 Stochastic parameters with truncated normal distribution

隨機參數均值標準差最小值最大值c0/(kN·m-2)900．20c018162arctan(c0/σt)200．10×arctan(c0/σt)1228m1．60．05m1．281．92

5.1 參數變異性影響

為分析非線性M-C破壞準則下隨機參數(以下簡稱參數)的變異性對邊坡可靠度的影響，進行參數變異性影響分析。當參數變異系數的增加值δ=0、COV/3、2COV/3、3COV/3、4COV/3、5COV/3、6COV/3時，邊坡失效概率Pf的變化情況如圖4所示；邊坡可靠指標β的變化情況如圖5所示。對應(δ=0、δ=COV)的安全系數統計結果對比如圖6～7所示；對應(δ=0、δ=COV)的可靠度相對變化如表4所示。

圖4 失效概率Pf隨參數變異系數的變化情況Fig.4 probability of failure Pf with respect to change of variation coefficients of parameters

圖5 可靠指標β隨參數變異系數的變化情況Fig.5 Variation of reliability index β with respect to change of variation coefficients of parameters

圖6 不同變異系數下安全系數Fs的概率密度分布Fig.6 Probability density distribution of safety factor Fs for different variation coefficients

圖7 不同變異系數下安全系數Fs的累積概率密度分布Fig.7 Cumulative density distribution of safety

Table 4 Relative change of reliability for double variation coefficient

隨機參數初始粘聚力c0內摩擦角arctan(c0/σt)非線性參數m失效概率Pf0．24340．09430．0874變化/%+178．81+8．02+0．11可靠指標β0．69541．31471．3569變化/%-48．78-3．16-0．05

由圖4～7與表4可知，初始粘聚力c0的變異性對邊坡可靠度具有較大影響；內摩擦角arctan(c0/σt)與非線性參數m的變異性對邊坡可靠度的影響較小。隨著初始粘聚力變異系數的增大，邊可靠度減小得較為明顯，且這種變化幅度隨著變異系數的增大逐漸減小；隨著內摩擦角arctan(c0/σt)與非線性參數變異系數的增大，邊坡可靠度減小且較為緩慢。

對于該算例，巖土材料參照文獻[12]選取，其初始粘聚力為90 kN/m2，初始內摩擦角arctan(c0/σt)為20°。已有研究表明[14]，結合上限理論與外切線技術后，所獲得的瞬時粘聚力ct隨非線性參數的增大而增大，而瞬時內摩擦角φt隨非線性參數的增大而減小，可知該算例中粘聚力參數對邊坡穩定性的影響占主導作用。同時，加之在計算過程中選取了較大的變異系數(20%)，使得初始粘聚力的變異性對邊坡可靠度影響較其它參數大得多。

5.2 敏感性分析

為研究在非線性M-C破壞準則下隨機參數(以下簡稱參數)的變化對邊坡可靠度的影響，進行參數敏感性分析。當參數均值的增加值δ=0、std/3、2std/3、3std/3、4std/3、5std/3、6std/3時，邊坡失效概率Pf的變化情況如圖8所示；邊坡可靠指標β的變化情況如圖9所示。對應(δ=0、δ=std)的安全系數統計結果對比如圖10～11所示；對應(δ=0、δ=std)的可靠度相對變化如表5所示。

圖8 失效概率Pf隨參數均值的變化情況Fig.8 probability of failure Pf with respect to change of mean values of paramters

圖9 可靠指標β隨參數均值的變化情況Fig.9 reliability index β with respect to change of mean values of paramters

圖10 不同參數均值下安全系數Fs概率密度分布Fig.10 Probability density distribution of safety

圖11 不同參數均值下安全系數Fs累積概率密度分布Fig.11 Cumulative density distribution of safety factor

Table 5 Relative change of reliability for mean values of parameters plus 1std

隨機參數失效概率Pf失效概率變化/%可靠指標β可靠指標變化/%初始粘聚力c00．0272-68．841．9236+41．69內摩擦角arctan(c0/σt)0．0731-16．271．4531+7．03非線性參數m0．1049+20．161．2541-7．62

由圖8～11和表5可知，初始粘聚力c0的均值對邊坡可靠度有較大影響；無量綱參數arctan(c0/σt)與非線性參數m的均值對邊坡可靠度的影響相對較小。隨著初始粘聚力和無量綱參數arctan(c0/σt)均值的增大，抗剪強度參數ct和φt均增大，邊坡可靠度增大；隨著非線性參數均值的增大，抗剪強度參數ct和φt發生變化，邊坡可靠度減小。

6 結論

基于非線性M-C破壞準則，結合外切線技術和強度折減技術，采用極限分析上限法求得邊坡安全系數上限解，進一步運用蒙特卡洛法計算邊坡的可靠度(失效概率Pf與可靠指標β)。在線性M-C破壞準則下，通過與已有算例對比計算，驗證了方法的可行性。同時，基于非線性破壞準則分析參數變異性和參數敏感性對邊坡可靠度的影響，得到如下結論：

1)邊坡可靠度隨初始粘聚力c0、內摩擦角arctan(c0/σt)和非線性參數m變異系數的增大而減小。

2)邊坡可靠度隨初始粘聚力c0和內摩擦角arctan(c0/σt)均值的增大而增大，隨非線性參數m均值的增大而減小。

工程實際中，巖土材料參數分布形態眾多，筆者研究的基于非線性M-C破壞準則的邊坡可靠度上限分析僅采用截斷正態分布這一種，其他分布形態的研究有待深入；巖土材料參數取值范圍和變異系數差異較大，研究的基于非線性M-C破壞準則的邊坡可靠度上限分析采用了已有文獻中參數分析的取值，符合工程實際的其他參數取值范圍和變異性的研究有待深入。

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(編輯 胡英奎)

Upper bound reliability analysis of slope with nonlinear Mohr-Coulomb failure criterion

HeZhijun,CaoJi,ZhaoLianheng,QuZhaoqian,YangShengbo

(School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, P. R. China)

Traditional reliability analysis of slope is often performed under linear Mohr-Coulomb (M-C) failure criterion assumption and using limit equilibrium method or finite element method which is for calculating the safety factor. However, the failure criterion of geomaterials is nonlinear. In this paper, upper bound reliability analysis of slope is performed using upper bound limit analysis and Monte Carlo simulation based on nonlinear Mohr-Coulomb failure criterion, which is for a more practical description of the failure mechansim of geomaterials and obtaining strictly accurate answers. When the nonlinear parametermis equal to one, the expressions in this study convert into linear Mohr-Coulomb failure criterion, and thus the feasibility of this study is verified by comparing with other results. Meanwhile, initial cohesion, internal friction angle arctan(c0/σt) and nonlinear parameter are selected as the stochastic parameters which are considered to have a truncated normal distribution, and the effects of variability and sensitivity of parameters are analysed. The results show that reliability of slope decreases with the variability of initial cohesion, internal friction angle arctan(c0/σt) and nonlinear parameter; reliability of slope increases with initial cohesion and internal friction angle arctan(c0/σt), and decreases with nonlinear parameter.

slope; reliability; failure criterion; limit analysis; Monte Carlo simulation

2016-03-04

國家自然科學基金(51208522、51478477)；貴州省交通運輸廳科技項目(2012122033、2014122006)

賀志軍(1965- )，男，博士，研究員，主要從事交通運輸工程研究，(E-mail)13807316922@139.com。 趙煉恒(通信作者)，男，博士后，副教授，博士生導師，(E-mail)zlh8076@163.com。

Foundation item：National Natural Science Foundation of China (No. 51208522, 51478477); Guizhou Provincial Department of Transportation Foundation(No. 2012122033, 2014122006)

10.11835/j.issn.1674-4764.2016.06.001

TU 457

A

1674-4764(2016)06-0001-09

Received:2016-03-04

Author brief：He Zhijun (1965- ), PhD, research fellow, main research interest:traffic & transportation engineering,(E-mail) 13807316922@139.com. Zhao Lianheng (corresponding author), post-doctoral, associate professor, doctoral supervisor, (E-mail)zlh8076@163.com.